lineynaya_algebra_Yudina
.pdf
|
|
|
Министерство образования и науки Республики Татарстан |
|
||||||||||
|
|
|
|
Альметьевский государственный нефтяной институт |
|
ка |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г.Е. Юдина |
|
о |
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Математика |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
Раздел: Линейная алгебра слэлементами |
||||||||||||||
|
|
|
|
аналитической геометрии |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Учебно-методическоеипособие |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
по проведению практических занятий |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и организации самостоятельнойб |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
по м тематике |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для студентов 1-го курса |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
всех специаль остей и форм обучения |
|
|
|
|
||||
|
|
|
к |
т |
р |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Альметьевск 2010 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УДК 512 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ю 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
Ю 16 |
Г.Е. Юдина |
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Математика. Раздел: Линейная алгебра с элементами аналитичес ой |
||||||||||||
|
геометрии: Учебно-методическое пособие по проведению практич ских |
|||||||||||
|
занятий |
и |
организации |
самостоятельной работы |
по |
мат матике для |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения. – |
|||||||||||
|
Альметьевск: Альметьевский государственный нефтяной инсти ут, 2010. |
|||||||||||
|
– 112 с. |
|
|
|
|
|
и |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
б |
л |
|
инейной алгебре, |
||||
|
Пособие содержит теоретический материал по |
|
||||||||||
векторной алгебре и аналитической геометрии в соответствии с ГОС ВПО |
||||||||||||
технических |
и |
экономических специальностей. Наряду |
|
со |
сведениями |
|||||||
теоретического |
характера в |
и |
|
|
большое |
количество |
||||||
пособии представлено |
решенных примеров и задач, а также приведен комплекс примеров и задач для проведения практических занятий и контрольных работсо студентами. В пособие включены индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по дисциплинарным модулям «Линейная алгебра» и «Аналитическая
геометрия». |
|
|
|
|
|
|
б |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Печатается по решению учебно-методического совета АГНИ. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
н |
н |
ая |
|
Рецензенты: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Зам. Зав. кафедрой ПМ |
|
|
|
|||||||
к.т.н., доцент |
|
|
о |
|
|
А.Г. Шляхова |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Директор Альметьевского филиала |
|
|||||||||
КГТУ им. А.Н. Туполева |
|
|
|
|
||||||
к.п.н., доцент |
т |
р |
|
|
|
|
М.Ш. Гарифуллина |
|||
|
|
е |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
© Альметьевский государственный |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нефтяной институт, 2010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Содержание |
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предисловие………………………………………………………………………….5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
Глава I. Матрицы и определители………………………………………………….6 |
||||||||||||||
|
§1.1. Основные сведения о матрицах……………………………………...6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
§1.2. Действия с матрицами………………………………………………..8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
§1.3. Элементарные преобразования матриц…………………………….11 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
§1.4. Определители квадратных матриц…………………………………13 |
|||||||||||||
|
§1.5. Обратная матрица……………………………………………………17 |
|||||||||||||
|
§1.6. Ранг матрицы………………………………………………………...18 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
§1.7. Задачи для самостоятельной работы……………………………….19 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Глава II. Системы линейных уравнений………………………………………….23л |
||||||||||||||
|
§2.1. Системы m линейных уравнен й с n переменными………………23 |
|||||||||||||
|
§2.2. Решение С.Л.А.У с квадратными матрицами……………………...24 |
|||||||||||||
|
§2.3. Решение С.Л.А.У с прямоугольными матрицами. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Кронекера-Капелли………………………………………..б 29 |
||||||||||||
|
§2.4. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
система решений…………………………………………………….32 |
||||||||||||
|
§2.5. Задачи для самостоятельной работы……………………………….34 |
|||||||||||||
Глава III. Элементы вектор ой алгебры. Квадратичные формы. Линейная |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модель обме а…………………………………………………………36 |
||||||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
. Коллинеарность. Компланарность……….36 |
||||||
|
§3.1. Вект р. Определениен |
|||||||||||||
|
§3.2. Линейные операции над векторами…………………………….…38 |
|||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.3. Проекция вектора на ось…………………………………………...40 |
|||||||||||||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. |
|||||||||||||
|
е |
Направляющие косинусы…………………………………………...42 |
||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.5. Скалярное произведение векторов и его свойства………………...43 |
|||||||||||||
Э |
§3.6. Векторное произведение и его свойства………..………………….44 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.7. Смешанное произведение трех векторов…………………………..45 |
§3.8. Действия над векторами в координатной ферме. ………………...46
|
|
§3.9. N-мерный вектор и векторное пространство |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Размерность и базис векторного пространства…………………...48 |
|||||||||
|
|
§3.10. Евклидово пространство…………………………………………...51 |
||||||||||
|
|
§3.11. Линейные операторы………………………………………………52 |
||||||||||
|
|
§3.12. Собственные векторы и собственные значения |
|
т |
е |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейного оператора…….…………………………………………52ка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
§3.13. Линейная модель обмена…………………………………………..54 |
||||||||||
|
|
§3.14. Квадратичные формы………………………………………………55 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
§3.15. Задачи для самостоятельной работы……………………………...58 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
Глава IV. Аналитическая геометрия на плоскости………………………………61 |
||||||||||||
|
|
§4.1. Основные понятия аналитической геометрии……………..………61 |
||||||||||
|
|
§4.2. Прямая линия на плоскости…………………………………………62 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
§4.3. Основные задачи на прямую на плоскости………………………...64 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
§4.4. Линии второго порядка на плоскости. бОсновные понятия……….68 |
||||||||||
|
|
§4.5. Полярная система координат……………………………………….76 |
||||||||||
|
|
§4.6. Задачи для самостоятельной работы……………………………….78 |
||||||||||
Глава V. Аналитическая геометрия в пространстве……………………………..80 |
||||||||||||
|
|
§5.1.Уравнения плоскости в пространстве……………………………...80 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.2.Основные задачи на плоскость……………………………………..84 |
||||||||||
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.3.Уравнения прямой в пространствеая |
…………………………………85 |
|||||||||
|
|
§5.4.Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи…………..88 |
||||||||||
|
|
§5.5.Цилиндрические поверхности………………………………………89 |
||||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.6.Поверхн сти вращения……………………………………………...91 |
||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.7.Задачи дляосамостоятельной работы……………………………….95 |
||||||||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Индивидуальные задания для самостоятельной работы……………….97 |
||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Список используемой литературы……………………………………………….112 |
||||||||||||
Э |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Предисловие
Предлагаемое учебно-методическое пособие следует рассматрив ть к к
учебное |
пособие |
по |
линейной алгебре векторной алгебре |
и аналитичес ой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
геометрии. Пособие соответствует содержанию ГОС ВПО и программе урса |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
высшей |
математики |
для экономических специальностей. |
о |
Основнаякацель |
|||||
данного пособия – помочь студентам в самостоятельном приобретении |
|||||||||
теоретических знаний и практических навыков. |
|
и |
|
|
|
||||
В |
пособии |
теоретический материал изложен |
|
снове лекций, |
|||||
на |
|
||||||||
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
прочитанных автором, в соответствии с программой для экономических |
|||||||||
специальностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подробно рассматриваются различные спосо ы решения задач. Основное |
|||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
внимание в пособии уделено различным методам решения систем линейных |
|||||||||
|
|
|
б |
|
|
экономических задач, |
|||
алгебраических уравнений и их применен я для решенияб |
а также решению задач аналитической и векторной алгебры.
Автор ставил своей целью аясделать данное пособие наиболее полным и
Пособие содержит пять глав. При этом нумерация параграфов строится
таким образом: первые цифры представл ют собой номер главы, а следующие
цифры, отделенные от первых точкой, порядковый номер. Например, §3.2 – это |
|
|
н |
второй параграф третьей главы. |
|
н |
|
доступным в изложе ии. В каждом параграфе задачи расположены по мере возрастания сложн сти.
|
В пособии |
р |
|||
|
представлен комплекс индивидуальных заданий, который |
||||
|
|
|
|
т |
|
можно использовать дляотекущего и промежуточного контроля. |
|||||
|
|
|
к |
|
|
|
Пособие будет полезно не только студентам при изучении |
||||
соответствующего |
курса высшей математики, но и преподавателям для |
||||
|
|
е |
|
|
|
пров д ния практических занятий и контрольных работ. |
|||||
Э |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
§1.1 Основные сведения о матрицах
Понятие матрицы и раздел – матричная алгебра имеют большое значение
для экономистов. Объясняется это тем, что большая часть экономич ских |
||
объектов записывается в простой матричной форме. |
|
ка |
|
|
|
Матрицей размера m×n называется прямоугольная аблица чисел, |
||
|
е |
|
содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу называются
элементами матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
Матрица обозначается заглавными буквами латинск го алфавита А, В, С, |
|||||||||||
и т.д. элементы аi j, i – номер строки,j – номер столбца. |
i =1, mо |
j =1, n |
или |
||||||||
|
и |
, |
|
||||||||
сокращенно А=( аi j ) |
i=1,2…m |
j=1,2…n |
|
б |
л |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а11 а12 а13 … а1 j … а1n |
и |
|
|
|
|
|
|||||
а21 а22 а23 … а2 j … а2n |
|
|
|
|
|
||||||
[aji]=A= а31 |
а32 |
а33 … а3 j … а3n |
|
|
|
|
|
|
|||
………………………… |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
am1 |
am2 am3 … аm j … аm m |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две матрицы одного размера называются равными, если они совпадают |
|||||||||||
поэлементно, т.е. |
аij= |
bij . |
С помощьюб |
матриц |
удобно записывать |
экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики: (усл. ед.).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрасли экономики |
|
|
|
Ресурсы |
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Промышленная |
Сельское хозяйство |
||
|
Электроэнергия |
|
|
|
|
н |
5,3 |
4,3 |
|||
|
Трудовые ресурсы |
|
|
|
|
2,4 |
2,2 |
||||
|
Водные ресурсы |
|
|
н |
|
3,5 |
5,1 |
||||
|
|
|
|
5,3 |
4,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А2*2= 2,4 |
|
о |
|
|
|
|
|
||
|
|
2,2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3,5р |
5,1 |
|
|
|
|
|
|
Частные виды матрицт |
: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. В ктор – строка –А=(а11, а12… аi j…а1n) – размера (1×n) |
||||||||||
Э |
л |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b11 |
|
|
|
|
|
|
|
ка |
2. Вектор – столбец –В= b21 - размера (m×1) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm1 |
|
|
|
|
|
|
е |
|
3. Квадратная матрица m= n. |
|
|
|
|
|
т |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Например квадратная матрица 3 порядка: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
побочная диагональ |
и |
о |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A= |
|
|
а21 |
а22 |
а23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
а31 |
а32 а33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главная диагона ь |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Элементы у которых i=j номер. строки равен номерулстолбца – называются |
|||||||||||||||||
диагональными и образуют главную диагональ, а11 а22 … а33 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
квадратной матрицы |
||||
4. Диагональная, если все недиагональные элементыб |
|||||||||||||||||
равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
А= 0 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Треугольная матрица – если все элементы выше или ниже главной |
|||||||||||||||||
диагонали равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Единичная, если диаг нальные элементы матрицы аi i=1, а остальные нули |
|||||||||||||||||
1 0 |
|
|
т |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E= |
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
1 |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Нулевая матрица – если все элементы равны нулю. |
|
|
|
|
|
8. Транспонированная – матрица, полученная из данной заменой каждой ее |
||
|
л |
|
строки столбцом с тем же номером. |
|
|
Э |
|
7 |
§1.2. Действия c матрицами
1. Умножение матрицы на число |
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||||||||
В=λ×А, если |
bi j = λ× аi j : i=1,2…m , j=1,2…n, |
О×А=0 |
|
|
|
е |
|||||||||||||||
Пример 1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
3 |
9 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
А= |
|
|
|
В =3×А=3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
4 |
2 |
12 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы м жно вын сить за знак |
|||||||||||||||||||||
матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
и |
о |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
10 |
15 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
20 |
25 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Сложение матриц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Матрицы одинакового размера складываются (вычитаютсяи ) поэлементно |
|
|
|
||||||||||||||||||
С=А+В |
Аm×n= (аi j) , Bm×n= (bi j), Cm×n= (cбi j), такая что ci j= аi j+ bi j где i = 1, |
|
, |
||||||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||
j =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
-2 3 -4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A= |
|
|
|
|
|
|
B= |
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
-1 |
1 |
2 |
|
|
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
о |
2 -3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C=A+B= |
0 |
3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычитание А-В=А+(-В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Умножениетматриц: умножение матриц определено, когда число столбцов |
|||||||||||||||||||||
первой матрицы равно числу строк второй матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
+…+ аi к×bjк=∑ аi jbj i i=1,2…m |
|
|
|
||||||
С=А×В ci j= аi 1×bj 1+ аi 2× bj 2+…+ аi j×b j i |
|
|
|
||||||||||||||||||
j=1,2…n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
л |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.5
|
1 |
|
0 |
-2 |
|
|
|
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||
А= |
3 1 |
|
0 |
|
|
|
В= 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
0 |
-2 |
|
|
2 |
-1 |
|
|
1×2+0×3-2×1 |
|
1×(-1)+0-2×(-2) |
||||||||||
АВ= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
3 |
0 = |
|
|
|
|
|
3×(-1)+1×0+0×(-2)т |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
|
3 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
-2 |
|
|
3×2+1×3+0×1 |
|
|
|
|||||||||
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
и |
о |
|
|
= 9 |
-3 |
|
|
|
|
= 3 3 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
АВ=С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для |
|||||||||||||||||||||||||
операций над матрицами: |
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)А+В=В+А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)(А+В)+С=А+(В+С) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
3)λ(А+В)=λА+λВ |
|
|
|
|
|
|
|
4)А(В+С)=АВ+АС |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
5)(А+В)С=АС+ВС |
|
|
|
н |
6) λ(АВ)=А(λВ) |
|
|
|
|||||||||||||||||
7)А(ВС)=(АВ)С |
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 3 -5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 0 -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В×А= |
3 |
|
|
0 |
|
|
× |
|
|
о |
|
= |
|
3 |
0 -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-5 -2 -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
-2 |
|
2 -1 |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А×В= |
|
е |
|
|
к |
|
× |
3 |
0 |
|
= |
|
|
|
, АВ ¹ ВА |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
1 -2 |
|
|
|
9 -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Единичная матрица играет роль единицы при умножении чисел. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Произведениел |
двух ненулевых матриц может быть равно нулевой матрице, т.е. |
||||||||||||||||||||||||
А×В=0, это не значит что А=0 или В=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||
А= 1 1 |
|
В= 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А×В= 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью Аm m>1т |
|
|
||||||||||||||||||
Am=A×A×A…..4(m раз ) |
|
|
|
|
|
|
л |
|
о |
|
|
|||||||||
А0=Е ; |
А'=А ; Аm×Ak=Am+k |
; (Аm)k=Amk |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|||
A2= |
1 |
-1 |
× |
|
1 |
-1 |
|
= |
-1 |
-4 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
8 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Am=0 не следует что А=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
am3 … ааяm n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.Трансопнировние матриц – замена строк столбцами с сохранением |
|
|
||||||||||||||||||
нумерации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
|
а12 |
а13 … |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а21 |
|
а22 |
н |
|
размера (m × n) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а23 … |
2n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
А= . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
о |
…нam1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ат= |
|
|
а11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
т |
а12 |
а22 |
… am2 |
размера (n × m) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
к |
|
. . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
е |
|
|
|
a1n |
|
a2n |
… аm n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 7 8 |
|
|
|
|
|
|
AT =A32= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A23= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 3 |
|
|
|
|
|
|
|