- •Кафедра высшей математики
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Однородные уравнения
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов
- •Сведения из теории
- •И соответствующие им частные решения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •Сведения из теории
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •5.3.9. А); б).
- •Вариант 1
- •150023, Ярославль, Московский пр., 88
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
«Ярославский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
Рекомендовано
научно-методическим советом
инженерно-экономического
факультета
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Методические указания и расчетно-графические задания
для студентов очного отделения
Ярославль
2007
УДК 517(07)
МУ 54-07. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Метод. указания и расчетно-графические задания для студентов очного отделения / Сост.: Б.И. Бутрим, В.А. Короткий, В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова, – 2-е изд., испр. и доп. - Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2007. – 72 с.
Содержат краткие теоретические сведения по разделу «Дифференциальные уравнения», подробно разобранные типовые задачи, а также 30 вариантов расчетно-графических заданий.
Предназначены для студентов 2-го курса всех специальностей очного отделения. Могут быть полезны при подготовке контрольных работ и выполнении домашних заданий.
Ил. 1. Библиогр. 9.
Рецензенты: кафедра высшей математики Ярославского государственного технического университета;
Д.В. Садовников, канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой естественно-научных и математических дисциплин ЯФМАП.
Ярославский государственный технический университет, 1993
Ярославский государственный технический университет, 2007, с изменениями
Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия
Сведения из теории
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется функциональное уравнение вида
или коротко ,
связывающее независимую переменную , неизвестную функциюи ее производную первого порядка.
Решением (частным решением) уравнения называется функция , которая, будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. График решения называетсяинтегральной кривой.
Будем рассматривать только такие уравнения, которые можно представить в нормальной форме – разрешить относительно производной
.
Задача Коши для уравнения состоит в том, что ищется решение ,, уравнения, удовлетворяющееначальному условию
,
где – заданная пара чисел. Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через точку.
Справедлива теорема существования и единственности: если функция в некоторой окрестности точкинепрерывна и имеет непрерывную частную производную, то найдется промежуток, на котором задача Коши - имеет и притом единственное решение.
Общим решением уравнения (1.2) в области называется семействофункций аргумента, зависящих от параметра(называемого произвольной постоянной) такое, что
1) при фиксированных значениях параметра С функции – решения уравнения, при этом;
2) можно подобрать значениепараметраС так, чтобы было решением задачи Коши -.
Часто общее решение задается неявно уравнением . Это уравнение называетсяобщим интегралом дифференциального уравнения.
Примеры решения задач
Убедиться, что ,,, является общим решением уравнения ,. Сделать рисунок интегральных кривых. Найти решение, удовлетворяющее начальному условию.
◄
С
= 1 y C=1 C=0,5 C=0 C=
– 0,5 C=
–1
;
Т
Рис.
1
–общее решение.
Интегральные кривые изображены на рис. 1.
При получаем, поэтому решениеудовлетворяет начальному условию. ►