nummethod_book_chapter3-12
.pdfwww.uchites.ru
3. Теория приближения функций
3.1.Постановка задач приближения функций
Втеории приближений изучаются методы приближения функций более простыми, хорошо изученными функциями, методы численного дифференцирования и численного интегрирования. При этом исследуемая приближаемая функция может быть задана как в аналитическом, так и дискретном виде (в виде экспериментальной таблицы).
Пусть дана некоторая функция f (x) на отрезке x [a,b], которая является довольно сложной для исследования. Требуется заменить эту функцию некоторой простой, но хорошо исследуемой функцией (например, многочленом). Для этого с помощью f (x)
xi |
x0 |
x1 |
... |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
|
yi |
y0 |
y1 |
... |
yn |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
строят таблицу (ее называют сеточной функцией), которую можно заменить (сгладить) простой функцией с контролируемой погрешностью.
Рассмотрим два подхода к такой замене:
1. Пусть приближенная функция является многочленом n -й степени,
|
|
(x)= a |
|
+ a x +... + a |
|
xn , |
(3.2) |
||||||||
f |
0 |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n +1 - число узлов в таблице (3.1), с неизвестными параметрами ai , |
i = |
|
, так |
||||||||||||
0, n |
|||||||||||||||
приближает сеточную функцию f (x), что |
|
|
|
||||||||||||
yi = |
|
(xi ), i = |
|
. |
|
|
|
|
(3.3) |
||||||
f |
0, n |
|
|
|
|
||||||||||
В этом |
|
|
(x) интерполирует |
сеточную |
|||||||||||
случае говорят, что функция f |
функцию (3.1), а сама задача приближения называется задачей интерполяции.
Точки |
xi , i = |
0, n |
называют узлами интерполяции, |
а условие (3.3) |
– условием |
|||||||
|
|
|
|
|
|
(x) |
не только в |
|||||
интерполяции. Появляется возможность вычислить значения f |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ξ (xi−1 , xi ), i = |
|
, причем |
||||
узлах |
интерполяции, но и между ними в точках |
1, n |
||||||||||
|
|
(ξ)≈ f (ξ). |
|
|
|
|
|
|||||
f |
|
|
|
|
|
|||||||
|
При большом количестве точек xi , i = |
|
интерполяция требует большой |
|||||||||
2. |
0, n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
www.uchites.ru
гладкости (по n-й производной), что практически выполнить невозможно. Поэтому сглаживание сеточной функции (3.1) осуществляют путем минимизации некоторого функционала, построенного с помощью (3.1) и многочлена (3.2) степени m , например, квадратичного функционала:
S(a0 , a1 ,..., am )= ∑n [yi − |
|
(xi )]2 , m << n . |
(3.4) |
f |
|||
i=0 |
|
Процедуру сглаживания в этом случае называют аппроксимацией заданной функции функцией (3.2), в частности, аппроксимацию с использованием функционала (3.4) называют аппроксимацией с помощью точечного метода наименьших квадратов.
Если коэффициенты сглаживающей функции (3.2) определяются путем минимизации функционала
S(a0 , a1 ,..., am )= ∫b [f (x)− |
|
(x)]2 dx , |
|
f |
(3.5) |
||
a |
|
сглаживание называют интегральным методом наименьших квадратов.
Если в качестве сглаживаемой функции задана экспериментальная таблица (3.1), то в методах сглаживания практически ничего не изменяется. Изменяются методы оценки погрешности сглаживания.
2
www.uchites.ru
3.2. Задача интерполяции
Пусть на отрезке x [a,b] задана функция f (x) , с помощью которой построена сеточная функция (3.1) или задана экспериментальная таблица (3.1).
При сглаживании функции (или экспериментальной таблицы) с помощью интерполяции в соответствии с условием интерполяции (3.3) значение интерполирующей функции и значение заданной функции в узлах сетки должны быть одинаковыми, следовательно, погрешность интерполяции в узлах xi , i = 0, n
равна нулю (рис. 3.1).
y
f(x)
f(x)
y0 y1 |
y2 ...................... |
yn |
x0 x1 x2 ....................... xn x
Рис. 3.1. К задаче интерполяции
Задача интерполяции имеет не единственное решение, но в случае, когда интерполирующей функцией является многочлен n-й степени (n+1 - число узлов интерполяции) вида (3.2) интерполяция имеет единственное решение, т.е. коэффициенты a0 ,Κ , an определяются единственным образом.
Действительно, используя таблицу (3.1), составим СЛАУ относительно
неизвестных коэффициентов a0 ,Κ , an : |
|
|||||||||
i = 0 |
a0 |
+ a1 x0 |
+... + an x0n = y0 |
|
|
|||||
i =1 |
|
|
+ a x |
|
+... + a xn = y |
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|||||
Λ |
|
0 |
1 1 |
n |
1 |
1 |
|
(3.6) |
||
Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ |
|
|||||||||
i = n |
a |
0 |
+ a x |
n |
+... + a |
xn = y |
n |
. |
|
|
|
|
1 |
n |
n |
|
|
|
3
www.uchites.ru
Неоднородная СЛАУ (3.6) имеет единственное решение для коэффициентов a0 ,..., an , т.к. определитель матрицы этой СЛАУ не равен нулю:
|
x0 |
. |
n |
|
|
1 |
x0 |
|
|
||
1 |
x |
. |
xn |
≠ 0 , |
|
det |
1 |
|
1 |
|
|
. . |
. |
. |
|
|
|
|
xn |
. |
n |
|
|
1 |
xn |
|
поскольку все значения узлов интерполяции различны между собой и ни одна из строк не является линейной комбинацией других строк. Таким образом, задача полиномиальной интерполяции имеет единственное решение, т.к.
коэффициенты a0 ,..., an могут быть выбраны единственным образом.
3 . 2 . 1 . Интерполяционный полином Лагранжа
Для полиномиальной интерполяции можно не решать СЛАУ (3.6), а составить многочлен (3.2) следующим образом :
запишем систему полиномов n-й степени
l0 |
|
|
(x |
− |
x1 )(x |
− |
x2 )...(x |
− |
xn ) |
|
|
1, |
|
x = x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(x0 − x1 )(x0 − x2 )...(x0 − xn ) |
|
x = xi , |
i =1, n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
|||||||||||||||||||
l |
= |
|
(x − x0 )(x − x2 )...(x − xn ) |
|
= |
1, |
x = x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
(x1 − x0 )(x1 |
− x2 )...(x1 − xn ) |
|
|
|
x = xi , i = 0, 2, n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
||||||||||||||||||||
………………………………………………………………… |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ln = |
|
(x |
− |
x0 )(x |
− |
x1 )...(x |
− |
xn−1 ) |
|
|
1, |
x = x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(xn − x0 )(xn − x1 )...(xn − xn−1 ) |
|
x = xi , |
i = 0, n −1. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
0, |
Составим линейную комбинацию этих полиномов (их количество равно n+1) с коэффициентами линейной комбинации, равными значениям yi сеточной функции (3.1), получим многочлен n -й степени:
n |
|
|
(x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ln (x)= ∑yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.7) |
|
(x |
i |
− x |
0 |
)(x |
i |
− x |
)...(x |
i |
− x |
i−1 |
)(x |
i |
− x |
i+1 |
)...(x |
i |
− x |
n |
) |
||||||
i=0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Полином (3.7) называют интерполяционным полиномом |
Лагранжа n-й |
||||||||||||||||||||||||
степени, т.к. он, во-первых, удовлетворяет условию интерполяции |
|
||||||||||||||||||||||||
Ln (xi )= yi |
, i = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0, n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, во-вторых, имеет n-ю степень.
Интерполяционный многочлен Лагранжа обладает тем недостатком, что в
4
www.uchites.ru
случае, когда добавляются новые узлы интерполяции в таблице (3.1), все слагаемые в (3.7) необходимо пересчитывать.
Выпишем наиболее употребляемые полиномы L1 (x) и L2 (x) : 1) Для таблицы с двумя узлами интерполяции xi , xi+1
xi |
xi+1 |
L |
(x) = y |
|
x − xi+1 |
+ y |
|
x − xi |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
i xi − xi+1 |
i+1 xi+1 − xi |
||||
yi |
yi+1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Для таблицы с тремя узлами интерполяции xi−1 , xi , xi+1
xi−1 |
xi |
xi+1 |
yi−1 |
yi |
yi+1 |
L |
|
(x) = y |
|
(x − xi )(x − xi+1 ) |
+ y |
|
|
2 |
i−1 (xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 ) |
i |
|||||
|
|
|
(x − x )(x − x )
+ yi+1 (x − xi−1 )(x −i x ) .
i+1 i−1 i+1 i
(x − xi−1 )(x − xi+1 ) |
+ |
|
(xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) |
||
|
3 . 2 . 2 . Интерполяционный полином Ньютона
При построении интерполяционного полинома в форме Ньютона используется понятие разделенной разности, представляющее собой аналог понятия производной применительно к сеточным функциям.
Разделенной разностью сеточной функции (3.1) нулевого порядка в узлах
xi , i = 0, n называются значения этой функции в этих узлах
f ( x i ) = y i , i = 0 , n .
Определение 1. Разделенной разностью функции (3.1) первого порядка в
узлах xi ,i = 0, n −1 называют отношение
f (xi , xi+1 ) = |
f (xi+1 ) − f (xi ) |
= |
yi+1 − yi |
, i = |
|
|
|
0, n −1 |
|||||||
|
|
||||||
|
xi+1 − xi |
xi+1 − xi |
Определение 2. Разделенной разностью функции (3.1) второго порядка в
узлах xi , i = 0, n − 2 называют отношение
5
www.uchites.ru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (xi+2 ) − f (xi+1 ) |
− |
f (xi+1 ) − f (xi ) |
|
f |
(xi , xi+1 , xi+2 ) = |
f (xi+1 , xi+2 ) − f (xi , xi+1 ) |
= |
xi+2 − xi+1 |
xi+1 − xi |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
xi+2 − xi |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xi+2 − xi |
|
||||||
|
yi+2 |
− yi+1 |
− |
yi+1 − yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
xi+2 |
− xi+1 |
xi+1 − xi |
, i = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0, n − 2. |
|
|
|
|
|||||||||
|
xi+2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− xi |
|
|
|
|
Определение 3. Разделенной разностью функции (3.1) n-го порядка в узле x0 называют отношение
f (x0 , x1 ,..., xn ) = f (x1 ,..., xnx)n−−fx(0x0 ,..., xn−1 ) .
С использованием разделенных разностей интерполяционный полином Ньютона записывается в форме:
Nn (x) = f (x0 ) + f (x0 |
, x1 )(x − x0 ) + f (x0 |
, x1 |
, x2 )(x − x0 )(x − x1 ) + |
(3.8) |
|
+... + f (x0 , x1 ,..., xn )(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn−1 ). |
|||||
|
Отметим, что при добавлении новых узлов первые члены многочлена Ньютона остаются неизменными.
Если функция задана в точках x0 , x1,..., xn , то при построении интерполя-
ционного многочлена Ньютона удобно пользоваться таблицей, называемой таб- лицей разделенных разностей, пример которой для n = 4 приведен в табл. 3.1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
f (x0 ) |
f (x0 , x1) |
|
|
|
||
x1 |
f (x1) |
f (x0,x1,x2 ) |
f (x0,x1,x2,x3) |
|
|||
f (x , x ) |
|
||||||
x2 |
f (x2 ) |
f (x0,x1,x2,x3,x4) |
|||||
1 |
2 |
f (x1,x2,x3) |
f (x1,x2,x3,x4) |
||||
|
|
|
|
||||
x3 |
f (x3) |
f (x2 , x3 ) |
f (x2,x3,x4 ) |
|
|||
f (x3, x4 ) |
|
|
|||||
x4 |
f (x4 ) |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Для повышения точности интерполяции в сумму (3.8) могут быть добавлены новые члены, что требует подключения дополнительных интерполяционных узлов. При этом безразлично, в каком порядке подключаются новые узлы. Этим формула Ньютона выгодно отличается от формулы Лагранжа.
3 . 2 . 3 . Погрешность полиномиальной интерполяции
Ясно, что в узлах интерполяции погрешность интерполяционного полинома
6
www.uchites.ru
Ln (x) или Nn (x) равна нулю:
Ln (xi )− yi = 0 , i = 0, n .Nn (xi )− yi
Погрешность Ln (x) − f (x) , представляющая собой разность между значением интерполяционного многочлена Ln (x) и значением функции f (x) в точке x , не совпадающей с узлом интерполяции имеет вид:
f ( |
|
)− Ln ( |
|
)= |
f (n+1)(ξ) |
(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn ), ξ (a,b) . |
|
||
x |
x |
(3.9) |
|||||||
(n +1)! |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x - точка, в которой ищется погрешность (не совпадает с узлами интерполяции).
Поскольку точка ξ (a, b) неизвестна, то вместо погрешности (3.9) вводится
верхняя оценка погрешности в виде
|
|
|
|
f (n+1)(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) − L (x) |
|
≤ |
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
(x − x |
|
)(x − x )...(x − x |
) |
|
, |
(3.10) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(n +1)! |
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
n |
|
|
|
которая и используется на практике.
Таким образом, погрешность интерполяции зависит как от величины соответствующей производной приближаемой функции, так и от расположения узлов. Минимизировать погрешность приближения достаточно гладкой функции на отрезке [a, b] полиномом степени n можно, расположив узлы интерполяции
следующим образом:
xi = |
a +b |
+ |
b − a |
ti , i = |
|
, |
|
|||
0, n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
где ti = cos |
2i +1 |
π - корни |
полинома |
Чебышева H n (x) = cos(n arccos x) (или в |
||||||
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
рекуррентном виде H 0 (x) =1, |
H1 (x) = x , |
H n (x) = 2xH n−1 (x) − H n−2 (x) ). |
Отметим также, что такое расположение узлов интерполяции гарантирует сходимость интерполяционного полинома к приближаемой функции при повышении числа узла интерполяции (степени полинома), тогда как при равномерном распределении узлов в ряде случаев может наблюдаться расходимость (такая ситуация хорошо иллюстрируется известным примером
7
www.uchites.ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рунге, в котором функция |
f (x) = |
|
1 |
приближается |
|
интерполяционным |
||||
|
+ 25x2 |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
полиномом на отрезке [−1,1] ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа, |
||||||||||
совпадающий с функцией |
f (x)= 3x , x [−1,1] в точках |
x |
0 |
= −1, x = 0, |
x |
2 |
=1. |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Вычислить значение сеточной функции и оценить погрешность интерполяции в точке x* = 0,5.
Р е ш е н и е.
Составим сеточную функцию и занесем ее в таблицу. Поскольку n = 2 , то необходимо построить интерполяционный полином L2 (x) .
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 =1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 =1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
L |
|
|
(x)= y |
|
|
|
|
(x − x1 )(x − x2 ) |
|
|
+ y |
|
(x − x0 )(x − x2 ) |
|
|
+ y |
|
|
(x − x0 )(x − x1 ) |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(x |
0 |
− x )(x |
0 |
− x |
2 |
|
|
|
1 |
|
(x |
− x |
0 |
)(x |
− x |
2 |
|
|
2 (x |
2 |
− x |
0 |
)(x |
2 |
− x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
= |
2 |
x2 + |
4 |
|
x +1. Проверим условия интерполяции |
L |
(−1)=1 3; L |
(0)=1; L (1)= 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Значение |
|
сеточной |
|
|
|
|
функции |
|
в |
|
|
|
точке |
|
x* = 0,5 |
|
вычислим по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интерполяционному многочлену y(0,5)≈ L2 (0,5)=1,8333 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Верхнюю оценку погрешности интерполяционного многочлена определим в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствии с выражением (3.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f (x* )− L2 (x* ) |
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
(x* − x0 )(x* − x1 )(x* − x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
≤ |
x [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
max |
|
f |
|
(x) |
= |
max |
3 |
x |
ln |
3 |
3 |
|
|
|
1 |
ln |
3 |
3 |
= 3,978 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
3,978 |
|
(0,5 |
+1)(0,5 |
−0)(0,5 −1) |
|
= 0,249. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
− |
|
|
|
0,25 |
+ |
|
|
0,5 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
www.uchites.ru
Поскольку функция f (x) = 3x известна, то можно вычислить точное значение
абсолютной погрешности в точке x* = 0,5
|
x* |
− L2 (x |
* |
) |
|
|
0,5 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
= 0,1012, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
= |
3 |
|
− |
|
0,25 |
+ |
|
0,5 |
+1 |
|||
|
|
|
3 |
5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. верхняя оценка погрешности примерно в 2,5 раза превышает абсолютную погрешность в точке x* = 0,5 .
Пример 3.2. Для заданной таблицы
xi |
x0 = −1 |
x1 = 0 |
x2 |
= 2 |
yi |
y0 =1 3 |
y1 =1 |
y2 |
= 9 |
|
|
|
|
|
составить интерполяционный полином Ньютона.
Р е ш е н и е.
Таблица задана с неравномерным шагом, поэтому для решения задачи воспользуемся многочленом Ньютона с разделенными разностями (формула
(3.8))
N2 (x)= f (x0 )+ f (x0 , x1 )(x − x0 )+ f (x0 , x1 , x2 )(x − x0 )(x − x1 ),
где f (x0 )= y0 =13 ;
f (x |
0 |
, x )= |
y1 − y0 |
= |
1 −1 3 |
= |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
x1 − x0 |
0 +1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 − y1 |
− |
y1 − y0 |
|
|
|
9 −1 |
1 −1 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 0 +1 |
= 10 . |
|||||||
f (x |
0 |
, x , x |
2 |
)= |
x2 − x1 |
x1 − x0 |
= |
|
2 −0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x2 |
− x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1 |
9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, N2 (x)= |
10 |
x2 |
+ |
|
16 |
x +1. |
|
|||||||||||||||||
9 |
9 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия интерполяции соблюдены: N2 (−1)=13; N2 (0)=1; N2 (2)= 9.
9
www.uchites.ru
10