ПЗ-2, учебный вариант Теория Вероятности
.docx
Контрольное задание
Получена выборка экспериментальных данных, таблица 1.
Объем выборки n = 100.
Таблица №1
2,930955 |
18,82279 |
15,46526 |
11,05093 |
12,75265 |
12,4802 |
11,59035 |
13,80837 |
8,02569 |
11,12472 |
9,402647 |
8,461252 |
17,11493 |
13,3797 |
13,88409 |
14,61979 |
4,201774 |
16,33387 |
7,237908 |
12,82988 |
12,64417 |
4,89219 |
12,29642 |
4,87691 |
12,5475 |
11,84858 |
11,06684 |
8,790382 |
16,19094 |
10,93536 |
10,8464 |
12,23835 |
11,71442 |
10,21469 |
8,91064 |
15,77663 |
12,53817 |
9,835766 |
10,18777 |
9,734799 |
14,77873 |
12,77375 |
15,27131 |
12,66651 |
11,43382 |
13,99153 |
12,81582 |
9,576581 |
13,49762 |
14,55587 |
9,185835 |
9,092541 |
14,3131 |
14,95406 |
12,12867 |
15,22675 |
13,26237 |
15,02877 |
13,80672 |
18,97793 |
13,66455 |
11,62899 |
20,17825 |
11,88672 |
14,03812 |
12,1018 |
10,86121 |
22,2818 |
9,532107 |
10,808 |
10,46117 |
7,259627 |
12,84969 |
13,96472 |
9,125399 |
5,488527 |
12,81987 |
11,18109 |
11,76257 |
13,21538 |
8,003507 |
14,35035 |
10,12708 |
11,68328 |
11,93907 |
10,96025 |
14,5529 |
10,40329 |
16,91018 |
7,422831 |
8,855913 |
12,14958 |
14,98515 |
13,97126 |
13,57112 |
9,088503 |
10,4436 |
6,054197 |
8,292809 |
12,03615 |
1. Проверьте гипотезу о нормальном распределении выборки данных, используя критерий 2 – Пирсона. Уровень значимости = 0,05.
2. С помощью критерия Колмогорова проверьте гипотезу о нормальном законе распределения выборки данных с математическим ожиданием m = 12 и средним квадратическим отклонением = 3,3.
3. Найдите доверительный интервал для математического ожидания I (m) и дисперсии I (D) с доверительной вероятностью = 0,9.
4. Найдите доверительный интервал для следующего (n+1) значения выборки с доверительной вероятностью = 0,9.
5. Проверьте гипотезу H0: m = 10 при альтернативной гипотезе H1: m 10
6. Проверьте гипотезу H0: = 3 при альтернативной гипотезе H1: 3
1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения выборки экспериментальных данных с помощью критерия 2 – Пирсона. Уровень значимости = 0,05.
1.1. H0: f(x) = N(m, ). m и – неизвестны.
1.2. Размах выборки: xmin = 2,930955; xmax = 22,2818;
R = xmax – xmin = 22,2818 – 2,930955 = 19,35085
1.3. Число интервалов группировки
k = 1,443·ln n +1 = 1,443·4,605 + 1 ≈ 8
(формула Стерджеса при n > 60 дает заниженное значение интервала группировки)
k = = 11 – как в Excel, более подходящая формула.
1.4. Длина интервала группировки
=
Границы интервалов группировки:
xmin = 2,930955; xmax = 22,2818;
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
1.5. Построение гистограммы и формулировка гипотезы о теоретическом законе распределения
Гипотеза о теоретическом законе распределения H0 формулируется по виду гистограммы. Для построения гистограммы составляется таблица, (таблица №2).
– интервалы группировки;
ni – количество элементов выборки, попавших в i – ый интервал группировки
Таблица №2
i |
ni |
n·pi |
||
1 |
– 2 |
0 |
|
|
2 |
2 – 4 |
1 |
|
|
3 |
4 – 6 |
4 |
|
|
4 |
6 – 8 |
4 |
|
|
5 |
8 – 10 |
16 |
|
|
6 |
10 – 12 |
24 |
|
|
7 |
12 – 14 |
29 |
|
|
8 |
14 – 16 |
14 |
|
|
9 |
16 – 18 |
4 |
|
|
10 |
18 – 20 |
2 |
|
|
11 |
20 – 22 |
1 |
|
|
12 |
22 – 24 |
1 |
|
|
13 |
24 – |
0 |
|
|
|
|
mi
29
24
16
14
4
4
1 2 1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
Рис. 1. Гистограмма частот.
По виду гистограммы можно сделать предположение о нормальном законе генеральной совокупности.
H0: f(x) = N(m, ). .
В качестве оценки математического ожидания и дисперсии можно принять их выборочные значения.
= 11,91854 – оценка математического ожидания;
= 10,8683 – оценка дисперсии
= 3,296711 оценка среднего квадратического отклонения
1.6. Вычисление статистики
pi – отыскивается по таблице Лапласа, приложение 2, тема 12.
n·p1 = 100·0,00135 = 0,135 (0,1312204)
n·p2 = 100·0,00685 = 0,685 (0,6841755)
n·p3 = 100·0,0285 = 2,85 (2,8150183)
…………………………………………………………….
n·p7 = 100·0,2457 = 24,57 (22,9558513)
……………………………………………………………
n·p13 = 100·0,000159 = 0,0159 (0,01238131)
Таблица №3
i |
|
mi |
n·pi |
|
1 |
– 2 |
0 |
0,13122042 |
|
2 |
2 – 4 |
1 |
0,68417551 |
|
3 |
4 – 6 |
4 |
2,8150183 |
|
4 |
6 – 8 |
4 |
8,09905099 |
|
5 |
8 – 10 |
16 |
16,3004005 |
|
6 |
10 – 12 |
24 |
22,9558513 |
|
7 |
12 – 14 |
29 |
22,6245502 |
|
8 |
14 – 16 |
14 |
15,6046968 |
|
9 |
16 – 18 |
4 |
7,53102502 |
|
10 |
18 – 20 |
2 |
2,54244697 |
|
11 |
20 – 22 |
1 |
0,60016808 |
|
12 |
22 – 24 |
1 |
0,09901462 |
|
13 |
24 – |
0 |
0,01238131 |
|
|
|
Таблица №4
i |
|
ni |
n·pi |
|
1 |
– 2 |
|
|
|
2 |
2 – 4 |
|
|
|
3 |
4 – 6 |
|
|
|
4 |
6 – 8 |
9 |
11,7294652 |
0,635151 |
5 |
8 – 10 |
16 |
16,3004005 |
0,005536 |
6 |
10 – 12 |
24 |
22,9558513 |
0,047493 |
7 |
12 – 14 |
29 |
22,6245502 |
1,79656 |
8 |
14 – 16 |
14 |
15,6046968 |
0,165018 |
9 |
16 – 18 |
8 |
10,785036 |
0,719184 |
10 |
18 – 20 |
|
|
|
11 |
20 – 22 |
|
|
|
12 |
22 – 24 |
|
|
|
13 |
24 – |
|
|
|
|
|
U = 3,369
|
…………………………………………….
– по таблице распределения ХИ – квадрат с k – 2 степенями свободы, для уровня значимости статистики U = 0,05
|
Карман |
Частота |
np |
U |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
8 |
9 |
11,7294652 |
0,635151 |
|
|
10 |
16 |
16,3004005 |
0,005536 |
|
|
12 |
24 |
22,9558513 |
0,047493 |
|
|
14 |
29 |
22,6245502 |
1,79656 |
|
|
16 |
14 |
15,6046968 |
0,165018 |
|
|
18 |
8 |
10,785036 |
0,719184 |
|
|
20 |
|
100 |
3,369 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
Еще |
0 |
|
5,991465 |
|
|
|
100 |
|
|
|
2. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения с заданным математическим ожиданием m = 12 и средним квадратическим отклонением = 3,3 с помощью критерия Колмогорова. Уровень значимости = 0,05.
При проверке согласия по критерию Колмогорова используется статистика, расчетное значение которой вычисляется с помощью формул
;
;
.
При больших значениях n ≥ 100 используется статистика, расчетное значение которой вычисляется по формуле
Для наиболее употребительных уровней значимости составлена короткая таблица критических значений распределения Колмогорова
0,15 |
0,1 |
0,05 |
0,025 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
|
1,138 |
1,2238 |
1,3581 |
1,4802 |
1,5174 |
1,6276 |
1,7508 |
1,9495 |
Составляется таблица
j |
xj |
j/n |
F(xj) |
(1-j)/n |
j/n - F(xj) |
F(xj) – (j-1)/n |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
,
Для заданного уровня значимости = 0,05 по таблице
критических значений распределения Колмогорова
находят критическое значение статистики .
0,15 |
0,1 |
0,05 |
0,025 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
|
1,138 |
1,2238 |
1,3581 |
1,4802 |
1,5174 |
1,6276 |
1,7508 |
1,9495 |