- •I. Численные методы интегрирования
- •1.1. Интегрирование методом левых прямоугольников
- •1.2. Интегрирование методом правых прямоугольников
- •1.3. Интегрирование методом средних прямоугольников
- •1.4. Интегрирование методом Эйлера
- •1.5. Интегрирование методом Симпсона
- •1.6. Интегрирование методом Монте-Карло
- •II. Численное решение нелинейных уравнений
- •2.1. Метод последовательных приближений (Метод простых итераций)
- •2.2. Метод деления отрезка пополам (Метод дихотомии)
- •2.3. Метод Секущих
- •2.4. Метод касательных (Ньютона-Рафсона)
- •III. Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •3.1. Решение слау методом Гаусса
- •3.2. Решение слау методом Гаусса-Жордана
- •3.3. Решение слау методом Крамера
- •3.4. Итерационный метод решения системы линейных
- •3.5. Решение системы нелинейных уравнений
- •IV. Приближение нелинейной функции
- •4.1. Приближение линейной функции
- •4.2. Линейная регрессия общего вида
- •4.3. Интерполяция полиномом Лагранжа
- •4.4. Интерполяция с помощью сплайн-функции
- •V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5.1. Метод Эйлера решения обыкновенного
- •5.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
- •5.3. Методы прогноза и коррекции
- •5.4. Решение систем дифференциальных уравнений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
ПРИМЕНЕНИЕ В ХИМИИ
Методическое пособие по курсу
“Численные методы и программирование”
по специальности ХИМИЯ (011000)
ВОРОНЕЖ
2005
Утверждено научно-методическим советом химического факультета протокол № от .
Составители: доц. Протасова И.В.
асс. Крысанов В.А.
Науч.ред. ____________________
Методическое пособие подготовлено на кафедре физической химии химического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов химического факультета всех форм обучения.
Оглавление
I. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
|
1.1. Интегрирование методом левых прямоугольников |
|
1.2. Интегрирование методом правых прямоугольников |
|
1.3. Интегрирование методом средних прямоугольников |
|
1.4. Интегрирование методом Эйлера |
|
1.5. Интегрирование методом Симпсона |
|
1.6. Интегрирование методом Монте-Карло |
|
II. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
2.1. Метод последовательных приближений (Метод простых итераций) |
|
2.2. Метод деления отрезка пополам (Метод дихотомии) |
|
2.3. Метод Секущих |
|
2.4. Метод касательных (Ньютона-Рафсона) |
|
III. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ |
|
3.1. Решение СЛАУ методом Гаусса |
|
3.2. Решение СЛАУ методом Гаусса-Жордана |
|
3.3. Решение СЛАУ методом Крамера |
|
3.4. Итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса-Зейделя) |
|
3.5. Решение системы нелинейных уравнений |
|
IV. ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ |
|
4.1. Приближение линейной функции по методу наименьших квадратов. |
|
4.2. Линейная регрессия общего вида |
|
4.3. Интерполяция полиномом Лагранжа |
|
4.4. Интерполяция с помощью сплайн-функции |
|
V. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
5.1. Метод Эйлера решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка |
|
5.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка |
|
5.3. Методы прогноза и коррекции |
|
5.4. Решение систем дифференциальных уравнений |
|
I. Численные методы интегрирования
При решении задач научного и инженерно-технического характера математическими методами часто возникает необходимость проинтегрировать какую-либо функцию. Есть функции, которые невозможно интегрировать аналитически, т.е. только в некоторых случаях по заданной функции можно найти первообразную. Общим способом интегрирования любых функций является численное интегрирование, методы которого в большинстве своем просты и легко переводятся на алгоритмические языки.
Из курса математического анализа известно, что выражение F(x) + C, где F(x) – первообразная функции F(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причемF(x)называется подынтегральной функцией, F(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; –знак неопределенного интеграла. Таким образом, по определению , если.
Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезка [А, Е] и выбора точек k, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [A, E] и обозначается символом , т.е..
При этом называетсяинтегралом на отрезке [A, E], числа А и Е – пределами интегрирования (А – нижний предел, Е – верхний предел), а сумма –интегральной суммой.
Если функция F(x) непрерывна на отрезке [A, E], то определенный интеграл от этой функции в пределах от А до Е существует и его можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:
. (1.1)
Здесь F(x)– первообразная функции F(x).
Для большинства функций первообразную F(x) не удается выразить через элементарные функции. Кроме того, при практических расчетах очень часто аналитическое выражение подынтегральной функции неизвестно, и она задана в виде таблицы значений в некоторых точках интервала наблюдения. Все это приводит к замене определенного интегрирования численными методами. Задача численного интегрирования состоит в следующем: требуется найти определенный интеграл на отрезке [A, E], если подынтегральная функция задана таблично.
Геометрически интеграл функцииF(x)в пределах от А до Е представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью х и прямыми x = A и x = E. Представленный ниже рис.1.1 иллюстрирует описанную картину.
Численные методы также позволяют избежать громоздких расчетов в тех случаях, когда результат приемлем с определенной степенью точности. Точность вычислений (максимально допустимая ошибка в результате всех вычислений, из которых складывается погрешность), как правило, оговаривается заранее при постановке задачи. Точность вычислений будет достигнута, если абсолютная погрешность (абсолютное значение разности между точным и приближенным значениями) не превосходит (очень маленькое положительное число).
Сущность большинства численных методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции F(x)аппроксимирующей функцией (x), для которой легко можно отыскать первообразную среди элементарных функций:
. (1.2)
Здесь S – приближенное значение интеграла, а R – погрешность вычисления интеграла.
Для получения аппроксимирующей функции, когда подынтегральная функция задана таблично, прибегают к теории интерполяции. Задача нахождения интерполирующей функции становится однозначной, если в качестве интерполирующей для функции F(x), заданной n+1 своими значениями, выбрать многочлен степени не выше n Ln(x), значения которого в узлах интерполяции (точках разбиения отрезка интегрирования) совпадают со значениями подынтегральной функции (табличными значениями).
Используемые на практике методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции:
методы Ньютон - Котеса, основанные на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции;
сплайновые методы, основанные на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочные полиномы;
методы наивысшей алгебраической точности, использующие неравноотстоящие узлы, вычисленные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования;
методы Монте-Карло, в которых узлы интерполяции выбираются при помощи датчика случайных чисел;
специальные методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе особенностей конкретных подынтегральных функций.
В настоящей работе будут рассмотрены шесть методов численного интегрирования: методы прямоугольников (левых, правых, средних), метод Эйлера (метод трапеций), метод Симпсона (метод парабол) и метод Монте-Карло.