квадратные корни
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)
Заочная физико-техническая школа
МАТЕМАТИКА
Квадратные корни
Задание №4 для 8-х классов
(2014 – 2015 учебный год)
г. Долгопрудный, 2015
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
Составитель: Т.Х. Яковлева, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ.
Математика: задание №4 для 8-х классов (2014 – 2015 учебный год),
2015, 22 с.
Дата отправления заданий по физике и математике – 10 марта 2015 г.
Составитель:
Яковлева Тамара Харитоновна
Подписано 12.01.15. Формат 60×90 1/16.
Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,44. Уч.-изд. л. 1,28. Тираж 400. Заказ №39-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение.
тел./факс (498) 744-6 3-51 – очно-заочное отделение,
тел. (498) 744-65-83 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2015
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
2
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
Введение
Дорогие ребята!
Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием – арифметическим квадратным корнем. Постарайтесь хорошо справиться с этим заданием. Оно подготовит вас к решению следующего задания, в котором мы рассмотрим квадратные уравнения.
§1. Определение арифметического квадратного корня
Рассмотрим простейшую задачу. Пусть площадь квадрата равна 25 . Требуется определить сторону квадрата. Если сторона квадрата равна x , то для нахождения длин сторон квадрата получаем уравнение
x2 25 . Этому уравнению удовлетворяют два числа: 5 и 5 . Эти числа называют квадратными корнями числа 25 . Заметим, что один корень является положительным, а второй корень является отрицательным числом.
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Обозначают арифметический квадратный корень так: a.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
64 8; 1,44 1,2; |
0 0. |
|||||
|
|
|
||||||
Равенство |
a b является верным, если выполняются два условия: |
1)b 0 и 2) b2 a.
При a 0 выражение a не имеет смысла, т. к. квадрат любого
числа – число неотрицательное. Поэтому выражения 49 и 3,5 не имеют смысла.
Из определения арифметического корня следует, что если a имеет смысл, то a 2 a и a2 a .
|
|
|
|
|
|
|
. Если a 0, |
|
||||||
Докажем, что, |
действительно, |
|
a2 |
a |
то из определе- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ния арифметического корня следует, что |
|
|
a2 |
|
a |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Если же a 0, |
то a 0 и a 2 a2 . Таким образом, арифметиче- |
|||||||||||||
|
|
|
a 0 |
и равен a , |
если a 0 , т. е. |
|||||||||
ский корень a2 |
равен a , если |
a2 a .
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
3
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
Пример 1. Найдите значение выражения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 9 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) 2 |
12,25 0,1 0,25; |
в) |
16,2. |
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
Из |
определения |
арифметического корня |
следует, что |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
т. к. 3,5 0 |
и 3,52 12, 25; |
|
|
|
т. к. 0,5 0 и |
||||||||||||||
12,25 3,5, |
|
0,25 0,5, |
||||||||||||||||||||||
0,52 0, 25. Получаем: |
2 3,5 0,1 0,5 7 0,05 6,95. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
б) |
9 2 9, т. к. |
9 2 |
|
9 |
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Данное выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа является неотрицательным числом.
Пример 2. При каких x имеет смысл выражение:
а) |
|
3x |
б) |
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 1 |
|
|
x |
x 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) Выражение |
|
x 1 определено, если x 1 0 , т. е. при x 1 . Но |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
так как |
|
x 1 стоит в знаменателе, то он не должен быть равен нулю, |
||||||||||||||
т. е. данное выражение имеет смысл при x 1. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) Выражение |
|
x определено при x 0 , а выражение |
x 2 опре- |
делено при x 2 0, x 2 . |
Таким образом, при x 0 определены оба |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
корня. При таких x имеем: |
|
x 0 |
и x 2 0, поэтому знаменатель |
|||||||||||||||||||||||||||
при |
x 0 не обращается в нуль, |
значит, при x 0 данное выражение |
||||||||||||||||||||||||||||
имеет смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 3. Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
а) |
|
|
|
x 2 0, б) |
x 3 0, в) |
5x 6 6, |
|
г) |
3x 7 5. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 , при этом |
|||||||||||||
|
|
а) |
|
Арифметический корень |
|
x |
|
определён при |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 0, значит, при любом |
x 0 выражение |
|
x 2 2 , |
поэтому дан- |
|||||||||||||||||||||||||
ное уравнение не имеет решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
б) |
|
|
x 3. Из |
определения арифметического корня |
следует, что |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 x 9 , т. е. |
x 9 является корнем уравнения. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
|
Предположим, |
что данное |
уравнение |
имеет решение, тогда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 5x 6 62 . Отсюда уже видно, что |
5x 6 0 , т. е. выраже- |
|||||||||||||||||||||||||
5x 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ние |
|
5x 6 определено. Решаем уравнение: 5x 6 36, 5x 30, x 6. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
г) Уравнение не имеет смысла, т. к. арифметический корень число |
||||||||||||||||||||||||||||
неотрицательное, а число 5 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
4
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
|
|
§2. Уравнение x2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Если a 0, то уравнение x2 |
a |
не имеет решений. Если |
|
a 0, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение имеет единственное |
решение |
x 0 . |
|
Рассмотрим теперь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение x2 a при a 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Рассмотрим графики функций |
|
y x2 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y a . Если a 1, то уравнение x2 |
|
1 имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= x 2 |
||||||||||
два корня: 1 и 1. Если a 4, |
то уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
2 |
4 имеет два корня: 2 и |
2 . |
Один из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
корней совпадает с арифметическим корнем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
из числа 4 , а второй корень – число, проти- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
воположное первому корню. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рассмотрим теперь уравнение x |
2 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
В первом задании мы уже говорили о том, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.
Арифметический корень 2 является числом иррациональным.
Пример 1. Докажите, что число 7 является числом иррациональным.
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Предположим, что 7 является |
числом рациональным, т. е. |
||||||||||
|
|
|
m |
, где |
n – натуральное число, |
|
– целое число и |
m |
– несокра- |
|||
7 |
m |
|||||||||||
|
n |
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тимая дробь. Из определения арифметического корня следует, что m 0, т. е. m должно также быть натуральным числом. Тогда
7 2 7 m2 , 7n2 m2 .
n2
Левая часть полученного выражения делится на 7, поэтому и m2 делится на 7 , т. е. m делится на 7 . Предположим, что число m не делится на 7, тогда m 7k p, где p может быть равным 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Рассмотрим уравнение: 7n2 7k p 2 ,
7n2 49k 2 14kp p2.
Выражение p2 принимает значения 1, 4, 9, 16, 25, 36. Ни одно из этих чисел не делится на 7, следовательно p 0 , тогда m 7k . Из уравнения 7n2 49k 2 , n2 7k 2 . Тогда легко установить, что n делится на 7,
т. е. n 7q , но тогда дробь mn сократимая, что противоречит нашему
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
5
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
предположению. Следовательно, число 7 является иррациональным числом. ▲
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из рисунка следует, что если |
|
|
|
a b 0, |
то a b . Поэтому, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
например, 119 80; |
2,37 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В школьных учебниках доказываются три теоремы. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема 1. Если a b 0, то |
a b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 2. Сравните числа a 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 и b |
47. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определения арифметического корня следует, что
a2 4 3 12; b2 14 47 11 34 . Так как 12 11 34 , то число a b. ▲
Пример 3. Найдите значение выражения
3 2 5 3 2 23 3.
3 2 3 2 3; 23 3 2 3 2 2 3 6.
Получаем: 3 5 3 6 6.▲ Пример 4. Между какими соседними натуральными числами распо-
ложено число a |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
209 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
209 |
|
|
|
|
209 23 |
|
|
. |
Заметим, |
что 16 23 |
|
25, |
по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
этому |
|
|
16 a |
25, т. е. 4 a 5. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
§3. Свойства арифметического квадратного корня |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В школьном учебнике у вас доказываются теоремы. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Теорема 2. Если a 0 |
и b 0 , то |
|
ab |
|
|
a |
b. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема 3. Если a 0 и |
b 0, то |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1. Найдите значение выражения (без калькулятора): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
; |
|
|
|
|
75 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
|
5 35 175; б) |
5 |
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1492 |
762 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
|
|
|
|
; д) 163 |
44 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4572 |
3842 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
6
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
|
5 35 175 |
|
|
175 175 175. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
5 |
11 |
|
|
|
256 |
|
|
|
|
16 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
49 |
49 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
|
|
75 |
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 |
|
|
64 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149 76 149 76 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
г) |
1492 762 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 225 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4572 3842 |
|
|
|
|
|
457 384 457 384 |
|
73 841 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
225 |
|
|
225 |
|
|
|
15 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
841 |
|
841 |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45. |
||
|
|
|
|
|
42 3 44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 2 |
|||||
д) 163 44 |
46 44 |
410 |
||||||||||||||||||
Можно решать и другим способом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 4 42 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 2 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
163 44 162 16 44 162 |
16 |
42 4 42 45. ▲
Рассмотрим 48 . Преобразуем это выражение:
48 16 3 16 3 43.
В этом случае мы говорим, что множитель 4 вынесли из-под знака корня.
Теперь рассмотрим выражение 57 , преобразуем его:
57 25 7 25 7 175.
В этом случае говорим, что множитель 5 внесли под знак корня. Пример 2. Вынесите множитель из-под знака корня:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) |
|
|
13 |
19 |
; |
|
|
б) |
7 |
11 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 xy 2 , если xy 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
|
a4b11 ; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
a |
, то |
|
|
|
13 |
4 |
19 |
|
5 |
13 4 |
19 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определим знак числа 5 13 4 19. Числа 5 13 и 4 19 – положи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельные. |
|
Рассмотрим |
|
их |
|
|
|
квадраты: |
5 |
|
2 25 13 325 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
19 |
16 19 304 . |
Так |
как |
|
304 325, |
|
|
то |
|
|
304 |
|
325 , т. |
е. |
513 419, поэтому 513 419 513 419.
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
7
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
б) 7 11 3 3 5 5
7 11 2 7 11 3 5 4 3 5
7 11 3 5 2 7 11 3 5 .
|
|
|
|
|
т. к. |
|
2 |
7, |
|
2 |
|
|
Число 7 11, |
7 |
11 |
11 и |
7 11 . Поэтому |
7 11 0, т. е. 7 11 11 7.
Окончательно получаем:
11 7 3 5 2 7 11 3 5 .
в) Так как a4 0, |
то корень определён, если b11 0, т. е. |
b11 0, b 0. |
|
a4 b5 2 b a2 b5 b a2b5 b.
г) 21 xy 2 xy21 xy 21. ▲
Пример 3. Внесите множитель под знак корня:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 5 37 |
2 3; |
б) 2a 1 |
1 2a; |
в) 3xy |
|
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
xy |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При решении этих примеров используем формулу a2 a .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) Число 5 |
37 0, т. к. 52 25, |
37 |
и 25 37 . Поэтому |
||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
37 |
2 |
37 |
|
2 |
37 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
б) Корень |
|
определён, если 1 2a 0, 2a 1, a |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 2a |
. При таких |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
aвыражение 2a 1 0 . Поэтому
2a 1 1 2a 1 2a 1 2a 1 2a 2 1 2a 1 2a 3 .
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
8
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
в) Корень |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
определён, если xy 0 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xy 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 xy |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
xy |
2 |
|
1 |
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xy |
3 |
xy 3 |
|
xy 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4. Сравните числа a и b : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) a 3 11 и b 6 8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) a 2 3 и b 7 4 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
5 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) Числа a и b |
положительные. Рассмотрим квадраты этих чи- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
сел. |
Имеем: |
|
|
|
|
a2 3 2 |
|
3 11 11 14 2 |
33, |
|
|
|
b2 6 2 |
6 8 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 2 48. Так |
|
как |
48 33, то |
|
|
|
48 |
33, 2 |
48 2 |
33, |
|
поэтому |
b2 a2 и b a.
б) Число a 0, т. к. 22 3 2 3. Число 7 43 0, т. к.
72 43 2 48. Отсюда следует, что число b определено и оно боль-
ше нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, числа a |
и b положительные. Рассмотрим их квад- |
||||||||||||||||
раты: a2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
4 4 |
3 3 7 4 3, b2 7 4 3. Следователь- |
|||||||||||||||
но, a b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) a |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 3 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводим дроби к общему знаменателю, получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 6 3 10 6 3 |
|
12 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 108. |
|||
5 3 |
|
5 3 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||
3 |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как 110 108, то |
110 |
108 |
и b a. |
|
|
|
|
|
Пример 5. а) Укажите два рациональных числа, лежащих между
числами 3 и 5.
б) Укажите два иррациональных числа, лежащих между числами
3 и 5.
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
9
2014-2015 уч. год, №4, 8 кл. Математика. Квадратные корни
а) Из теоремы сравнения корней следует, что 1 3 4 , т. е. 1 3 2 . Заметим, что 1,82 3, 24 3 , а 1,92 3, 61 3, таким об-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разом 3 1,8 2 |
5 , т. е. число 1,8 является числом рациональ- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ным и располагается между числами |
3 и |
5 . Число 1, 9 удовлетво- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ряет неравенствам |
3 1,9 2 5 , |
т. е. |
1, 9 также располагается |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
между числами 3 и |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
б) Иррациональные числа являются бесконечными непериодиче-
скими |
десятичными |
дробями. |
Рассмотрим |
дробь |
a 1,810110111011110 |
. Это бесконечная |
непериодическая |
деся- |
тичная дробь, после цифры 8 идёт цифра 1, затем ноль, затем 2 цифры 1, снова ноль, и т. д. Данная дробь больше, чем 1,8, т. к. после цифры 8 идёт 1. Для числа a выполняются неравенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 a 2 |
5. |
|||
Аналогично |
|
строим вторую дробь: |
b 1,820220222022220 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3 b 2 |
5. ▲ |
|
|
|
Пример 6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) |
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Эту задачу надо понимать так: следует так преобразовать дробь, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чтобы в знаменателе отсутствовали квадратные корни. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При решении этих задач полезно использовать формулу |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b a b a2 b2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) Умножим числитель и знаменатель дроби на 3 |
5 |
7 . Получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 5 2 7 |
|
|
|
6 5 2 7 |
|
|
3 5 7 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
45 7 |
|
|
|
19 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
7 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
5 0. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
2 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 5 3 2 2 10 |
|
1 2 2 5 10 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2 |
6 2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2015, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна
10