Выезд 52
.pdfУсловия задач по математике
М1. Решить неравенство |
log9 |
x 4 |
4 logx |
3 1. |
|||
log9 |
x 1 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
x . |
||||
М2. Решить неравенство |
|
log5 31 6 52x2 |
М3. Решить уравнение 2cos x sin x ctg xsin x ,
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x 2 tg |
4 |
y 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
М4. Решить систему уравнений |
|
sin x |
1 |
|
3 , |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0, |
|
, y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
М5. В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найти площадь этого треугольника.
М6. На плоскости лежат три равных шара радиуса R , попарно касающиеся друг друга. Четвертый шар касается плоскости и каждого из первых трех шаров. Найти радиус четвертого шара.
9
Условия задач по физике
Ф1. Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту составляет 30 . Какую работу совершила сила тяги на пути в 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с
ускорением 0, 2 м / сек2 ? Коэффициент трения принять равным 0,1; g 10 м / сек2 .
2 |
y |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
Fbc |
|
|
||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
T cos |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
V1 |
b |
Fac |
|
d |
|
N sin |
|
T |
I2 |
Fad |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N |
II |
0 I |
|
I1 |
a |
I1 |
l |
|
|
|
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. Ф2. |
|
Рис. Ф3. |
|
Рис. Ф5. |
Ф2. Два идеально гладких стержня радиуса R подвешены на нитях, образующих между собой угол 2 (рис. Ф2). На стержни положили
цилиндр радиуса R и массы 2M так, что вся система находится в равновесии. Определить расстояние между центрами стержней, если
масса каждого из них равна M .
Ф3. На гладком горизонтальном столе лежит шар массы M , прикрепленный к пружине с коэффициентом упругости k (рис. Ф3). В шар попадает пуля массы m , имеющая в момент удара скорость
v0 , направленную вдоль оси пружины. Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду A и период T колебаний шара.
10
|
|
|
Ф4. В закрытом латунном калориметре массы 200 г |
находится 1 кг |
|
льда при температуре 10 C . В калориметр впускают 200 г пара, |
||
имеющего температуру 110 C . Какая температура |
установится в |
калориметре? Удельную теплоемкость паров воды в интервале от
100 C до |
110 C |
считать равной |
0, 4 кал / г град . Удельная |
теплоемкость |
воды |
равна 1, 0 ккал / кг К , |
льда - 0,5 ккал / кг К , |
латуни - 0, 09 ккал / кг К
Ф5. Контур, представляющий собой квадрат с диагональю, изготовлен из медной проволоки сечением 1 мм2 и подключен к источнику постоянного напряжения 110 в , как указано на рисунке Ф5. Плоскость квадрата расположена параллельно магнитному полю с индукцией 17 гс . Определить величину и направление силы, действующей со стороны поля на контур.
Ф6. Светящаяся точка, находящаяся в среде с показателем преломления n1 рассматривается невооруженным глазом из среды с показателем преломления n2 . Каково будет кажущееся расстояние точки до границы раздела сред, если точка находится от этой границы
на расстоянии h0 , а глаз расположен так, что в него попадают лучи, падающие на границу раздела под небольшими углами?
11
РЕШЕНИЯ
МАТЕМАТИКА
М1. log9 x 4 4 logx 3 1. log9 x 1
Ответ: x ( |
1 |
, |
1 |
) (1, 3]. |
|
|
|||
|
81 9 |
|||
Решение: |
|
|
|
|
ОДЗ 0 x, x |
|
|
1 |
, |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
log9 x 4 |
|
2 logx |
9 |
1, |
log9 |
x 4 |
|
|
2 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
log9 x 1 |
log9 x 1 |
log9 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
обозначим logx 9 t, |
получим |
|
t 4 |
|
2 |
1 |
0 |
, |
t2 4t 2t 2 t2 |
t |
0 , |
2t2 |
3t 2 |
0, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t(t 1) |
|
t(t |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|||||||
|
(2t 1)(t 2) |
0 , t |
( |
2, |
|
1 |
) |
|
[0, |
1 |
] , |
|
x |
( |
|
1 |
, |
1 |
) (1, 3]. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
t(t 1) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
81 9 |
|
|
|
|
|
|
М2. log5 31 6 52 x2 x .
Ответ: x , 1 log5 6, 2 .
Решение:
ОДЗ: 31 |
2 x |
2 |
1 |
|
2 x2 |
5 , 2 |
x |
2 |
1, x |
2 |
1, |
| x | |
1. |
||||||
6 5 |
|
|
, т.е. 5 |
|
|
||||||||||||||
1) все отрицательные x |
на ОДЗ являются решениями, |
|
x |
1 –– решения |
|||||||||||||||
задачи. |
1 получим log5 31 6 52 x2 |
x2 , log5 31 6 52 x2 log5 5x2 , т.к. |
|
||||||||||||||||
2) при x |
5 1, то |
||||||||||||||||||
31 6 52 x2 |
5x2 , 52x2 |
31 5x2 150 0 , (5x2 25)(5x2 |
6) 0 , откуда и следует ответ. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
М3. 2cos x sin x ctg x |
sin x , x |
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ОДЗ: sin х 4; cos x 0; |
2cos x sin x 0; tg 2 ; |
sin х 0. |
|
|
|
||||||||||||||
Исходное уравнение равносильно системе: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ctg x 0 |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2cos x sin x ctg2 xsin x (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
2cos x sin x ctg2 xsin x ; cos x 0; 2 tg x ctg2 x ; |
1 |
|
|
tg x 2 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
||||||
tg2 x 2tg x 1 0; tg x 1 2 |
0; |
|
tg x 1; x |
|
n, n Z |
. С учетом уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1), ОДЗ и промежутка: x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x 2 tg4 |
|
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
М4. |
sin x |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
, |
|
x |
|
|
0, |
|
|
, y |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cos |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
|
|
; |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2sin |
2 |
x 2tg |
4 |
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 2tg |
4 |
y 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin x 1 tg2 y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x tg2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть sin x a, |
|
a |
|
1; |
tg2 y b, |
b 0. Система примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2b 5 |
|
2b 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2a |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a b 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b 2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2a2 2 2 a 2 5; 2a2 8 8a 2a2 5; 4a2 8a 3 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
(не подходит, т.к. |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
a |
|
; b 2 a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Значит: |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С учетом промежутка: x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,52 ; tg2 y |
|
3 |
; |
|
tg y |
3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y arctg |
|
|
3 |
|
n, |
n Z |
. С учетом промежутка: y arctg |
3 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
М5. В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найти площадь этого треугольника.
Ответ: S a b .
Решение:
(a b)2 (a r)2 (b r)2 ,т.е. ab r2 (a b)r S .
М6. На плоскости лежат три равных шара радиуса R , попарно касающиеся друг друга. Четвертый шар касается плоскости и каждого из первых трех шаров. Найти радиус четвертого шара.
Ответ: r R / 3 .
Решение:
(R r)2 (R r)2 4R2 / 3 .
14
ФИЗИКА
Ф1. Вагонетку массы 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту составляет 30 . Какую работу совершила сила тяги на пути в 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0, 2 м / сек2 ? Коэффициент трения принять равным 0,1; g 10 м / сек2 .
|
N |
|
|
T |
|
T |
|
N1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Fmp |
|
|
|
T |
|
P2cos |
P1 |
||
|
|
|||
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
Ответ: A m a g sin fg cos s 900 кдж
Решение:
а) По условию задачи необходимо вычислить работу постоянной силы тяги FT . Эта работа определяется формулой
A FT s cos . |
(1) |
б) Делаем чертеж (рис. Ф1) и расставляем силы, действующие на вагонетку: силу тяги FT , силу тяжести P , силу трения Fтр и реакцию опоры N .
По условию задачи сила тяги направлена вдоль перемещения, поэтому угол между FT и перемещением равен нулю и, следовательно, cos 1. (Этот угол не следует путать с углом наклона плоскости.)
Для определения силы тяги разложим силу P , как обычно, на составляющие и (направления этих составляющих указано на рис Ф1) и запишем
уравнение второго закона динамики
FT P sin Fтр ma .
Откуда с учетом того, что Fтр fN fP cos , получим:
FT m a g sin fg cos .
Подставляя значение силы тяги в уравнение (1), получим:
A m a g sin fg cos s 900 кдж .
15
Ф2. Два идеально гладких стержня радиуса R подвешены на нитях, образующих между собой угол 2 (рис. Ф2). На стержни положили цилиндр радиуса R и массы 2M так, что вся система находится в равновесии. Определить расстояние между центрами стержней, если масса каждого из них равна M .
2 |
y |
T |
|
y |
|
|
|
||
|
T cos |
|
N |
N |
2 |
|
|||
|
N sin |
T sin |
|
|
|
|
|
||
l |
|
N cos x |
|
x |
N |
|
|
|
|
|
P |
|
2P |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ответ: l |
4R tg |
|
|
|
1 4 tg2 . |
|
|
|
Решение:
В данной задаче рассматривается равновесие тел (заданы размеры стержней и цилиндра), однако при решении задачи можно ограничиться только составлением уравнений равновесия в проекциях, поскольку идеально гладкие тела при своем взаимодействии вращаться не могут.
Из уравнений равновесия нам нужно будет определить угол можно легко найти расстояние между осями стержней, о котором спрашивается в задаче. Как видно из чертежа, это расстояние равно:
l 2R sin . |
(1) |
Так как стержни находятся в одинаковых условиях, для составления полной системы уравнений равновесия нужно рассмотреть только один из этих стержней и цилиндр. На левый стержень действуют: сила земного притяжения P , сила натяжения нити T (она направлена вдоль радиуса стержня к точке подвеса) и сила нормального давления цилиндра N . Учитывая, что стержень абсолютно твердый, действующие на него силы можно перенести вдоль линий их действия в течку O , равновесие стержня от этого не нарушится. Точку O мы примем за начало координат и, взяв оси разложения по горизонтали и вертикали, разложим по ним действующие силы. Нам нужно будет разложить
силы T и N на составляющие T sin , T cos , N sin |
и N cos . Поскольку |
|
стержень не перемещался, для оси Ox должно быть: |
|
|
|
T sin N sin 0 ; |
(2) |
для оси Oy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
T cos N cos P 0 . |
(3) |
На цилиндр действуют вдоль радиусов две одинаковые реакции опоры N , равные силам нормального давления на стержни, и сила тяжести 2P . Для составления уравнения равновесия мы, как и в первом случае, перенесем силы N вдоль линий их действия до пересечения с линией действия силы 2P . Силы N удобно предварительно сложить по правилу параллелограмма, поскольку длины у них одинаковые и в сумме должны быть направлены вверх (иначе они не уравновесят силу тяжести). Равнодействующая этих сил равна, как видно из
чертежа, 2N cos и, следовательно, для равновесия |
цилиндра необходимо, |
чтобы |
|
2N cos 2P 0. |
(4) |
Исключая из уравнений равновесия силы, получим:
tg 2 tg .
После этого находим расстояние между центрами стержней:
l |
|
4R tg |
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
1 4 tg2 |
Ф3. На гладком горизонтальном столе лежит шар массы M , прикрепленный к пружине с коэффициентом упругости k (рис. Ф3). В шар попадает пуля массы m , имеющая в момент удара скорость v0 , направленную вдоль оси пружины.
Считая удар абсолютно неупругим и пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить амплитуду и период колебаний шара.
|
A |
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
II |
0 I |
|
|
|
|
|
|
mvo |
m M |
|
|
m M |
|
Ответ: A m M |
k |
, |
T 2 |
k |
. |
Решение:
а) В момент соударения пуля сообщит шару кинетическую энергию, вследствие чего он придет в движение и начнет сжимать пружину. Пружина будет сжиматься до тех пор, пока энергия движения полностью не перейдет в потенциальную энергию деформации. В этот момент кинетическая энергия шара станет равной нулю, потенциальная энергия пружины, а вместе с нею и шара достигнет максимума, смещение шара от положения равновесия станет равно амплитудному значению. Дальше процесс пойдет в обратном порядке:
17
форма пружины будет восстанавливаться, потенциальная энергия шара станет уменьшаться, кинетическая возрастать и в положении равновесия (точке O ) первая станет равной нулю, вторая достигнет максимума. Скорость шара будет направлена при этом вправо, и он начнет колебаться. Так как поверхность стола идеально гладкая и сопротивление воздуха ничтожно мало, кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную, возвращающая сила всюду будет пропорциональна смещению, а колебания шара – гармоническими.
б) Чтобы определить амплитуду этих колебаний, нужно воспользоваться законом сохранения энергии. Если в первом положении (в момент начала движения) шар вместе с пулей обладал энергией
E |
m M |
v2 |
|
|||
|
|
|
|
1 , |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
во втором – |
|
|
|
|
|
|
E |
kA2 |
, |
|
|||
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то E2 E1 0 , или |
|
|
|
|
|
|
|
kA2 |
m M v12 |
|
|||
|
|
|
|
0 , |
(1) |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
поскольку внешние силы (реакция опоры и сила трения) над системой шар – пружина работу не совершают. Начальная скорость шара v1 определяется из уравнения закона сохранения количества движения. Пренебрегая, как всегда, смещением шара во время удара и учитывая, что пуля застревает в шаре, получим:
mv0 m M v1 . |
(2) |
Величина возвращающей силы, действующей на шар, определяется уравнением
F m M 2 x , |
(3) |
||
где – угловая частота, равная |
|
|
|
|
2 |
. |
(4) |
|
|||
|
T |
|
Эту же силу можно определить из формулы
F kx , (5)
где k – коэффициент упругости пружины. Соотношения (1) – (5) полностью отражают явление, рассматриваемое в задаче, и служат исходной системой уравнений для нахождения неизвестных.
Решая уравнения (1) и (2), получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
mvo |
|
|
m M |
, . |
||
|
m M |
|
|
k |
||||
Из формул (3) – (5) находим: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T 2 |
|
m M |
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18