M4_10_14
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)
Заочная физико-техническая школа
МАТЕМАТИКА
Тригонометрические функции и уравнения
Задание №4 для 10-х классов
(2014 – 2015 учебный год)
г. Долгопрудный, 2014
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Составитель: М. А. Лунина, доцент кафедры высшей математики МФТИ.
Математика: задание №4 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год), 2014, 24 с.
Дата отправления заданий по физике и математике – 05 января 2015 г.
Составитель:
Лунина Мария Александровна
Подписано в печать 14.11.14. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 550. Заказ №31-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Моск. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2014
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
2
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
I Тригонометрические функции
Из школьного курса алгебры хорошо известны свойства тригонометрических функций: y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x. Остановимся подробнее на двух свойствах этих функций.
1. Чётность и периодичность
Напомним
Определение 1. Функция y f x называется нечётной, если для всех х из области определения функции выполняется f x f x .
Функция f x называется чётной, если для всех х из области опреде-
ления функции выполняется f x f x .
Подчеркнём, что в этом определении предполагается, что область определения чётных и нечётных функций симметрична относительно
точки x 0 , т. е. вместе с точкой х содержит и точку |
x. |
Известно, что функции y sin x, y tg x, y ctg x |
являются нечёт- |
ными, а функция y cos x является чётной. Также чётными функциями
являются, например, y x2 , |
y |
|
x |
|
, а нечётными: y x, y x3 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 1. Исследовать на чётность и нечётность функции: |
||||||||||||||||||||||||
а) |
y |
sin x |
; б) |
y |
|
1 |
; в) |
y |
|
x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. а) |
y x |
sin x |
sin x |
sin x |
y x , |
т. е. функция |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
||||||||||||
чётная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Область определения функции ; 1 1; |
не является |
симметричной относительно x 0, функция не является ни чётной, ни нечётной.
в) y x x 1 x 1 x 1 x 1 y x , т. е. функция не-
чётная (здесь мы использовали равенство a a ).
Ответ. а) чётная; б) не является ни чётной, ни нечётной; в) нечётная.
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
3
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Отметим, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Определение 2. Функция y f x называется периодической с периодом T 0 , если для всех значений х из области определения функции выполняются равенства f x T f x T f x .
Подчеркнём, что в определении периодичности предполагается, что
область определения функции вместе с точкой х содержит и точки
x T .
Нетрудно показать, что если функция имеет период T , то числа n T , где n Z, n 0, также периоды этой функции. Таким образом, возникает
вопрос о наименьшем положительном периоде (НПП) функции. Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Например,
для функции y C (постоянная функция) любое ненулевое число является периодом. Из школьной программы известно, что число T 2 является периодом функций y sin x и y cos x, а число T периодом функций y tg x и y ctg x . Однако эти числа являются НПП
соответствующих функций. Строгое доказательство этих фактов часто вызывает затруднения у школьников.
Пример 2. Доказать, что НПП функции y sin x является число 2 . Доказательство. Из определения синуса следует, что для всех х вы-
полняется равенство sin x 2 sin x , т. е. число 2 |
является перио- |
|
дом функции y sin x. |
|
|
Пусть T некоторый период функции |
y sin x . Тогда для всех х |
|
выполняется равенство sin x T sin x . |
При x 0 |
имеем sinT 0 . |
Отсюда следует, что T k, k Z. Нас интересуют положительные значения T , меньшие, чем 2 . Таким может быть только T . Но число T не является периодом функции y sin x , так как равенство
sin x sin x не выполняется, например, при x 2 . Значит, НПП функции y sin x является T 2 .
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
4
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 3. Найти НПП функции y cos3x. |
|
|
|
||||||
Решение. |
|
T |
2 |
является периодом этой функции, |
т. к. |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos 3x 2 cos3x для всех х. Число |
0 T1 |
2 |
|
|||
cos3 x |
|
|
|
|
не |
||||
3 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
может быть периодом y cos3x, т. к. иначе |
0 3T1 2 являлось бы |
|
периодом y cos x. Действительно, если |
cos3 x T1 cos3x для лю- |
|
бого x R , то cos t 3T1 cost . Здесь t |
3x |
может принимать также |
любые действительные значения (доказать, что НПП cos x является число 2 , предлагается самостоятельно – см. вопрос №2).
Ответ. 23 .
График периодической функции « периодически повторяется», т. е. его можно построить на отрезке, длина которого равна положительному периоду, а далее сдвигать вдоль по оси абсцисс на величину, кратную этому периоду вправо и влево.
Пример 4. Доказать, что функция y x2 не является периодической. Доказательство следует из свойств графика функции y x2 . Если бы эта функция имела период T 0, то её график «периодически повторял» её график на отрезке 0,T и значения функции на R были бы
ограничены, что не так.
Впрочем, нетрудно привести и аналитическое доказательство. А имен-
но, если предположить, что |
T 0 период y x2 , то x T 2 x2 для |
всех х. В частности, при x 0 |
получим T 2 0 и T 0 (противоречие). |
2.Тригонометрические преобразования
Вразличных задачах приходится делать тригонометрические преобразования. Здесь надо знать и применять свойства тригонометрических функций, а так же многочленные тригонометрические формулы. Приведём основные из них.
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
5
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Основное тригонометрическое тождество и производные от него sin2 cos2 1;
2 |
1 |
|
|
tg 1 |
|
|
; |
cos2 |
|||
2 |
1 |
|
1 ctg sin2 .
Формулы сложения
sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ;
tg tg tg . 1 tg tg
В этих формулах справа и слева берутся одновременно либо только верхние, либо только нижние знаки.
Формулы двойного угла
sin 2 2sin cos ;
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 ;
tg2 |
|
2tg |
. |
|
|
||
1 |
tg2 |
Формулы понижения степени
cos2 1 cos 2 ; 2
sin2 1 cos 2 . 2
Преобразование сумм в произведение
cos cos 2cos |
cos |
; |
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
cos cos 2sin |
|
sin |
|
; |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
sin sin 2sin cos |
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
(справа и слева берутся одновременно либо только верхние, либо только нижние знаки).
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
6
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Преобразование произведений в суммы
sin cos 12 sin sin ; cos cos 12 cos cos ; sin sin 12 cos cos .
Формула дополнительного угла
asin bcos a2 b2 sin , где
cos |
|
|
a |
|
, sin |
|
b |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Последнюю формулу можно записать и в другом виде, например, asin bcos a2 b2 cos , где
cos |
|
b |
|
, sin |
|
|
a |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Также часто используются многочисленные формулы приведения, которые рекомендуем повторить по школьному учебнику вместе с правилом их запоминания.
Рассмотрим несколько задач
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 5. Найти значение функции |
y |
3 sin 2x sin |
|
|
x |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
точке x |
17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
19 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 sin |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
3 sin |
11 |
|
|
|
sin 9 |
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 sin |
|
|
sin |
|
|
|
|
3 sin |
|
sin |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
Здесь использовано то, что T 2 |
|
период функции |
y sin x , |
а также |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формула приведения sin sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Ответ. |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
7
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
Пример 6. Найти sin3 cos3 , если sin cos |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
Так |
как |
sin cos 2 |
1 2sin cos |
1 |
, |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
sin cos |
3 |
. |
Пользуясь |
формулой |
|
для |
суммы кубов, |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ. |
|
11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 7. Преобразовать в произведение тригонометрических |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций сумму S sin cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Воспользуемся формулой приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin cos |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
S cos |
|
|
cos 2cos |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ. |
2cos |
2 |
|
|
cos |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. Вычислить без таблиц произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P cos 20 cos 40 cos80 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Решение. P |
2sin 20 cos 20 cos 40 cos80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 40 cos 40 cos80 |
|
|
2sin 80 cos80 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4sin 20 |
|
|
|
8sin 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin160 |
|
sin 180 20 |
|
|
sin 20 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8sin 20 |
|
|
8sin 20 |
|
|
8sin 20 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Здесь мы воспользовались формулой синуса двойного угла и формулой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приведения sin |
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Ответ. |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
8
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения sin cos .
Решение. По формуле дополнительного угла
|
|
|
|
|
sin cos |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 sin |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как 1 sin |
|
|
1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max sin cos |
|
|
|
|
|||||||||
2, min sin cos 2. |
|||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. 2 и |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Обратные тригонометрические функции
Напомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа х.
Определение 3. y arcsin x это такой угол (число), что sin y x и
|
y |
. |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Определение 4. y arccos x это такой угол (число), что |
|
cos y x и |
|||
0 y . |
|
|
|
|
|
|
|
В определении 3 число x sin y и значит, должно быть |
|
x |
|
1. Ана- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
логично, в определении 4 число x cos y и значит, также должно быть x 1.
Определение 5. y arctg x это такой угол (число), что tg y= x и
y . 2 2
Определение 6. |
y arcctg x это такой угол (число), |
что ctg y x и |
||||||||||||||||||
0 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В определениях 5 и 6 число x любое действительное число. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) arcsin |
1 |
; |
|
|
1 |
|
||||||
Пример 10. Вычислить: |
|
|
б) arcsin |
|
|
; |
в) arccos0; |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) arccos |
|
|
|
; |
д) |
arctg |
|
|
|
; |
е) |
arcctg1. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
9
2014-2015 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. а) arcsin |
|
|
|
|
, |
т. к. |
sin |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) |
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
т. к. sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
; |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
2 2 |
|||||||||||
в) arccos 0 |
|
|
, |
т. к. cos |
0 |
и |
0; ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
г) |
arccos |
|
|
3 |
|
|
, т. к. |
3 |
|
|
и |
0; |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
д) |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
т. к. |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||||||||||||
е) |
arcctg1 , т. к. ctg |
1 и |
|
|
0; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. а) |
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
; |
в) |
|
; г) |
|
; |
|
д) |
|
; |
|
е) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из школьного курса известно, |
что функции y arcsin x и |
y arctg x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
являются |
|
|
нечётными, |
|
т. |
|
|
|
|
|
е. |
|
|
|
|
выполняются |
|
|
|
равенства |
|||||||||||||||||||||||||||
arcsin x arcsin x |
|
|
и |
|
arctg x arctg x, |
которые позволяют сво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дить вычисление arcsin x и arctg x |
|
|
при x 0 и положительным значе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ниям аргумента. Что касается функций |
|
y arccos x и |
|
y arcctg x, то |
они не являются ни чётными, ни нечётными. Для вычисления их при отрицательных значениях аргумента можно, кроме определения, пользоваться также известными из школы формулами:
arccos x arccos x, |
(1) |
||||||
arcctg x arcctg x. |
(2) |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; б) arcctg |
3 . |
|||||
Пример 11. Вычислить: а) arccos |
|
|
|||||
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение. а) По формуле (1) |
|
|
|
1 |
|
|
arccos |
1 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
||
Этот же |
результат |
можно |
|
было получить и |
по |
|
|
|
определению: |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
0; . |
|||||||
arccos |
|
|
|
|
, т. к. cos |
|
|
cos |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
и |
|
||||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
Здесь мы воспользовались формулой приведения cos cos .
2014, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна
10