С.В. Иванова"Формула Тэйлора и её применение"
.pdf! "#$$ %%
! "
# " $
"
% & ' (
)
)
" "
* # "
%+ ( ,-..* / 0 ,-..
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
! |
|
" |
||||||
# |
$ % |
|
|
|
|
|
|
& |
||
|
# |
$ % ' ' |
|
|
||||||
|
|
( |
|
|
|
& |
||||
|
# |
$ % ' ' |
|
|
||||||
|
|
) * |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
# # |
% |
|
|
|
|
|
|||
|
|
% |
|
|
+ |
|||||
|
# , |
$ - |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
, |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
- |
|
||||||||
|
/ ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 % |
# |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- |
, |
|||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|||||
|
|
- |
|
o xk |
|
|
* |
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
, |
||||||||
|
|
( 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
# |
3 ' |
|
|
|
||||||
|
, |
% * ' |
# |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
" |
4 ! 0 |
|
" |
|||||||
|
& |
) * ' |
|
|
& |
||||||
# |
( % |
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
#
|
x → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
" |
# |
|
|
|||||
|
$%& x → 0 |
|
' |
|||||
|
|
f (x) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
g(x) |
|
|
( |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
( |
|
|
)% |
|
|
|
*" |
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
* |
|
|
)% |
|
|
|
** |
g (x) $+
x0 ,
- |
lim |
f (x) |
= 1, |
. |
f (x) |
||
|
|||||||
x→x |
g(x) |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
||
/ g (x) x → x0. 0 |
|
||||||
|
|
|
|
f (x) g (x) |
x → x0. |
|
|
$- lim |
f (x) |
= 0, . f (x) 1 |
|||||
|
|
|
|||||
x→x |
|
g(x) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
g (x) x → x0. 0 |
|
||||||
|
|
|
|
f (x) = o(g (x)) x → x0. |
2"- |
3 2"-
. $
. $ %& g (x)
x → x0 4 2"- 5 $
5 f (x) o(g (x))
6 f (x) = o(1) . f (x)
$ x → x0. lim f (x) = 0
x→x0
7 f (x) = o(g (x)). g (x) 8 $
x → x0. f (x) % $
$ % g (x)
x → x0
9 $% f (x) $% /
g (x) x → x0. $& . $%
|
x → x0. |
|
|
||
|
|
f (x) − g (x) = o(g (x)) |
|
|
|
- f (x) = a (x − x )n + o((x − x |
0 |
)n) |
|||
x → x |
|
|
0 |
|
|
0 |
. a = 0. a (x − x )n % |
||||
|
|
0 |
|
|
f (x) x → x0
o(f )
o(f ) x → x0 C = 0
|
|
|||||||
|
|
|
|
o(Cf ) = o(f ) ; |
|
!" |
||
|
|
|
|
C · o(f ) = o(f ) ; |
|
#" |
||
|
|
|
|
o(f ) + o(f ) = o(f ) ; |
|
$" |
||
|
|
|
|
o(o(f )) = o(f ) ; |
|
%" |
||
|
|
|
|
o(f + o(f )) = o(f ) ; |
|
&" |
||
|
|
|
|
o(f ) · o(g) = o(f g) ; |
|
'" |
||
|
|
|
|
f n−1 o(f ) = o(f n) ; |
|
(" |
||
o(f n) |
n−1 |
|
|
˙ |
|
|||
|
|
|
= o f |
, |
|
f (x) = 0 |
x Uδ (x0) ; |
)" |
|
f |
|||||||
|
|
|
|
(o(f ))α = o(f α) , α > 0. |
*+" |
|||
, |
|
'" |
|
|
||||
α (x) · β (x) - |
α (x) . |
o(f ) |
β (x) . o(g) -
. o(f g)
/ /
/
. , /
/
!
0 f (n) (x0)
|
|
|
|
|
|
f (x ) |
(x − x |
|
|
f |
(x ) |
(x − x )2 + . . . + |
|||||||
f (x) = f (x |
) + |
|
|
|
0 |
|
|
) + |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1! |
|
|
0 |
|
|
|
2! |
|
|
0 |
|||
|
+ |
f (n) (x0) |
(x − x0)n + o((x − x0)n) |
x → x0 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (k) (x ) |
(x − x )k + o((x − x )n) x → x . **" |
|||||||||||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (k) (x ) |
(x − x )k |
|
||||||
|
|
|
|
P |
n |
(x) = |
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
. f (x) x0 2 . rn (x) = f (x)−Pn (x) rn (x) = o((x − x0)n)
x → x0 n3
2 **" n3
. f (x) x0
|
|
|
|
4 |
. f (x) |
x0 (n + 1)3
x - ξ 5 0 5 x x0 x < ξ < x0 x0 < ξ < x"
& |
' |
|
n |
) |
|
|
|
f (n+1) (ξ) |
|
|
|
|||
|
f k (x |
(x − x |
|
(x − x |
|
|
||||||
f (x) = |
0 |
|
)k + |
|
|
)n+1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k! |
|
0 |
|
(n + 1) ! |
0 |
|
|
||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||||||||||
rn |
(x) = |
f (n+1)(ξ) |
(x − x0)n+1 |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
(n+1)! |
|
|
|
|
|
|
f n (x0) !" f (x) " # $" "
|
n |
|
(x − x |
)k + o((x − x )n) |
|
x → x , % |
|||
f (x) = |
a |
$" |
|||||||
|
|
k |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
$" |
& "!" |
$" |
% |
$' |
|||||
" a |
= |
f (k)(x0) |
, |
k = 0, 1, . . . , n. |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( " x0 = 0) $" " "
|
n |
|
||
f (x) = |
|
f (k) (0) |
xk + o(xn) $" x → 0 |
* |
|
||||
|
|
k! |
|
|
|
k=0 |
|
" +
" $" + ,
!"- |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
xn |
|
|
|
||
ex = 1 + x + |
|
+ . . . + |
|
+ o(xn) " " |
|||
2! |
n! |
||||||
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
xk |
||
|
|
ex = |
|
|
+ o(xn) $" x → 0. . |
||
|
|
|
k! |
||||
|
|
|
|
|
k=0 |
ch x = 1 + |
x2 |
x4 |
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
. . . + |
|
|
|
|
+ o x2n+1 |
" " |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2! |
|
4! |
(2n)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ch x = |
|
|
|
|
+ o x2n+1 |
|
$" |
0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2k)! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
|
|
x2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sh x = x + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
. . . + |
|
|
|
|
|
+ o x2n+2 |
|
" " |
|
|
||||||||||||||||
3! |
|
5! |
|
(2n + 1)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
x2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0. |
|
|||||||||||||||
|
sh x = |
|
|
|
|
|
|
|
+ o x2n+2 |
|
$" |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
k=0 |
|
(2k + 1)! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos x = 1 − |
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− . . . + (−1)n |
|
|
+ o x2n+1 |
" " |
|
||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
|
(2n)! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2k |
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
x → 0. |
|
|||||||||||||||||||
cos x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
+ o x |
|
$" |
/ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k)! |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin x = x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
− . . . + (−1)n |
|
+ o x2n+2 |
|
" " |
||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
|
5! |
(2n + 1)! |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(−1)k |
|
|
|
|
|
|
|
x → 0. |
|
||||||||||||||||||||||||
sin x = |
|
|
|
|
|
|
|
+ o x2n+2 |
|
$" |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
k=0 |
|
(2k + 1)! |
|
|
(1 + x)α = 1 + αx + |
α (α − 1) |
x2 + |
|
α (α − 1) (α − 2) |
x3 |
+ . . . + |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
α (α − 1) . . . (α − (n − 1)) |
xn + o(xn) |
" " |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x)α = Cαk xk + o(xn) , $" |
|
x → 0, α / N, α = 0, |
3 |
|||||||||||
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0 |
= 1, Ck = |
|
α(α−1)...(α−(k−1)) |
, k = 1, 2, . . . ; ") |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
α |
|
α |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(−1)k xk + o(xn) |
|
$" |
x → |
0; |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
1 + x |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
2 |
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ o(xn) |
|
x → 0. |
||
|
|
|
xk |
|
||||
1 |
− x |
|||||||
|
k=0 |
|
|
|
ln (1 + x) = x − |
x2 |
|
+ |
x3 |
− . . . + (−1)n−1 |
xn |
|||
|
|
n |
|||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
ln (1 + x) = |
(−1)k−1 |
xk |
+ o(xn) |
||||||
k |
|||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ o(xn)
x → 0;
|
n |
|
|
|
xk |
||
ln (1 − x) = |
− |
|
+ o(xn) x → 0. |
|
|||
|
k=1 |
k |
f (x) ! " f (2n+1) (0)#$
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) = |
f (2k) (0) |
+ |
|
x → 0. |
|
||||||
|
|
|
x2k |
o x2n+1 |
|
|
% |
||||
|
|
(2k) ! |
|
||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) ! " f (2n+2) (0)# |
|||||||||||
$ |
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) = |
f (2k+1) (0) |
|
|
x → 0. |
|
||||||
|
|
x2k+1 |
+ o x2n+2 |
|
& |
||||||
|
(2k + 1) ! |
||||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
'$ ( %
& ! ) $ $ #
* ( ( $# " +
) $ , # -
./
0 !
,
x0 $ - #
!
|
, |
|
x0- |
|
|
|
|
! |
"
" ( ! 1 !
( (- 2 |
n |
|
|||
|
n |
|
xk + o(xn) , x → 0, |
||
f (x) = |
a xk + o(xn) , g (x) = |
b |
|||
|
k |
|
|
k |
|
|
k=0 |
n |
k=0 |
|
|
1) f (x) ± g (x) = |
|
)xk + o(xn) , x → 0; |
|||
(a ± b |
|||||
|
|
k |
k |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
k |
2) f (x) g (x) = ck xk + o(xn) , x → 0, $ ck = aibk−i.
k=0 i=0
3 +
"
+
$ # * + #
" ( ' ./ # - &-
F (x) = f (ϕ (x)) o(xn)# $ ϕ (x) = o(1) x → 0#
" * + 4
. ! ϕ (x) o(xn)5
! f (y) o(yn)5
+ y !
ϕ (x)5
..
n
n
ϕ (x) = Axm m N f (y) = ak yk +
k=0
+ o(yn)
n
F (x) = f (Axm) = Ak ak xmk + o(xmn) , x → 0.
k=0
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
! " f (x) = |
|
α(x) |
= |
|
α (x) · |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1+β(x) |
|
1+β(x) |
|||||||||||||
# β (x) → 0 |
|
||||||||||||||||
$ |
! |
||||||||||||||||
|
|
! |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1+y |
|
% |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
& |
|
|
# |
|
! |
||||||||||||
|
$ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
" f (x) = |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
||||||||||
|
|
h(x) |
|
|
|||||||||||||
h (x) |
$ f (x) h (x) = g (x) |
'
$ ! f (x)
( !
"
( |
! ' |
|
) |
|
|
( |
! # |
! f (x) |
" ' f (n+1)(0)
n
f (x) = ak xk + o(xn) , #
k=0
|
n |
ak |
|
|
f (x) = f (0) + |
|
|
|
|
|
|
xk+1 + o xn+1 |
, ,+- |
|
k=0 |
k + 1 |
# # . ! f (x)
# # .
f (x) #
# f (0)
f (x)
g(x)
" f (x) = axn + o(xn) g (x) = bxn + o(xn) , x → 0, b = 0.
. # lim |
f (x) |
|
= lim |
axn + o(xn) |
|
= |
a |
. |
|
|
|
||||||
x→0 g (x) |
x→0 bxn + o(xn) |
|
b |
1
(f (x)) g(x)
" f (x) = 1 + axn + o(xn) , x → 0, a = 0 g (x) = bxn + o(xn) , x → 0, b = 0.
1 |
1 |
a |
||||
. # lim f (x) |
g(x) |
= lim (1 + axn + o(xn)) |
(bxn+o(xn)) |
= e |
|
. |
b |
||||||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
*+ |
*/ |
|
|
x → 0 |
|
||||||||
|
2x + 3x + o x |
− x + 3x |
2 |
+ o x |
|
||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
= x + o x3 |
. |
||
|
2x + 3x2 |
+ o x3 |
− x + 3x2 + o x3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o x3 − o x3 = o x3
!"
#$
3x + 5x2 + x4 − o x4 1 + 5x − x3 + o x3 x → 0
% ! &
''( ) !
! *
3x + 5x |
+ |
x |
4 |
+ o x |
4 |
|
+ |
2 |
+ 25x |
+ |
|
− |
|||
+ 15x |
|
o x |
4 |
|
|||
2 |
3 |
− 3x |
|
= |
|||
|
|
+ o x |
4 |
|
|||
= 3x + 20x |
|
|
4 |
|
|
||
+ 25x − 2x + o x . |
|
||||||
2 |
3 |
|
4 |
4 |
|
+ , o x4 x → 0
-! #
!
! !$
|
|
||
|
o xk |
k |
|
|
|
|
|
|
|
% # . #$ |
f (x) = ex + x2|x| o(xn) /
n0
'1
# - x0 ! , ! , " "
2
% g (x) = x2|x| g (0) = g (0) = g (0) = 0 g (0)
" % 2 # . #$ g (x) o(xn) * g (x) = o(x) n = 13
g (x) = o x2 n = 23 n ≥ 3
" ) !
#$ &'4(
f (x) = 1 + x + o(x) n = 1 3 f (x) = 1 + x + x22 + o x2
n = 23 n ≥ 3 "
%
# -
, "
+ !
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
% # . #$ |
||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ex · |
1 + x o x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5$ #$ - |
||||||||||||||||
ex 1 |
√ |
1 + x |
1 x → 0 |
|
||||||||||||
! #$ * |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x |
x2 |
|||||||
f (x) |
= |
|
|
|
1 + x + |
|
+ o x2 |
1 + |
|
− |
|
+ o x2 |
|
|||
|
|
|
2 |
2 |
8 |
|
!
! 6
'4
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (x) = 1 + |
|
|
− |
|
|
+ o x2 |
|
|
+ x 1 + |
|
|
|
+ o(x) + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
8 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
7x2 |
|
|
|
|
, x → 0. |
||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
(1 + o(1)) = 1 + |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ o x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = sin x · ln (1 + x) o x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x x ln (1 + x) x x → 0 sin x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln (1 + x) o x4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (x) = x − |
x |
|
+ o x4 |
|
|
x − |
|
|
+ |
|
x |
− |
|
|
+ o x4 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||
= x x − |
|
+ |
|
|
|
− |
|
+ o x4 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
x − |
|
|
+ o x2 |
= |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
3! |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x3 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x2 |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
+ o x5 |
, x → 0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
6 |
!
" " # $
!
! % #
x + 2x2 + 3x3 + o x3 2 = x2 + 2x2 2 + 3x3 2 +
+ 2 x · 2x2 + x · 3x3 + 2x2 · 3x3 +o x3 x + 2x2 + 3x3 + o x3 .
f (x) = ex−x2 o x3
f (x) " & ''(')* + x − x2 x x → 0 , -
% |
|||||
et = 1 + t + |
t2 |
+ |
t3 |
+ o t3 % t = x − x2 |
→ 0 |
2 |
|
||||
x → 0 % |
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
'.
|
|
|
|
x − x2 2 |
|
x − x2 3 |
|
|
f (x) = 1 + |
x − x2 |
|
+ |
|
+ |
|
+ o x3 |
. |
|
2 |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 1 + x − x2 − 5x3 + o x3 , x → 0.
2 6
f (x) = esin ln(1+2x) o x3
/ f (x) "
|
" |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln (1 + t) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t − t2 |
+ t3 |
+ o t3 |
|
% t = 2x → 0 x → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(2x) |
+ |
|
(2x) |
+ o x3 |
= 2x−2x2 + |
8x + o x3 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
ln (1 + 2x) = 2x− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
! u = 2x − 2x2 + |
8x3 |
|
+ o x3 |
u → 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x → 0 sin u = u − u3 + o u3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin ln (1 + 2x) = 2x − 2x2 + |
|
|
|
|
+ o x3 |
|
− |
|
|
(2x + o(x))3 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 y = 2x − 2x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2x − 2x2 + |
|
4x3 |
+ o x3 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ o x3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4x3 |
|
y → 0 x → 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ey = 1 + y + |
y2 |
|
+ |
y3 |
+ o y3 |
% |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f (x) = 1+ 2x − 2x2 + |
|
|
|
|
+ o x3 |
|
|
+ |
|
|
|
2x − 2x2 + o x2 |
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + 2x − |
4x3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
(2x + o(x))3 + o x3 |
|
|
|
|
|
|
+ o x3 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
'1
!"
!" #
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f (x) = exp |
sin |
2x − 2x2 + |
8x |
|
+ o x3 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= exp |
|
|
|
|
2x − 2x2 + |
|
|
|
|
+ o x3 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
(2x + o(x))3 + o x3 |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp 2x − 2x2 + |
4x |
|
|
+ o x3 |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= 1 + 2x − 2x2 + |
|
|
|
|
+ o x3 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2x − 2x2 + + o x2 |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
(2x + o(x))3 + o x3 |
|
|
= 1 + 2x − |
|
|
|
|
|
+ o x3 |
|
, x → |
0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
$ ! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = arcsin x3 |
|
|
|
o x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+x2) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
ln |
1 + x |
|
x |
|
|
|
|
x |
→ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
% |
|
arcsin x |
3 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o x7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
$ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln |
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
& o x6 |
|
|
" ' # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + o x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + o x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (x) = |
x2 − |
x4 |
+ |
x6 |
+ o(x6) |
= |
1 − |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
+ o(x4) |
= |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
x + o x5 |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
+ o x4 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ o x2 |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
x + o x5 |
|
1 + |
|
|
|
− |
|
|
+ o x4 |
|
|
|
|
= x+ |
|
|
− |
|
+ o x5 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
12 |
|
|
|
|
2 |
12 |
|
|
n
! n" #$
%&
$ ϕ (x) = Axm, m N" '
! $
"
( $ f (x) = tg x o x6 "
' "
tg x |
= |
cos x |
! |
cos x · tg x = |
sin x" |
|
|
||
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
tg x |
|
|
|
|||
( |
|
|
|
"
|
|
|
|
( |
$ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
o x6 |
) |
|
1 − |
+ |
+ o x5 |
|
|
|
|
ax + bx3 + cx5 + o x6 |
|
= |
||||||||||||||||||||
2 |
24 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
x − |
+ |
|
+ o x6 |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
* |
|||||||||||||||||||||||||||||||
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x : |
|
|
a = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 : − |
a |
+ b = − |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 : |
|
a |
|
− |
b |
+ c = |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
120 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
* a = 1, b = |
1 |
, c = |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
15 " # |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
tg x = x + |
|
x3 |
+ |
|
|
x5 + o x6 |
|
, x → 0. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
15 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
+ ! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
|||||||||||||||||||||||||
y = th x o x6 |
|
" + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
th x = x − 13 x3 + 152 x5 + o x6 , x → 0.
( $
f(x) = arcsin x o x6 "
, (
o x6 )
%-