PS3_10_13
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа
Московского физико-технического института (государственного университета)»
Ф И З И К А
Решение задания №3 для 10-х классов
(2013 – 2014 учебный год)
г. Долгопрудный, 2013
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
Составитель: С.Д.Кузьмичев, доцент кафедры общей физики МФТИ
Физика: Решение задания №3 для 10-х классов (2013-2014 учебный год).
2013, 12 с.
Составитель:
Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
Подписано 17.12.13. Формат 60×90 1/16.
Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,66. Тираж 1500. Заказ №34-з.
Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)
ООО «Печатный салон ШАНС»
Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс (495) 408-5145 – заочное отделение,
тел./факс (498) 744-6351 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.
e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
Наш сайт: www.school.mipt.ru
© ЗФТШ, 2013
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
2
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
Контрольные вопросы
1. Тепловыми называют такие машины, в которых происходит превращение теплоты в механическую работу. Вещество, производящее работу в тепловых машинах, называют рабочим телом или рабочим веществом.
Чтобы рабочему телу сообщить некоторое количество теплоты, необходимо привести его в контакт с нагревателем. Количество теплоты, полученное от нагревателя, идѐт на увеличение внутренней энергии рабочего тела и совершение им работы. В результате этого рабочее тело, расширяясь, совершает работу. Для повторного использования двигателя поршень необходимо вернуть в исходное положение.
Чтобы рабочее тело возвращалось в исходное состояние, от него необходимо отводить некоторое количество теплоты. Для этого его приводят в контакт с холодильником. Холодильником называют такое тело, которому рабочее тело отдаѐт теплоту при сжатии. Таким образом, в любой тепловой машине должны присутствовать три элемента:
нагреватель, рабочее тело и холодильник. |
|
2. Пусть Tp |
T 30 K изменение температуры газа в процес- |
се изобарического расширения. Тогда для работы ν молей газа в этом процессе можно записать
Ap νR T .
Из первого начала термодинамики Q |
U Aгаза применительно |
к адиабатическому процессу Q 0 для работы газа в этом процессе |
|
получаем: AА U . Для изменения внутренней энергии ν молей |
|
идеального одноатомного газа имеем: |
|
U ν 3 R |
Tа . |
2 |
|
Здесь Tа – изменение энергии в адиабатическом процессе. Тогда для работы газа находим:
Aа ν 3 R Tа . |
|
|
2 |
Учитывая, что Ap Aа A , для |
Tа получаем: |
Tа 2 |
Tp 20 K . |
3 |
|
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
3
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
Таким образом, в рассматриваемом адиабатическом процессе температура газа уменьшится на 20 К.
3. Внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре. В изохорном процессе при увеличении давления газа на 25% его абсолютная температура также увеличивается на 25% (это следует из уравнения состояния идеального газа). Следовательно, внутренняя энергия азота в рассматриваемой ситуации увеличится на 25%, или в 1,25 раза.
4. Адиабатический процесс 1 – 2 (см. рисунок в задании) идѐт без |
|||
теплообмена Q1 2 0 , на изохоре 2 – 3 газ работы не совершает |
|||
A2 3 0 , а его температура увеличивается, т. е. |
U2 3 |
0 . Следова- |
|
тельно, на изохоре 2 – 3 газ получает теплоту Q2 3 0 |
. На изобаре 3 |
||
– 1 газ сжимается, следовательно A3 1 |
0 . При этом уменьшается его |
||
температура, а значит и внутренняя |
энергия |
U3 1 0 . Согласно |
первому началу термодинамики, количество теплоты, переданное газу
на этом участке цикла, равно Q3 1 |
U3 1 |
A3 1 |
0 , т. е. |
газ отдаѐт |
теплоту. |
|
Q |
U Aгаза |
|
5. Из первого начала термодинамики |
примени- |
|||
тельно к рассматриваемому адиабатическому процессу Q 0 для |
||||
работы газа получаем: Aгаза U . Учитывая соотношение между ра- |
||||
ботой газа и работой внешних сил |
Aгаза |
Aвнеш , для изменения |
внутренней энергии гелия имеем:
U Aвнеш 80 Дж.
Так как гелий – одноатомный газ, то изменение его внутренней энергии определяется выражением
U ν 3 R |
T |
m |
3 R T . |
|
|||
2 |
|
M He 2 |
Отсюда для изменения температуры газа находим:
|
2 |
U M He |
|
2 80 Дж 4 г / моль |
|
T |
|
|
|
|
3,2 К. |
|
3mR |
3 8г 8,31Дж / моль× К |
6. Внутренняя энергия ν молей идеального газа определяется соотношением U νCV T , где CV – молярная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме, T – температура газа. Так как гелий является одноатомным газом, то для него CV ,He 3R / 2 . Азот же является двухатомным газом, и для него CV ,N 5R / 2 . Изменения внутренних энергий
гелия и азота в рассматриваемом процессе составят
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
4
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
U1 2,He
U1 2,N
3 |
νHe RT2 |
3 |
νHe RT1 |
3 |
|
m |
R T , |
|||
|
|
|||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
M He |
||
5 νN RT2 |
5 νN RT1 |
5 |
|
m |
R T . |
|||||
|
||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
M N |
Используя уравнение состояния идеального газа PV νRT , для работы каждого из газов в процессе изобарического расширения получаем:
A1 2,He p V2 V1 pV2 pV1 νHe RT2 νHe RT1 |
|
|
m |
R T , |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
M He |
||
A1 2,N p V2 V1 pV2 pV1 νN RT2 νN RT1 |
|
|
m |
R T . |
||
|
|
|
||||
|
|
M N |
Теперь для количеств теплоты, необходимых для нагревания гелия и
азота находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
U |
|
|
|
A |
|
|
|
3 |
ν R T ν R |
T 5 |
|
|
|
m |
R T , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 2,He |
|
|
|
1 2,He |
|
|
1 2 ,He |
|
|
2 |
|
He |
|
|
|
He |
2 |
|
|
|
M He |
||||||||
Q |
U |
|
|
|
A |
|
|
|
5 |
ν |
R |
T ν |
R T 7 R |
|
|
m |
T . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 2,N |
|
|
1 2,N |
|
|
1 2 ,N |
|
|
2 |
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
2 |
|
M N |
||||||||
Отсюда для отношения количеств теплоты получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
m |
R |
T |
|
|
|
|
5 28г / моль |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Q1 2,He |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
M He |
|
|
|
|
|
|
5M N |
|
|
|
|
5. |
||||||||||||
|
|
Q |
|
|
7 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
7M He |
|
7 4г / моль |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 2,N |
|
|
2 R |
M N |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Пусть внутренняя энергия единицы объѐма воздуха U ρcT , где ρ, c, T – плотность воздуха, его удельная теплоѐмкость и температура соответственно. Из уравнения состояния идеального газа следует, что
mμ RT pV ( μ – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая
постоянная). Следовательно, внутренняя энергия U определяется только давлением, а значит и энергия всего воздуха в комнате тоже определяется только его давлением. Оно остаѐтся постоянным, значит не изменяется и энергия воздуха в комнате. Нагреваясь, воздух частично вытекает через щели наружу, что и обеспечивает постоянство (несмотря на нагревание) внутренней энергии воздуха, находящегося в комнате.
8. Так как оба процесса – изотермические, то внутренняя энергия газа не изменяется U 0 . Тогда для них из первого начала термоди-
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
5
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
намики можно записать Q2 Qсжат Aсжат и Q1 Qрасш Aрасш (здесь Aсжат и Aрасш – работы внешних сил при сжатии и самого газа при расширении соответственно).
Работа численно равна площади под графиком процесса. Изменение объѐма газа для обоих процессов одинаковое. В процессе расширения
среднее давление газа pср.расш p0 (здесь p0 – давление в начальном состоянии). При сжатии pср.сжат p0 . Площадь под графиком изотерми-
ческого сжатия больше площади под графиком изотермического расширения:
Aсжат Pср.сжат V Aрасш Pср.расш V .
Следовательно Q2 Q1 .
Задачи
1. Так как объѐм газа не изменяется, то газ работы не совершает. В такой ситуации, как это следует из первого начала термодинамики, вся
подводимая теплота Q1 2 |
идѐт на увеличение внутренней энергии газа: |
Q1 2 |
U2 U1 νCV ( T2 T1 ). |
Здесь ν p1V / RT1 – число молей идеального газа, CV 3R / 2 – |
|
его молярная теплоѐмкость при постоянном объѐме, T2 и T1 – конечная |
|
и начальная температуры. |
В изохорном процессе при увеличении давления в 2 раза температу- |
|||||||||
ра также увеличивается в 2 раза |
T2 |
2T1 . Это несложно показать, |
|||||||
используя |
уравнения |
начального |
p1V νRT1 |
и |
конечного |
||||
p2V νRT2 |
состояний газа. |
|
|
|
|
|
|||
Окончательно, для количества теплоты Q1 2 имеем: |
|
|
|||||||
|
Q |
|
p1V |
3R ( 2T T ) 3 p V 1500 Дж. |
|
||||
|
RT1 |
|
|||||||
|
1 2 |
|
2 |
1 |
1 |
2 1 |
|
|
|
2. Гелий – одноатомный идеальный газ. Пусть T2 – конечная темпе- |
|||||||||
ратура гелия. Для работы гелия в изобарном процессе имеем: |
|||||||||
|
A1 2 p V2 V1 |
p2V2 p1V1 νR T2 T1 |
. |
При выводе выражения для работы использованы уравнения начального p1V1 νRT1 и конечного p2V2 νRT2 состояний газа.
Теперь уравнение первого начала термодинамики для изобарического процесса можно записать следующим образом:
Q1 2 Q U2 U1 A1 2 23 νR T2 T1 νR T2 T1 25 νR T2 T1 .
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
6
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
Сравнивая полученное выражение с выражением для работы газа, получаем:
A1 2 52 Q 250 Дж.
Из первого начала термодинамики найдѐм конечную температуру газа
T2 T1 52νRQ 360K.
Для отношения конечного объѐма газа к начальному, учитывая, что данный процесс изобарный, находим:
V2 T2 1,2. V1 T1
3. Рассмотрим систему, составными частями которой являются две
порции гелия, находящиеся в разных сосудах. Так как объѐм системы |
||||||
не изменяется |
V1 |
V2 |
const , то система работы над другими телами |
|||
не совершает |
A |
0 |
. По условию задачи теплообмена с другими те- |
|||
лами |
также нет |
Q 0 |
. Тогда из первого |
закона термодинамики |
||
Q |
U A |
следует, что внутренняя энергия системы сохраняется |
||||
U 0 , или |
|
|
|
|
||
|
U1 ν1 3 RT1 |
ν2 3 RT2 U2 ν1 |
ν2 3 RT . |
|||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
Отсюда для установившейся температуры получаем:
T ν1T1 ν2T2 360 K.
ν1 ν2
4. В процессе изобарического нагревания 1 – 2 газу сообщается количество теплоты
Q1 ν 23 R T1 T0 νR T1 T0 ν 25 R T1 T0 .
где T0 300 K – начальная температура газа, T1 – его температура в конце изобарического процесса.
В процессе изохорического охлаждения газ отдаѐт количество теплоты
Q2 ν 23 R T1 T ,
где T – температура газа в конце изохорного охлаждения.
Используя полученные соотношения, для конечной температуры газа получаем:
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
7
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
T1 T0 52νRQ1 ,
TT1 23QνR2 T0 52νRQ1 23QνR2 300 K.
5.Найдѐм связь между работой
A1 2 |
газа в процессе 1 – 2 (см. рис.1) |
P |
||||
и |
изменением |
его |
температуры |
2 |
||
T2 |
T1 в этом процессе. |
|
|
|||
Согласно графическому |
методу |
|
||||
расчѐта работы газа, модуль работы |
1 |
|||||
газа |
A1 2 в процессе 1 – 2 численно |
|||||
3 |
||||||
равен площади фигуры под графи- |
||||||
|
||||||
ком процесса в координатах |
p,V . В |
V |
||||
нашем случае – это трапеция. Высота |
||||||
0 |
||||||
трапеции равна V2 V1 , |
а основания |
|||||
– p1 и p2 (V1 ,V2 |
и p1 , p2 – объѐмы и |
Рис. 1 |
||||
|
давления газа в состояниях 1 и 2). Так как газ расширяется, то его работа положительна. Имеем:
A1 2 0,5 p2 p1 V2 V1 .
Так как давление гелия p в процессе 1–2 изменяется прямо пропор-
ционально его объѐму V , то справедливы соотношения |
p1 αV1 и |
p2 αV2 , где α – положительная константа. Тогда для |
уравнений |
Менделеева–Клапейрона в состояниях 1 и 2 имеем: p1V1 αV12 νRT1 и p2V2 αV22 νRT2 . С учѐтом этих соотношений выражение для работы A2 3 принимает вид:
A1 2 0,5α V22 V12 0,5νR T2 T1 .
Отсюда для разности температур T2 T1 получаем:
T2 T1 2 A1 2 .
νR
По условию задачи температуры гелия в состояниях 1 и 3 равныT3 T1 . Следовательно
T2 T3 2 A1 2 .
νR
Согласно определению, молярной теплоѐмкостью тела в тепловом процессе называется величина
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
8
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
|
c |
Q |
, |
|
|
||
|
|
νΔT |
|
где Q – сообщѐнное телу количество теплоты, T – изменение тем- |
|||
пературы тела, |
ν – количество молей тела. Если теплоѐмкость является |
||
постоянной величиной, то T – разность конечной и начальной темпе- |
|||
ратур тела. |
|
|
|
Пусть T1 , T2 |
и T3 – температуры газа в состояниях 1, 2 и 3, соответ- |
||
ственно. Так как по условию задачи молярная теплоѐмкость c2 3 гелия |
остаѐтся постоянной в течение всего процесса 1–2, то еѐ расчѐт можно произвести по приведѐнной ниже формуле:
c2 3 |
Q2 3 |
|
. |
ν T3 T2 |
|
Применяя к этому процессу первый закон термодинамики, получаем:
Q2 3 ν c2 3 T3 T2 U3 U2 A2 3 .
Учитывая, что гелий является одноатомным газом, перепишем последнее соотношение:
Q2 3 ν c2 3 T3 T2 3 νR T3 T2 A2 3 . |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
Рассчитаем количество теплоты Q2 3 , учитывая полученное выше |
|||||
выражение для разности температур T2 T3 : |
|||||
Q2 3 |
U3 U 2 A2 3 3 |
νR T3 T2 A2 3 |
|||
|
|
2 |
|
||
|
3 |
νR |
2A1 2 |
A2 3 |
A2 3 3A1 2 400 Дж. |
|
|||||
|
2 |
|
νR |
|
Воспользуемся полученными выражениями для расчѐта искомой теплоѐмкости c2 3 :
c2 3 |
Q2 3 |
|
|
A2 3 3A1 2 |
|
3A1 2 A2 3 |
R R. |
||
ν T3 T2 |
|
ν |
2A1 2 |
|
2A1 2 |
||||
|
|
νR |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Пусть h1 и h2 – расстояния от поршня до дна сосуда в начале и в конце первого опыта, T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа в первом опыте, S – площадь поршня, m – его масса.
Применим к описанию происходящего в системе процесса первый закон термодинамики. Так как стенки сосуда и поршень тепло-
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
9
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение
непроводящие, то Q1 2 0 . Пренебрежение теплоѐмкостями сосуда и поршня означает, что следует учитывать только изменение внутренней энергии газа. С учѐтом этих обстоятельств запишем первый закон в следующей форме:
Q1 2 0 U2 U1 Aгаза ,
где U1 3νRT1 / 2 и U2 |
3νRT2 |
/ 2 – начальное и конечное значения |
||||
внутренней энергии ν |
молей гелия (гелий – одноатомный газ), |
Aгаза – |
||||
работа газа. |
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем Aгаза . Результатом совершѐнной газом работы является |
||||||
опускание |
поршня |
с |
гирей |
(общая масса |
3,5m ) на |
высоту |
h h1 h2 |
h1 h2 . При этом потенциальная энергия поршня и гири |
|||||
W уменьшилась на 3,5mgh . Таким образом, получаем: |
|
|||||
|
Aгаза W 3,5mgh 3,5mg h2 |
h1 . |
|
|||
Пусть |
p1 и p2 – |
начальное и конечное давления газа, V1 |
h1S и |
|||
V2 h2 S - начальный и конечный объѐмы газа. Как в начальном, так и |
в конечном состояниях равновесия действующая на поршень (или гирю и поршень) сила тяжести поршня уравновешивается только силой давления газа (внешнее давление отсутствует):
mg = p1S, 3,5mg = p2S,
откуда видно, что p2 = 3, 5 p1 (по условию задачи масса гири в 2,5 раза больше массы поршня). Используя уравнения состояния
p1V1 mgh1 νRT1 , p2V2 3,5mgh2 νRT2 .
Выражение для работы Aгаза , с учѐтом полученных соотношений, можно преобразовать к следующему виду:
Aгаза 3,5mgh2 3,5mgh1 RT2 3,5 RT1 .
Подставляя найденное выражение для работы в уравнение первого закона термодинамики получаем:
U 2 U1 Aгаза ν 32 RT2 ν 32 RT1 νRT2 3,5νRT1 0.
Отсюда для температуры T2 находим T2 2T1 600 К .
Для нахождения количества теплоты Q2 3 , необходимого для возвращения газа в состояние с начальной температурой T1 в процессе изобарного охлаждения, воспользуемся первым началом термодинамики:
2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич
10