УМФ_2012
.pdf2011-2012 |
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МФТИ-21 |
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1. 6 |
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ξ = x |
2 |
− 2y , η = x + y |
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1 |
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2 |
+ K0 |
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, g(η) = −COS η − K0 . |
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; uξη = 0 = u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) = 4 ξ |
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Ответ: |
u(x, y) = 41 (x2 − 2y)2 − COS (x + y) . Область: −2 < x2 − 2y < 0 0 < x + y < 1 x > −1 . |
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2. 5 |
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ξ = x − t , η = x + t , u = |
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4t3 |
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x3 |
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3 + 6 + v |
= v |
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= f(ξ) + g(η) ; |
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v|t=0 = x Ex + SIN x , vt|t=0 = −(x + 1) Ex + COS x , (v − vx)|x=0 = t − 1 + t2 + SIN t − COS t ; |
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g(η) = SIN η + K0 , η > 0 ; f ′(ξ) − f(ξ) = K0 + 1 + ξ − ξ2 , ξ < 0 ; |
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ξ Eξ |
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K0 , |
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ξ > 0 , |
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; f C f(+0) = f(−0) = K1 = 0 ; |
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f(ξ) = K1 E−ξ − K0 + ξ + ξ2 , |
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ξ < 0 , |
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ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 + O(ξ3) ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 = f C2 . |
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Ответ: u(x, t) = 4t3 + x3 |
+ SIN (x + t) + |
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(x − t) Ex−t , |
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0 ≤ t ≤ x , |
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причем u(x, t) |
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C2 |
(x |
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0 , t |
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0) . |
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3 |
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6 |
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x − t + (x − t)2 , 0 ≤ x ≤ t , |
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≥ |
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≥ |
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∞ |
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4(−1)k |
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; |
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3. 7 |
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u(x, t) = |
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k=0 Tk(t) SIN (2k + 1)x , |
x = |
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k=0 ak |
SIN (2k |
+ 1)x , ak = |
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π |
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k |
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2 |
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′′P |
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E−t |
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′ P |
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= |
T◦ = −36 t |
E−t(2 |
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+1) |
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T◦ |
− T◦ = 72 |
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, T◦(0) = 0 , T◦ |
(0) = −36 |
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; |
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T1′′ + 7 T1 = −8 E−t |
, T1(0) = 0 , T1′ (0) = 1 |
= T1 = COS √ |
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t − E−t |
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7 |
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; |
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k 6= 0, 1 : T ′′ + [(2k + 1)2 − 2] Tk = 18 π ak E−t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0 |
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= |
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18 π ak |
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E−t |
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sin γk t |
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√ |
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= |
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Tk = |
2 |
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− COS γk t + |
γk |
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i |
, γk = |
4k |
+ 4k − 1 ; |
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γk +1 |
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h |
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Ответ: u(x, t) = −36 t E−tSIN x + |
COS √ |
7 |
t − E−t SIN 3x+ |
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∞ |
18 π a |
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E−t |
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sin γ |
t |
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+ Pk=2 |
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k |
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k |
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i SIN (2k |
+ 1)x , |
γk = √4k |
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+ 4k − 1 . |
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γk2+1 |
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h |
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− COS γk t + |
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γk |
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4. 4 |
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u = −SIN 5ϕ + v |
= v = 0 , v|r=1 = 1 + COS 5ϕ , |
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v|r=2 = 1 + 32 COS 5ϕ ; |
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Ответ: u(r, ϕ) = 1 + r5 COS 5ϕ − SIN 5ϕ . |
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5. 5 |
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u = 2 t SIN |
(4y − 3z) , u = u + v = vtt − v = 0 ; |
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v|t=0 = y2(x2 + y2 + z2) , vt|t=0 = −2 SIN (4y − 3z) ; |
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b |
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b |
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5t4 |
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− 52 SIN 5t COS (4y − 3z) ; |
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v = y2(x2 + y2 + z2) + t2[x2 + 8y2 + z2] + |
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3 |
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Ответ: |
u(x, y, z, t) = 2 t SIN (4y − 3z) + y2(x2 + y2 + z2) + t2[x2 + 8y2 + z2] + |
5t4 |
− 52 SIN 5t COS (4y − 3z) . |
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3 |
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6. 6 |
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ϕ(x) = 5λC1x − 3λC2 + x + α ; |
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Характеристическое число λ0 = |
1 |
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, собственная функция ϕ0 = 5x − 3 . Для λ = λ0 |
неодно- |
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π |
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родная система |
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4πα |
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C1 = 4π Z |
y2ϕ(y) dy , |
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(1 − 5πλ)C1 + 4πλC2 = β1 , |
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β1 = π + |
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, |
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0 |
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4π |
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3 |
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−4πλC1 + (1 + 3πλ)C2 = β2 , |
β2 = |
5 |
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+ πα , |
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C2 = 4π Z0 |
y |
ϕ(y) dy |
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3 |
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разрешима в случае β1 = β2 = α = − |
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λ = λ |
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: ϕ = |
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5x − 3 |
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, |
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Ответ: λ0 |
= |
1 |
, ϕ0 = 5x |
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3 ; α = |
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3 |
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: |
6 |
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0 |
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5(1 − πλ) |
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π |
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− |
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− |
5 |
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λ = λ |
0 |
: |
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ϕ = (5x |
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3)K |
0 |
+ x |
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3 |
, K |
0 |
= CONST . |
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− |
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− 4 |
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МФТИ-21 |
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7. 4 |
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ФОПФ,ФПФЭ |
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Искомая u(x) есть решение задачи Дирихле u = 12(x12 − x22) , |x| < 1 , u||x|=1 = 0 |
или в |
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1 |
ur + |
1 |
uϕϕ = 12 r2COS |
2ϕ , 0 ≤ r < 1 , ϕ [0, 2π] , u|r=1 = 0 , |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полярных координатах urr + |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
r2 |
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т.е. |
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u(r, ϕ) = (r4 − r2) COS 2ϕ = (x12 − x22) (x12 + x22 − 1) . |
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Ответ: u(r, ϕ) = (r4 − r2) COS 2ϕ = (x12 − x22) (x12 + x22 − 1) . |
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(2) |
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! COS 2ϕ + |
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∞ |
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(2) |
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! SIN 2ϕ ; |
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µ3 r |
X |
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µj r |
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7. 4 |
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ФУПМ |
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u = Q(t) J2 |
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Tj (t) J2 |
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j=1 |
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µ(1) r |
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µ(2)r |
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J1 |
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X |
aj J2 |
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j |
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0 |
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(2) |
r |
! r dr |
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Z0 |
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µj |
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j=1 |
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J2 |
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9 hµ3(2)i2 |
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2 |
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Q ′ + |
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Q + 2Q = 1 , Q(0) = 0 = |
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Q(t) = |
1 |
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1 |
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E−βt |
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, β = |
|
9 hµ3(2)i2 |
|
+ 2 ; |
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|
β |
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Tj ′ + |
9 hµj |
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i |
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Tj + 2Tj |
= 0 , Tj (0) = aj |
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= |
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, γj |
= |
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4 |
i |
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+ 2 ; |
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Tj (t) = aj E−γj t |
|
9 hµj |
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4 (2) |
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2 |
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(2) |
2 |
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4 |
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4 |
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L u = − hx |
− 21 |
′ |
i |
′ |
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− |
25 |
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7. 4 |
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ФАКИ,ФФКЭ |
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u |
= λ u |
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u |
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+ x |
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или |
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L u = −[p(x) u′(x)]′ + q(x) u(x) = λ u(x) , p(x) = x− 21 |
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|
, q(x) = x− 25 . |
|
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Общее решение однородного уравнения Lu = 0 : u=α x2 + β x− 21 . Рассматриваем две задачи: |
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Lv1 = 0 , v1′ (1) = 0 = v1 = x2 + 4 x− 21 |
|
; |
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Lv2 = 0 , v2(4) = 0 = v2 = x2 − 32 x− 21 . |
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|
Определитель Вронского w(x) = v2′ v1 − v1′ v2 = 90 x− 21 |
|
= p(x)w(x) ≡ 90 . Функция Грина |
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2 |
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, 1 ≤ x ≤ ξ ≤ 4 , |
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1 |
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x2 + 4 x− 21 |
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ξ2 − 32 ξ− |
21 |
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− |
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≤ |
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≤ |
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≤ |
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G |
(x, ξ) = |
|
− 90 |
|
x |
2 |
|
32 x |
− |
21 |
|
|
ξ |
2 |
|
+ 4 ξ |
− |
1 |
|
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, |
|
1 ξ |
|
|
x 4 . |
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Z |
G |
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|
G |
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|
− 90 x |
|
|
|
|
32 x |
|
|
|
ξ + 4 ξ |
|
|
2 |
, 1 ξ |
|
|
x 4 . |
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|
4 |
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1 |
|
|
x2 |
+ 4 x− 21 |
|
|
ξ2 |
− 32 |
ξ− |
21 |
|
|
, |
|
1 ≤ x ≤ |
ξ |
≤ 4 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
(x, ξ) u(ξ) dξ , где (x, ξ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
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≤ |
|
≤ |
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≤ |
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Ответ: u = λ |
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2 |
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− 21 |
|
2 |
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− 1 |
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7. 4 |
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ФАЛТ |
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Ответ: u(x, t) = 3 θ(x + t − 1) − 3 θ(x − t − 1) − 2 θ(x + 2t − 1) + 2 θ(x − 2t − 1) , |
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, |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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|
v(x, t) = 2 θ(x + t |
− |
1) |
− |
2 θ(x |
− |
t |
|
− |
1) |
|
|
− |
|
θ(x + 2t |
− |
1) + |
|
θ(x |
− |
2t |
− |
1) . |
|
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4 |
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4 |
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x + t − 1 = 0 |
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(I) |
, x − t − 1 = 0 |
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(II) |
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x + 2t − 1 = 0 |
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(III) |
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x − 2t − 1 = 0 (IV ) . |
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Линии разрыва: |
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, |
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, |
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2011-2012 |
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МФТИ-22 |
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1. 6 |
ξ = x2 + y , η = x − y ; uξη = 0 = u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) = √ |
|
− g(0) , g(η) = η2 − f(0) , f(0) = −g(0) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ξ |
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1 |
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u(x, y) = (x − y)2 + px2 + y . Область: 0 < x2 |
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Ответ: |
+ y < 2 0 < x − y < 6 |
x < − |
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. |
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2 |
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2. 5 |
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ξ = 2x − t , η = 2x + t |
= u = f(ξ) + g(η) ; |
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g(η) = η2 + 2η + K0 , η > 0 ; f ′(ξ) + f(ξ) = 3ξ2 + 6ξ − K0 , ξ < 0 , |
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f(ξ) = |
6ξ2 − 6ξ + 6 − K0 , |
|
ξ > 0 , |
; f |
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C |
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f(+0) = f( |
− |
0) = |
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|
K1 = 6 , |
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K1 E−ξ + 3ξ − K0 , ξ < 0 , |
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ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0+6−6ξ+6ξ2 ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0+6−6ξ+6ξ2+O(ξ3) = f C2 . |
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Ответ: u(x, t) = (2x + t)2 + |
6(2x |
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t)2 − 8x + 8t + 6 , |
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0 ≤ t ≤ 2x , |
причем u(x, t) |
|
C2(x |
|
0 , t |
|
0) . |
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6 E−2−x+t + 3(2x − t)2 + 4x + 2t , |
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0 ≤ 2x ≤ t , |
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≥ |
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≥ |
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∞ |
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2k+1 |
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∞ |
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2k+1 |
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16 |
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3. 7 |
u(x, t) = |
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k=0 Tk(t) COS |
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x , |
x − 2π = |
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k=0 ak COS |
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x , ak = − |
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; |
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4 |
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4 |
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π(2k+1)2 |
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T ′′ |
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4 T |
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= 144 COS 2t , T (0) = 18 , T |
′ (0) = 2 = |
|
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T |
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= SH 2t |
18 COS 2t ; |
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◦ − |
P |
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− |
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P |
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◦ |
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− |
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◦ |
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T1′′ |
+ 4 T1 = 16 COS 2t , T1(0) = 1 , T1′ (0) = 0 = T1 = 4t SIN 2t + COS 2t ; |
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|
k 6= 0, 1 : Tk′′ + [(2k + 1)2 − 5 ] Tk = −9 π ak COS 2t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0 = |
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π a |
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γkt − COS 2t] , γk = 2 |
√k2 + k − 1 ; |
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= Tk = 9γk2−4k |
[COS |
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Ответ: |
u(x, t) = [ SH 2t − 18 COS 2t ] COS x4 + [ 4t SIN 2t + COS 2t ] COS |
3x |
+ |
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4 |
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π a |
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|||
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9 |
k |
[ COS γkt |
− COS 2t |
] COS |
2k+1 |
− COS |
2t x , γk |
= 2 |
√ |
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2 |
+ k − 1 . |
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2 |
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+ Pk=2 γk −4 |
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4 |
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k |
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4. 4 |
u = −2 r COS 3ϕ + v |
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= v = 0 , v|r=1 = 2 + SIN 3ϕ , |
vr|r=2 = 12 SIN 3ϕ ; |
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Ответ: u(r, ϕ) = 2 + r3 SIN 3ϕ − 2 r COS 3ϕ . |
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5. 5 |
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u |
= t |
E−25t |
COS (3x − 4z) , u |
= u + v = vt − v = 0 ; |
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v |
t=0 |
= x2y2z2 + 1 SIN (x + 2y + 4z) + 1 SIN (x + 2y + 2z) ; |
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2 |
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b |
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2 |
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| b |
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v = (x2 + 2t)(y2 + 2t)(z2 + 2t) + 1 |
E−21t SIN (x + 2y + 4z) + |
1 |
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E−9t SIN (x + 2y + 2z) ; |
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2 |
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Ответ: |
u(x, y, z, t) = t E−25tCOS (3x − 4z) + (x2 + 2t)(y2 + 2t)(z2 + 2t) + 21 |
E−21t SIN (x + 2y + 4z) + 21 E−9t SIN (x + 2y + 2z) . |
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6. 6 |
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ϕ(x) = 2λC1x − |
λC2 + 10x |
2 |
+ αx ; |
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Характеристическое число |
λ0 = |
3 |
, собственная функция ϕ0 = 2x − 1 . Для λ = λ0 неодно- |
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π |
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родная система |
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(3 − 4πλ)C1 + 3πλC2 = β1 , |
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β1 = 15π + 2πα |
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, |
C1 = 2 π Z1 y ϕ(y) dy , |
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0 |
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1 |
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3πα |
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2 |
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−3πλC1 + (3 + 2πλ)C2 = β2 , |
β2 = 12π + |
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2 |
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, |
C2 = 2 |
π Z0 |
y |
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ϕ(y) dy |
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разрешима в случае β1 = β2 = α = −6 .
3 λ 6= λ0 : Ответ: λ0 = π , ϕ0 = 2x − 1 ; α = −6 : λ = λ0 :
ϕ= 6λπx − 3πλ + 10x2 − 6x , 3 − πλ
ϕ= (2x − 1)K0 + 10x2 − 8x , K0 = CONST .
2011-2012 |
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МФТИ-22 |
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7. 4 |
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ФОПФ,ФПФЭ |
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Искомая u(x) есть решение задачи Дирихле u = 0 , |x| < 1 , u||x|=1 = 2x22 |
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или в полярных |
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координатах |
urr + |
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ur |
+ |
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uϕϕ |
= 0 , 0 ≤ r < 1 , ϕ [0, 2π] , u|r=1 = 1 − COS 2ϕ , т.е. |
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r |
r2 |
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u(r, ϕ) = 1 − r2 COS 2ϕ = 1 − x12 + x22 . |
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Следовательно |
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Z |
| u|2dx = 4 Z |
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(x12 + x22)dx = 2π |
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|x|<1 |
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|x|<1 |
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Ответ: |
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INF |
Z |
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2 |
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= 2 |
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| u| dx |
π . |
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u H |
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|x|<1 |
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(3) |
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! COS 3ϕ + |
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∞ |
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(3) |
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! SIN 3ϕ ; |
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7. 4 |
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ФУПМ |
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u = Q(t) J3 |
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µ2 r |
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Tj (t) J3 |
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µj r |
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5 |
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j=1 |
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5 |
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X |
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! J3 |
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! r dr |
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||||||||||||
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5 |
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(2) |
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(3) |
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Z |
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J2 |
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µ1 r |
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µj r |
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µ(2) r |
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∞ |
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µ(3)r |
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5 |
5 |
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J2 |
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1 |
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! |
= |
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aj J3 |
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j |
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! = aj = |
0 |
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; |
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5 |
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5 |
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5 |
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(3) |
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j=1 |
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2 |
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µj |
r |
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X |
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Z0 |
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J3 |
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! r dr |
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|||||||||||
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4 hµ2(3)i2 |
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5 |
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|||||||||||||||||||||||||
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Q ′ + |
Q + Q = 0 , Q(0) = 1 = |
|
|
Q(t) = E−βt , β = |
4 hµ2(3)i2 |
+ 1 ; |
|
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4 hµj(3)i2 |
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25 |
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25 |
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4 hµj(3)i2 |
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||||||||||||||||
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Tj ′+ |
|
|
Tj +Tj |
= aj E−t |
, Tj |
(0) = 0 = |
|
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|
Tj (t) = |
|
aj |
|
|
|
|
E−t |
− |
E−γj t |
|
, γj = |
|
+1 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
γj − 1 |
|
|
25 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
25 |
|
|
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L u = − hx |
1 |
|
|
′ |
i |
′ |
|
|
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− |
5 |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||
7. 4 |
|
|
ФАКИ,ФФКЭ |
|
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u |
+ x |
u = λ u |
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3 |
|
|
3 |
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или |
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|||||||||||||||
|
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|
L u = −[p(x) u′(x)]′ + q(x) u(x) = λ u(x) |
|
, p(x) = x |
1 |
|
|
|
, q(x) = x− |
5 |
|
|
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3 |
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|
3 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Общее решение однородного уравнения Lu = 0 : u=α x + β x− 31 |
|
. Рассматриваем две задачи: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Lv1 = 0 , 8 v1 |
|
1 |
+3 v1′ |
1 |
= 0 = v1 = x− |
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
Lv2 = 0 , v2(1)+v2′ |
(1) = 0 = v2 = x−3 x− |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Определитель Вронского |
w(x) = v2′ v1 − v1′ v2 = |
4 |
x− |
1 |
= p(x)w(x) ≡ |
4 |
|
. Функция Грина |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x− 31 ξ − 3 ξ− 31 |
|
|
, |
|
81 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 , |
|
|
|
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|
|
|
|
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(x, ξ) = |
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− |
1 |
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1 |
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1 |
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3 |
|
|
|
|
− 3 |
|
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|
G |
|
|
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− 4 |
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x |
|
|
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|
|
|
ξ |
|
|
|
, |
|
8 |
|
|
|
ξ |
|
|
x |
|
1 . |
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||
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− |
3 x |
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≤ |
≤ |
≤ |
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|
|
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|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
3 |
|
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|
x− 31 ξ − 3 ξ− 31 |
|
, |
|
|
81 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 , |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: u = λ |
|
|
(x, ξ) u(ξ) dξ , где |
|
|
(x, ξ) = |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
G |
G |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
− |
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
x |
|
|
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|
3 x |
|
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ξ |
|
|
, |
|
|
8 |
|
|
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|
ξ |
|
|
x |
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
− |
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|
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≤ |
|
≤ |
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|
≤ |
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8 |
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|||
7. 4 |
|
|
ФАЛТ |
|
|
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|
|
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|
Ответ: u(x, t) = −θ(x + t − 2) + θ(x − t − 2) + 4 θ(x + 2t − 2) − |
|
4 θ(x − 2t − 2) , |
||||||||||||||||||||
|
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|
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|
3 |
|
|
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|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
v(x, t) = |
− |
θ(x + t |
− |
2) + θ(x |
− |
t |
− |
2) + |
|
θ(x + 2t |
− |
2) |
− |
2 |
θ(x |
− |
2t |
− |
2) . |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
x + t − 2 = 0 (I) |
, x − t − 2 = 0 |
(II) , |
|
x + 2t − 2 = 0 |
||||||||||||||||
Линии разрыва: |
|
,
(III) , x − 2t − 2 = 0 (IV ) .
2011-2012 |
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|
МФТИ-23 |
||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. 6 |
|
|
|
|
ξ = 2x − y |
2 |
, η = x − y ; uξη |
= 0 = u = f(ξ) + g(η) ; f(ξ) = |
1 |
3 |
+ K0 |
, g(η) = −CH η − K0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 ξ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
u(x, y) = 81 (2x − y2)3 − CH (x − y) . Область: 0 < 2x − y2 < 3 |
0 < x − y < 23 |
y < 1 . |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. 5 |
|
|
|
|
|
|
ξ = x − t , η = x + t , u = t |
3 |
+ |
|
x3 |
|
+ v = v |
= f(ξ) + g(η) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
v|t=0 = x CH x + SIN2 x , vt|t=0 = −x SH x − CH x − SIN 2x , (v − vx)|x=0 = t2 + t − 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(η) = K0 , η > 0 ; f ′(ξ) − f(ξ) = K0 + 1 + ξ − ξ2 , ξ < 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(ξ) = |
ξ CH ξ + SIN2 ξ − K0 , |
|
|
ξ > 0 , |
|
; f |
|
|
C |
|
|
f(+0) = f( |
− |
0) = |
|
|
K1 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
K1 Eξ − K0 + ξ + ξ2 , ξ < 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ξ −→ +0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 + O(ξ3) ; ξ −→ −0 : f(ξ) = −K0 + ξ + ξ2 = f C2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: u(x, t) = t3 + x3 |
+ |
|
|
|
(x − t) CH (x − t) + SIN2 (x − t) , |
|
0 ≤ t ≤ x , |
|
причем u(x, t) |
|
C2 |
(x |
|
|
0 , t |
|
0) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x − t + (x − t)2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ x ≤ t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
|
≥ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3. 7 |
|
u(x, t) = |
|
∞ |
|
|
|
T |
(t) COS (2k + 1)x , |
|
x |
|
π = |
|
|
|
∞ |
|
a |
|
COS (2k + 1)x , a |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Pk=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
k |
−3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
2′ |
|
|
Pk=0 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
−3t |
k |
|
|
|
− π(2k+1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T◦ |
− 9 T◦ = 36 E |
|
|
|
, T◦(0) = 0 , T◦(0) = 3 |
= T◦ = −6 t E |
|
|
+ 3 SH 3t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T1′′ − T1 = 4 E−3t , T1(0) = 2 , T1′(0) = 0 = |
T1 = 3 2E |
t |
+ E |
−3t |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k 6= 0, 1 : T ′′ + [(2k + 1)2 − 10] Tk = −9 π ak E−3t , Tk(0) = 0 , Tk′ (0) = 0 |
= |
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9 π2 |
ak |
|
|
|
|
|
|
|
3 sin γk t |
|
|
|
|
E−3t |
|
, γk = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Tk |
|
COS γk t |
|
|
|
|
|
|
|
|
4k2 + 4k |
|
|
|
9 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
h |
|
|
|
|
−t |
|
γ |
k−3t |
− |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
( |
|
|
|
|
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|
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|
−3t k +9 |
|
1 |
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x, t |
) = 3 SH 3t |
|
|
6 t E |
COS x + |
|
|
|
3 E |
|
+ E |
|
|
|
SIN 3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
− |
|
|
|
9 π ak |
|
|
|
2 |
|
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|
|
E−3tx |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
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|
∞ |
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|
3 sin γk t |
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2 |
+ 4k − 9 . |
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+ Pk=2 γk2+9 |
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hCOS γk t − |
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γk |
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− |
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i COS (2k + 1)x , γk = √4k |
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4. 4 |
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u = r3 SIN 2ϕ + v = v = 0 , vr|r=1 = COS 2ϕ , |
v|r=2 = 3 + 2 COS 2ϕ ; |
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Ответ: u(r, ϕ) = 3 + |
1 r2 COS 2ϕ + r3 SIN 2ϕ . |
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5. 5 |
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u = −4 t CH (3x + 4z) , u |
= u + v = vtt − v = 0 ; |
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v |
= xy2 + yz2 + zx2 |
, v |
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= 4 CH (3x + 4z) ; |
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b |t=0 |
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bt|t=0 |
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4 |
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v = xy2 + yz2 + zx2 + t2[x + y + z] + |
SH 5t CH (3x + 4z) ; |
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Ответ: |
u(x, y, z, t) = −4 t CH (3x + 4z) + xy2 + yz2 + zx2 + t2[x + y + z] + 54 SH 5t CH (3x + 4z)) |
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6. 6 |
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ϕ(x) = −3λC1x + 5λC2 + αx + 1 ; |
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Характеристическое число |
λ0 = |
1 |
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, собственная функция ϕ0 = x − 1 . Для λ = λ0 |
неодно- |
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2π |
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родная система |
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(3 + 18πλ)C1 − 40πλC2 = β1 , |
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β1 = 6πα + 8π |
, |
C1 = 8 π Z1 y2ϕ(y) dy , |
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0 |
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1 |
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24πλC1 + (5 − 50πλ)C2 = β2 , |
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β2 = 8πα + 10π |
, |
C2 = 8 π Z0 |
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y |
3 |
ϕ(y) dy |
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разрешима в случае β1 = β2 = α = −1 . |
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1 |
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λ = λ |
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: |
ϕ = |
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1 − x |
, |
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Ответ: |
λ0 = |
|
, ϕ0 |
= x |
− |
1 ; α = |
− |
1 : |
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6 |
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0 |
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1 |
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2πλ |
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: |
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x + 3 , K0 = CONST . |
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2π |
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λ = λ0 |
ϕ = (x− |
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1)K0 |
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− |
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4 |
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2011-2012 |
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МФТИ-23 |
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7. 4 |
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ФОПФ,ФПФЭ |
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Искомая |
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u(x) |
есть решение задачи Дирихле u = 24 x1 x2 , |x| |
< 1 , u||x|=1 |
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= 0 |
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или в |
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uϕϕ = 12 r2 SIN |
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полярных координатах urr + |
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ur + |
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2ϕ , 0 ≤ r < 1 , ϕ [0, 2π] , u|r=1 = 0 , |
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r |
r2 |
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т.е. |
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u(r, ϕ) = (r4 − r2) SIN 2ϕ = 2 x1 x2 (x12 + x22 − 1) . |
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Ответ: u(r, ϕ) = (r4 − r2) SIN 2ϕ = 2 x1 x2 (x12 + x22 − 1) . |
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(1) |
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! SIN ϕ + |
∞ |
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(1) |
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! COS ϕ ; |
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µ3 r |
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µj r |
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7. 4 |
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ФУПМ |
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u = Q(t) J1 |
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Tj (t) J1 |
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j=1 |
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2 |
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X |
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! J1 |
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! r dr |
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2 |
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(2) |
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(1) |
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Z J2 |
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µ3 r |
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µj r |
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µ(2) r |
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∞ |
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µ(1)r |
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2 |
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2 |
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J2 |
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3 |
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! |
= |
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aj J1 |
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j |
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! = aj |
= |
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0 |
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; |
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2 |
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2 |
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2 |
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(1) |
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j=1 |
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2 |
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µj |
r |
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X |
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Z0 |
J1 |
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! r dr |
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||||||||||
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9 hµ3(1)i2 |
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2 |
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9 hµ3(1)i2 |
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Q |
′ + |
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Q + 2Q = E−2t |
, Q(0) = 0 = |
|
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Q(t) = |
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1 |
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E−2t |
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E−βt |
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, β = |
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+ 2 ; |
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4 |
9 hµj(1)i |
2 |
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β |
− 2 |
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− |
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9 hµj(1)i |
24 |
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Tj ′ + |
|
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Tj + 2Tj = 0 , Tj (0) = 2aj = |
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Tj (t) = 2aj E−γj t , γj = |
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+ 2 ; |
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4 |
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4 |
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= − |
√ |
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u′ |
|
′ |
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u |
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7. 4 |
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ФАКИ,ФФКЭ |
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u |
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x |
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λ u |
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3 |
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или |
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L |
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|
|
|
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+ 2x 2 = |
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|
√ |
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|
|
|
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|
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|
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1 |
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u |
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p x |
u′ x |
|
′ |
|
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q x |
u x |
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|
λ u x |
|
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, p x |
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, q x |
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|
x |
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|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
L |
|
|
|
)] |
+ |
) = |
) |
|
|
|
|
|
|
|
) = 2x− |
3 |
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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= −[ ( ) |
( |
|
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|
|
|
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|
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|
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|
( |
|
) = |
|
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( |
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2 |
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Общее решение однородного уравнения Lu = 0 : u=α x + β x− 21 |
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. Рассматриваем две задачи: |
|
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Lv1 = 0 , v1 |
|
1 |
= 0 = v1 |
= −8 x+x− |
1 |
|
|
; |
|
|
|
Lv2 = 0 , |
2 v2(1)+v2′ |
(1) = 0 = v2 = x−2 x− |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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4 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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w(x) = v2′ v1 − v1′ v2 |
|
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45 |
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|
1 |
|
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45 |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
Определитель Вронского |
= − |
|
|
x− 2 |
|
|
= p(x)w(x) ≡ − |
|
|
. Функция |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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Грина |
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2 |
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−8 x + x− 21 ξ − 2 ξ− 12 |
, |
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41 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 , |
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(x, ξ) = |
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1 |
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1 |
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2 |
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− 2 |
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G |
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45 |
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x − 2 x |
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−8 ξ + ξ |
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, |
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|
4 ≤ ξ ≤ x ≤ 1 . |
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Ответ: u = λ |
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2 |
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|
−8 x + x− 21 ξ − 2 ξ− 21 |
|
, |
|
|
41 ≤ x ≤ ξ ≤ 1 , |
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(x, ξ) u(ξ) dξ , где |
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(x, ξ) = |
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G |
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|
G |
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45 x 2 x |
− |
2 |
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8 |
ξ + ξ |
− 2 |
|
, |
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1 |
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|
ξ |
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|
x 1 . |
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1 |
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4 |
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|||
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Z |
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− |
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− |
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≤ ≤ ≤ |
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4 |
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7. 4 |
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ФАЛТ |
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Ответ: u(x, t) = − 2 |
θ(x + t − 3) + 2 |
θ(x − t − 3) + 4 |
θ(x + 2t − 3) − 4 |
θ(x − 2t − 3) , |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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v(x, t) = |
− 2 |
θ(x + t |
− |
3) + θ(x |
− |
t |
− |
3) + θ(x + 2t |
− |
3) |
− |
θ(x |
− |
2t |
− |
3) . |
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2 |
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x + t − 3 = 0 |
(I) |
, x − t − 3 = 0 |
(II) |
|
, x + 2t − 3 = 0 (III) |
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Линии разрыва: |
|
,
, x − 2t − 3 = 0 (IV ) .