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(£®á㤠àá⢥--ë© ã-¨¢¥àá¨â¥â), 2007 °c €.ž. •¥â஢¨ç, á®áâ ¢«¥-¨¥, 2007
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11 |
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20 |
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23 |
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28 |
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32 |
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35 |
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38 |
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45 |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.2 (¯® ƒ¥©-¥). ”ã-ªæ¨ï f(~x), ®¯à¥¤¥«ñ-- - ï ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨~a, ¨¬¥¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢-ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâ¨
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k!1
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ƒ®¢®àïâ, çâ® f(~x) = o(g(~x)) ¯à¨ ~x !~a (f(~x) ¥áâì o ¬ «®¥ ®â g(~x)), ¥á«¨ f(~x) = ®(~x)g(~x), £¤¥ ®(~x) | ¡¥áª®-¥ç-® ¬ « ï ¯à¨ ~x ! ~a. …᫨ g(~x) -¥ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì ¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®- ⮩ ®ªà¥áâ-®á⨠~a, â® íâ® ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ à ¢-®á¨«ì-® à ¢¥-áâ¢ã
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¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠(xk; yk) â ª®©, çâ® (xk; yk) 6= (x0; y0) ¨ |
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||||||
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6= y0). |
|
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lim ( lim f(x; y))? |
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|
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x0 + ± |
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|
|
|
|
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®ªà¥áâ-®á⨠(x0; y0), â® ®- ®¯à¥¤¥«¥- ¢ ª¢ ¤à ⥠¢¨¤ fx0 ¡ ¡ ± < x < x0 + ±, y0 ¡ ± < y < y0 + ±g á ¢ëª®«®â®© â®çª®©
(x0; y0) (á¬. à¨á. 1.1). |
•ãáâì ¤«ï «î¡®£® x 2 (x0 ¡ ±; x0 + |
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+ ±) x 6= x0 |
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|
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à¨á. 1.1). |
’ ª ª ª äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© |
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|||||||
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¢®¯à®á ® |
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|
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x!x0 |
(áâ५ª¨ ¢«¥¢® |
¨ ¢¯à ¢® |
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1.1). |
…᫨ â ª®© ¯à¥¤¥« |
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áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¥£® ¥áâ¥á⢥--® - §¢ âì ¯®¢â®à-ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ |
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lim ( lim f(x; y)). €- «®£¨ç-® ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤à㣮© ¯®¢- |
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x!x0 y!y0 |
|
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|
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áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ᮢ¯ ¤ îâ, |
¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. |
||||||
|
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|
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|
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(x + y)2 |
•à¨¬¥à 1.1. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î f(x; y) = x2 + y2 , x2 + |
|||||||
+ y2 > 0. |
Ž- |
®¯à¥¤¥«¥- ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ |
(0; 0), ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®áâ -®¢ª ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ -
-¨¨ lim f(x; y). • áᬮâਬ á- ç « ¯®¢â®à-ë¥ ¯à¥¤¥«ë.
x!0 y!0
„«ï «î¡®£® x = 0 áãé¥áâ¢ã¥â |
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= 1, |
6 |
'(x) = y!0 |
x2 + y2 = x2 |
|
¯®í⮬㠯®¢â®à-ë© ¯à¥¤¥« lim(lim f(x; y)) = 1. €- «®£¨ç-®,
|
|
x!0 y!0 |
(x + y)2 |
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|
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y 6= 0 |
áãé¥áâ¢ã¥â |
lim |
, ¨ |
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Ã(y) = x!0 |
x2 + y2 = |
y2 |
= 1 |
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¤à㣮© ¯®¢â®à-ë© ¯à¥¤¥« â ª¦¥ à ¢¥- 1. |
|
|
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’¥¬ -¥ ¬¥-¥¥ ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, f(x; x) = 2; f(x; ¡x) = 0. …᫨ ¡ë ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮-
¢ « ¨ à ¢-ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®á⨠(xk; yk) =6
6= (0; 0) â ª®©, çâ® lim (xk; yk) = (0; 0), ¢ë¯®«-ï«®áì ¡ë à -
k!1
¢¥-á⢮ klim f(xk; yk) = b. •® ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ klim xk = 0, â® |
|
!1 |
!1 |
f(xk; xk) = 2, |
f(xk; ¡xk) = 0, â.¥. b = 2 = 0. •®«ãç¥--®¥ |
¯а®в¨¢®а¥з¨¥ ¤®ª §л¢ ¥в ®вбгвбв¢¨¥ ¤¢®©-®£® ¯а¥¤¥« .
“¯à ¦-¥-¨¥ 1.1. „®ª § âì, çâ® ¤«ï äã-ªæ¨¨ f(x; y) =
8
= x22 ¡ y22 , x2 |
+y2 > 0, ®¡ ¯®¢â®à-ëå ¯à¥¤¥« |
¯à¨ x |
! |
0, y |
! |
0 |
|||||
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
áãé¥áâ¢ãîâ, -® à §«¨ç-ë. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
“¯à ¦-¥-¨¥ 1.2. „®ª § âì, çâ® ¤«ï äã-ªæ¨¨ f(x; y) = |
|||||||||||
= |
x sin y1 ; |
y 6= 0; |
x |
! |
0, y |
! |
0 à ¢¥- 0, |
||||
½ |
0; |
y = 0, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ |
|
|
|
|
|
|
¯®¢â®à-ë© ¯à¥¤¥« lim(lim f(x; y)) -¥ áãé¥áâ¢ã¥â (-¥ áãé¥áâ-
¢ã¥â ¤ ¦¥ lim f |
|
|
|
x!0 y!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
x; y |
) |
-¨ ¯à¨ ®¤-®¬ |
x |
). |
|
|
|
|
|||||
y 0 |
|
|
|
|
|
6= 0 |
|
|
|
|
||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“¯à ¦-¥-¨¥ |
1.3. |
•ãáâì |
áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« |
|||||||||||
lim f(x; y) = b, ¨ ¯à¨ «î¡®¬ x |
2 |
(x |
±; x |
0 |
+ ±), x = x , |
|||||||||
x!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 ¡ |
|
6 |
0 |
|||
y!y0 |
|
|
lim f(x; y). „®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¢- |
|||||||||||
áãé¥áâ¢ã¥â '(x) = |
||||||||||||||
|
|
|
y!y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
â®à-ë© ¯à¥¤¥« |
lim '(x) = b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x!x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
…éñ ®¤- ¯®¯ë⪠|
ᢥá⨠¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« ª ¯à¥¤¥« ¬ äã-ª- |
|||||||||||||
権 ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© | íâ® ¯à¥¤¥«ë ¯® - ¯à ¢«¥-¨ï¬. |
|
|||||||||||||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.3. •ãáâì ~l = (cos '; sin ') | ¥¤¨-¨ç-ë© |
||||||||||||||
¢¥ªâ®à. …᫨ äã-ªæ¨ï f(x; y) ®¯à¥¤¥«¥- |
¢ -¥ª®â®à®© ¯à®ª®- |
«®â®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨ (x0; y0), â® ¥ñ ¯à¥¤¥«®¬ ¯à¨ x ! x0, y ! y0 ¯® - ¯à ¢«¥-¨î ¢¥ªâ®à ~l (¨«¨ ¯® - ¯à ¢«¥-¨î, ®¯à¥-
¤¥«ï¥¬®¬ã 㣫®¬ ') - §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥- ¬¥--®© ½:
lim |
f(x0 + ½ cos '; y0 + ½ sin '): |
|
½!+0 |
|
|
‡ ¬ ¥ ç - |
¨ ¥. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¢¢®¤ïâáï |
|
¯®«ïà-ë¥ ª®®à¤¨- âë - ¯«®áª®á⨠á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ (x0 |
; y0). |
”¨ªá¨à®¢ --®¥ §- ç¥-¨¥ ' £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® äã-ªæ¨ï à á-
ᬠâਢ ¥âáï «¨èì - «ãç¥, ¢ë室ï饬 ¨§ â®çª¨ (x0; y0) ¯®¤ 㣫®¬ ' ª ¯®«®¦¨â¥«ì-®¬ã «ãçã ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì-®© ®á¨
Ox.
‘â६«¥-¨¥ (x; y) ª (x0; y0) ¯à®¨á室¨â «¨èì ¯® í⮬㠫ãçã. •à¨ ' = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--
-®© f(x; y0) ¢ â®çª¥ x0:
|
lim |
f(x; y0); |
¯à¨ ' = ¼2 ¯®«ãç ¥¬ |
x!x0+0 |
|
lim |
f(x0; y). |
|
|
y!y0+0 |
|
9
“⢥ত¥-¨¥ 1.1. …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â lim f(x; y) = b, â®
x!x0 y!y0
¯à¥¤¥« ¯® «î¡®¬ã - ¯à ¢«¥-¨î ¯à¨
¤ • áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì-ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì ½k ¯®«®¦¨-
⥫ì-ëå ç¨á¥« â ªãî, çâ® lim ½k = 0. ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-
k!1
-®áâì â®ç¥ª (xk; yk) = (x0 + ½k cos '; y0 + ½k sin ') áâ६¨âáï
ª â®çª¥ (x0; y0), ¯à¨çñ¬ (xk; yk) 6= (x0; y0). ’®£¤ |
klim f(x0 + |
|
|
|
!1 |
+½k cos '; y0 |
+½k sin ') = b, â.¥. lim f(x0+½ cos '; y0+½ sin ') = |
|
|
½!+0 |
|
= b (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ -ë ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¯à¥¤¥« ¯® ƒ¥©-¥ äã-ª- 樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå x; y ¨ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ½). ¥ Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ë äã-ªæ¨¨ f(x; y) ¯® ¤¢ã¬ à §-ë¬ - ¯à ¢«¥-¨ï¬ ¢ â®çª¥ (x0; y0) à §«¨ç-ë, â® ¤¢®©-®©
¯à¥¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â. |
|
|
|
|
’ ª, ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1 |
|
|
|
|
f(½ cos '; ½ sin ') = |
(½ cos ' + ½ sin ')2 |
|
= (cos ' + sin ')2 |
|
½2 cos2 ' + ½2 sin2 ' |
||||
|
|
(¯à¨ ' = ¼4 ¨¬¥¥¬ 2; ¯à¨ ' = ¡ ¼4 ¨¬¥¥¬ 0). •® à §«¨ç-ë¬ - - ¯à ¢«¥-¨ï¬ à §«¨ç-ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §- ç¨â, ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ x ! 0, y ! 0 -¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
‚®§-¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¬®¦¥â ¡ëâì, ¥á«¨ ¯® ª ¦¤®¬ã - ¯à ¢- «¥-¨î äã-ªæ¨ï f(x; y) ¨¬¥¥â ¯à¨ x ! x0, y ! y0 ®¤¨- ¨ â®â
¦¥ ¯à¥¤¥« b, â® ¨ ¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« à ¢¥- b? Š ᮦ «¥-¨î, íâ®
-¥¢¥à-®.
•à¨¬¥à 1.2. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î
f(x; y) = 4x2y 2 ; x2 + y2 > 0: x + y
•ãáâì x ! 0, y ! 0. •¥à¥å®¤¨¬ ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬.
½3 cos2 ' sin '
f(½ cos '; ½ sin ') = ½4 cos4 ' + ½2 sin2 ' = ½2 cos4 ' + sin2 ' :
…᫨ sin ' = 0, â® ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-¨¥ à ¢-® 0 ¯à¨ «î¡®¬
½ > 0 |
. ɇǬ |
sin ' 6= 0 |
, â® ¢áñ à ¢-® |
lim f(½ cos '; ½ sin ') = 0. |
|
|
½ +0 |
||
|
|
|
|
! |
ˆâ ª, ¯® «î¡®¬ã - ¯à ¢«¥-¨î ¯à¥¤¥« f(x; y) ¯à¨ x ! 0, y ! ! 0 à ¢¥- 0. •® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f(x; x2) = 12. €- «®£¨ç-®
10 |
|
|
|
|
|
à áá㦤¥-¨î ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1: ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ klim!1 xk = 0, â® |
|||||
f(xk; 0) = 0, |
f(xk; xk2) = |
21 |
. „¢®©-®© ¯à¥¤¥« |
lim f(x; y) -¥ |
|
|
|
|
|
|
x!0 |
áãé¥áâ¢ã¥â. |
|
|
|
|
y!0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Š ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®©§®©â¨ â ª, |
|
|
A |
|
|
çâ® ¯® ª ¦¤®¬ã - ¯à ¢«¥-¨î |
|
|
|
|
|
¯à¥¤¥« à ¢¥- 0 (¢à®¤¥ ¡ë, ª ª |
|
|
B |
|
|
-¨ ¨¤â¨ ª â®çª¥, ¢áñ à ¢-® 0), |
|
|
|
|
|
¯® ¯ à ¡®«¥ ¯®«ãç ¥¬ ¤àã- |
|
0 |
C |
x |
£®¥ ç¨á«® 21? ‚®§ì¬ñ¬, - ¯à¨- |
||
|
¬¥à, â®çªã A - |
à¨á. 1.2. ‡- - |
|||
|
|
|
|
ç¥-¨¥ f(A) = |
1 |
|
|
|
|
|
2, -® ¯à¥¤¥« |
|
|
|
|
f(~x) ¯® - ¯à ¢«¥-¨î AO à - |
|
|
|
|
|
¢¥- 0. ’® ¦¥ ¬®¦-® ᪠§ âì |
|
•¨á. 1.2 |
|
|
¯à® â®çª¨ B, C, |
. . . , «¥¦ 騥 |
|
|
|
- ¯ à ¡®«¥. ‚® ¢á¥å íâ¨å â®ç- |
|||
ç¥-¨¥ 1 |
|
|
|
ª å äã-ªæ¨ï ¯à¨-¨¬ ¥â §- - |
|
|
|
|
|
|
|
2. —¥¬ ¡«¨¦¥ â ª ï â®çª ª - ç «ã ª®®à¤¨- â, ⥬ ª®- |
|||||
à®ç¥ ®â१®ª, - |
ª®â®à®¬ äã-ªæ¨ï ¤®«¦- ý㯠áâìþ ®â §- ç¥- |
||||
-¨ï 1 |
|
|
|
|
|
2 ¤® §- ç¥-¨ï 0, -® â ª®© ®â१®ª ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì-ãî |
|||||
¤«¨-ã, ¨ áâ६«¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ª -ã«î ¢¤®«ì í⮣® ®â१ª -¨- |
|||||
祬ã -¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â. |
|
|
|
|
‘®¢¥аи¥--® пб-®, зв® ¥б«¨ г¤ бвбп ¤®¡¨вмбп бва¥¬«¥-¨п ª -г«о ¯® «о¡®© ¯ а ¡®«¥, в® ¬®£гв - ©в¨бм ¡®«¥¥ б«®¦-л¥ ªа¨¢л¥ (- ¯а¨¬¥а, б¯¨а «¨), ¯® ª®в®ал¬ бва¥¬«¥-¨п ª -г«о -¥ ¡г¤¥в. Œ®¦¥в ᮧ¤ бвмбп ¢¯¥з в«¥-¨¥, зв® -¥¢®§¬®¦-® ¤®- ¡¨вмбп бгй¥бв¢®¢ -¨п ¤¢®©-®£® ¯а¥¤¥« . •® ¨ нв® -¥¢¥а-®.
•à®áâ® ¬ë - ¨¢-® áç¨â ¥¬, çâ® ¯®-ï⨥ ¤¢®©-®£® ¯à¥¤¥« ¬®¦-® ᢥá⨠¨áª«îç¨â¥«ì-® ª ¯à¥¤¥« ¬ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥- ६¥--®©. •â® ¤¥©á⢨⥫ì-® -¥¢®§¬®¦-®, ¨ -ã¦-ë ¤à㣨¥ ¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ -¨ï.