НачГеометрия_Семестр1_Теория
.pdfНачертательная геометрия изучает: способы построения изобра жений пространственных форм на плоскости; способы решения задач геометрического характера по заданным изображениям; поз воляет мысленно представить форму пространственного объекта по изображению. Проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекции. Виды проециро вания: центральное, параллельное, прямоугольное. Свойства проекций: каждой точке пространства соответствует одна проек ция на заданной плоскости проекции; каждая точка на плоскости может являться проекцией множества точек пространства, распо ложенных на проецирующей прямой → одна проекция точки не определяет её положение в пространстве. Две проекции точки достаточно для определения её положения в пространстве. Две проекции точки лежат на одной прямой, перпендикулярной оси проекции, эта прямая называется линией связи. Координатой точки называется расстояние (в мм) от точки в пространстве до координатной плоскости, совпадающей с плоскостью проекции.
Положение прямой в пространстве определяется двумя точками. Взаимное положение точки и прямой: если точка принадлежит прямой в пространстве, то её проекции принадлежат одноимён ным проекциям прямой и лежат на одной линии связи, перпенди кулярной оси проекции. Следы прямой — точки пересечения прямой с плоскостями проекции. Прямые общего положения — прямые, не параллельные ни к одной из плоскостей проекции. Прямые частного положения — прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекции. Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноимённые проекции пересекаются, и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи. Если прямые параллельны в пространстве, то их одноимённые проекции па раллельны или совпадают. Скрещивающиеся прямые — пря мые, которые не пересекаются и не параллельны. Если прямые скрещивающиеся, то на чертеже их проекции могут пересекаться, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. У конкурирующих точек отличается только одна координата. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересе кающимися прямыми, полученными параллельным переносом. Проецирование прямого угла: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекции, а вторая ей не перпендикулярна, то проекцией прямого угла будет прямой угол (натуральная ве личина). Способы задания плоскости: тремя точками, не лежа щими на одной прямой; прямой и точкой, не лежащей на этой пря мой; пересекающимися прямыми; параллельными прямыми; плос кой фигурой; следами. Следом плоскости называется линия пере сечения заданной плоскости с плоскостью проекции. Плоскость общего положения — плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекции. Плоскость частного положения —
плоскость, перпендикулярная одной или двум плоскостям проек ции. Свойство проецирующей плоскости: проецирующая плос кость проецируется в прямую линию на ту плоскость проекции, которой одна перпендикулярна. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Пря мая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости. Горизонталью плоскости называется прямая, ле жащая в заданной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекции. Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная фронтальной плос кости проекции. Результатом пересечения прямой и плоскости
является точка; алгоритм: заключить прямую во вспомогательную плоскость, найти линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью, на пересечении заданной прямой и пря мой пересечения отметить точку, которая и будет точкой пересече ния прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. Две плоско
сти параллельны, если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым дру гой плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она пер пендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то на чертеже её гори зонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а её фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали (на основании теоремы о част ном случае проецирования прямого угла). Две плоскости взаим но перпендикулярны, если одна плоскость проходит через (со держит) перпендикуляр другой плоскости. Цель преобразования чертежа — переход от общего положения геометрического объек та в частное, необходимое для решения геометрической задачи. Преобразования можно достичь способом перемены плоскостей проекции и способом вращения. Сущность способа перемены плоскостей проекции состоит в том, что частное положение объекта достигается путём изменения системы плоскостей проек ции, при этом сам объект остаётся в пространстве неподвижным. Условия преобразования: объект при всех преобразованиях дол жен находиться в системе двух взаимно перпендикулярных плос костей проекции; преобразование чертежа должно обладать непре рывностью, то есть каждая последующая система плоскостей проекции должна быть связана с предыдущей. При способе вра щения система плоскостей проекции остаётся неизменной, а ме няет своё положение объект проецирования (поворачивается до частного положения). Кривой линией называется траектория дви жения некоторой точки в плоскости или пространстве. Плоская кривая — кривая, все точки которой принадлежат одной плоско сти (окружность, эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда). Пространственная кривая — кривая, точки которой не лежат в одной плоскости (винтовая). Закономерными кривы ми называют кривые, описываемые некоторым законом. Незако номерные кривые случайны. Образующая — линия, производя щая поверхность в каждом её положении. Направляющая — ли ния или линии, вдоль которой скользит образующая, сохраняя не которое положение в пространстве. Линейчатая поверхность — поверхность, у которой образующая — прямая линия (цилиндр, конус). Развёртываемая поверхность — поверхность, которая может быть всеми своими точками совмещена с плоскостью без разрывов и складок; такими могут быть только линейчатые по верхности. Точка принадлежит поверхности, если она принадле жит линии, лежащей на этой поверхности. Поверхность враще ния — поверхность, которая образуется произвольной линией (плоской или пространственной) при её вращении вокруг непо движной оси. Параллель — линия (окружность), которая получа ется при пересечении поверхности вращения плоскостью, перпен дикулярной оси вращения. Экватор — наибольшая параллель. Горло — наименьшая параллель. Меридиан — линия, которая об разуется при пересечении поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения. Цилиндрическая поверхность
— поверхность, образуемая при перемещении прямой линии вдоль направляющей, сохраняя параллельность некоторому направлению. Цилиндр вращения — линейчатая развёртываемая поверхность 2-го порядка, которая образуется при вращении пря мой линии вокруг оси, ей параллельной. Коническая поверх ность — поверхность, которая образуется при перемещении неко торой прямой линии, проходящей через неподвижную точку, вдоль направляющей. Конус вращения — линейчатая развёртываемая алгебраическая поверхность 2-го порядка, которая образуется при вращении прямой линии вокруг оси, её пересекающей. Сфера — поверхность, которая образуется при вращении окружности (дуги
окружности) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через её центр. Любая плоскость пересекает сферу только по окружности, но в зависимости от положения плоскости, окружность может проецироваться в виде отрезка прямой, окруж ности или эллипса. Экватор — максимальная окружность, кото рая получается при пересечении сферы горизонтальной плоско стью, проходящей через центр сферы. Главный меридиан — окружность, которая получается при пересечении фронтальной плоскостью, проходящей через центр сферы. Профильный мери диан — окружность, которая получается при пересечении сферы профильной плоскостью, проходящей через центр сферы. Тор — поверхность, которая образуется при вращении окружности или дуги окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружно сти, но не проходящей через её центр. Круговые сечения тора: плоскости, проходящие через ось тора, пересекут тор по двум окружностям; плоскости, перпендикулярные оси тора, пересекут его по двум окружностям. Виды тора: закрытый (расстояние меж ду осью и центром окружности меньше или равно радиусу), открытый (расстояние между осью и центром окружности больше радиуса). Взаимное пересечение кривых поверхностей: пере сечь заданные поверхности вспомогательной поверхностью; по строить линии пересечения вспомогательной поверхности с задан ными поверхностями; на пересечении полученных линий пересе чения отмечаем точку (или точки), которая будет являться точкой пересечения всех трёх поверхностей → будет лежать на линии пересечения заданных поверхностей. В качестве вспомогатель ных поверхностей можно использовать плоскости, сферы, конусы и т. д. Вспомогательную поверхность выбирают так, чтобы линии пересечения с другими поверхностями были простыми (прямые, окружности). Соосными поверхностями называются поверхно сти, имеющие общую ось вращения. Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, плоскость которой пер пендикулярна оси вращения. Условия применения сфер с посто янным центром в качестве вспомогательных секущих поверхно стей: пересекаются две поверхности вращения; оси поверхностей вращения пересекаются и лежат в плоскости, параллельной плос кости проекции. Пересечение прямой линии с кривой поверх ностью: заключаем прямую во вспомогательную плоскость; нахо дим линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной поверхностью; на пересечении прямой и полученной линии пере сечения отмечаем точки, которые и будут являться точками пере сечения прямой и поверхности; определяем видимость получен ных точек. Многогранником называется часть пространства, ограниченная плоскостями (призмы и пирамиды). Вершина — точка пересечения рёбер. Ребро — прямая линия пересечения двух граней. Грань — плоскость, ограниченная рёбрами. Точка принадлежит поверхности многогранника, если она принадле жит прямой, лежащей на грани, или ребру. Пересечение много гранника с прямой: заключаем прямую во вспомогательную плоскость, перпендикулярную V или H; строим линию пересече ния вспомогательной плоскости и многогранника; на пересечении заданной прямой и полученной линии пересечения отмечаем точ ки, которые и будут являться точками пересечения прямой и многогранника; определяем видимость прямой.