- •2. Линейные дифференциальные уравнения
- •2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.3. Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений
- •2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
- •2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
- •2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го порядков со специальной правой частью
- •2.7. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения геометрических задач
- •2.8. Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения физических задач
- •2.9. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера
2. Линейные дифференциальные уравнения
2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
Пусть задано однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами,и необходимо найти его общее решение.
Приведем алгоритм решения этой задачи:
1) Ищем фундаментальные решения уравнения в виде функций . Подставляяи её производныеив заданное уравнение, получаем, что числадолжны быть корнями характеристического уравнения.
2). Находим корни характеристического уравнения ,и строим фундаментальную систему решений (ФСР):
а) если ,− действительные различные, ФСР образуют функциии;
б) если ,− действительные и равные, ФСР образуют функциии;
в) если − комплексно сопряжённые, ФСР образуют функциии.
3). Имея ФСР, записываем общее решение заданного уравнения , гдепроизвольные постоянные.
Если необходимо решить задачу Коши, то есть найти функцию , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет заданным начальным условиям, то подставляя условия,в выраженияи, получаем систему линейных уравнений относительнодля нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Решая её, находим решение задачи Коши.
Пример 2.1: Решить задачу Коши:,. Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.
Решение.1) По заданному дифференциальному уравнению составляем характеристическое уравнение.
2) Находим корни характеристического уравнения .
3) Имея характеристические корни, составим ФСР =,=.
4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения .
5) Из общего решения находим
.
6) Используя полученные выражения и, для заданных начальных условий получим системуиз которой,.
7) Запишем частное решение (решение задачи Коши) .
Ответ.Общее решение:,частное решение:.
Пример 2.2.Решить задачу Коши, если. Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.
Решение.1) Составляем характеристическое уравнение.
2) Найдём корни характеристического уравнения –, то есть имеем кратные корни.
3) Составляем ФСР =,=x·= x·.
4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения =·+·=·+·.
5) Найдем .
6) Из системы , находим,.
6) Записываем частное решение , удовлетворяющее начальным условиям.
Ответ.Общеерешение=·+·,частноерешение.
Задание 2.1. Решить задачу Коши для уравнений.
Вар. |
Уравнение |
Начальные условия |
2.1.1 |
; |
. |
2.1.2. |
; |
. |
2.1.3. |
; |
. |
2.1.4. |
; |
. |
2.1.5. |
; |
. |
2.1.6. |
; |
. |
2.1.7. |
; |
. |
2.1.8. |
; |
. |
2.1.9. |
; |
. |
2.1.10. |
; |
. |
2.1.11. |
; |
. |
2.1.12. |
; |
. |
2.1.13. |
; |
. |
2.1.14. |
; |
. |
2.1.15. |
; |
. |
2.1.16. |
; |
. |
2.1.17. |
; |
. |
2.1.18. |
; |
. |
2.1.19. |
; |
. |
2.1.20. |
; |
. |
2.1.21. |
; |
. |
2.1.22. |
; |
. |
2.1.23. |
; |
. |
2.1.24. |
; |
. |
2.1.25. |
; |
. |
2.1.26. |
; |
. |
2.1.27. |
; |
. |
2.1.28. |
; |
. |
2.1.29. |
; |
. |
2.1.30. |
; |
. |