Линейная алгебра 2014
.pdfГлава 1. Линейная алгебра.
|
|
§1.Матрицы. Общие понятия. |
|||||||
Опр. Матрицей А размера |
m n |
называется совокупность |
|||||||
расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. |
|||||||||
|
|
a a |
a |
|
a a |
|
|
||
|
|
11 12 |
1n |
|
|
||||
Обозначения: A |
|
a21 a22 a2n |
|
11 |
1n |
|
|||
|
|
|
; A |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||
|
|
|
m1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
mn |
||
|
am1 am2 amn |
|
|
|
|
|
|
m n
чисел,
Amxn; A=( ai j ), где ai j – элемент матрицы;
i=1,…,m – номер строки (i=1, m ); j=1,…,n – номер столбца (j=1, n ).
Замечание. Будем рассматривать числовые матрицы. Если aij – функции (или векторы), то имеем функциональную (векторную) матрицу.
Если m n , то матрица называется прямоугольной. Если m=n , то матрица называется квадратной.
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
– квадратная матрица порядка n. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|
|
|
||
|
|
Если m=1, то матрица состоит из 1-ой строки |
|||||
(а1 , а2 ,…, аn) – матрица-строка. |
|||||||
|
|
Если n=1, то матрица состоит из 1-го столбца |
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– матрица-столбец. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
am |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры: |
|
2 |
5 |
3 |
1 – прямоугольная матрица размером 3х4; |
||
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
0 |
|
– квадратная матрица 2-го порядка; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
5 |
1 |
4 |
3 – матрица-строка 1х4; |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
– матрица-столбец 3х1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр. Матрица, получаемая из данной матрицы А путем замены строк на столбцы и наоборот называется транспонированной и обозначается АT.
a |
a |
a |
|
|
a |
a |
|
|
|
AТ |
|
11 |
|
21 |
|
||||
A 11 |
12 |
13 |
; |
a |
a |
. |
|||
|
a22 |
a23 |
|
|
|
12 |
|
22 |
|
a21 |
|
|
|
|
a23 |
|
|||
|
|
|
|
|
a13 |
|
|||
Если А= AТ |
, то А называется симметричной. |
1
Виды квадратных матриц (частные случаи):
1)Квадратная матрица, у которой все элементы aij=0, называется
нулевой матрицей
0 0 |
|
||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
.
2) Квадратная матрица вида:
|
0 ... |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 ... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
|
0 |
|
0 |
|
|
n |
|
– называется диагональной.
3) Если 1= 2=…..= n =1 то получим матрицу
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
|
|
– которая называется единичной. |
||||
E |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
|
|
|
4) Квадратные матрицы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
b |
0 |
0 |
|
||
|
11 |
12 |
13 |
|
1n |
|
|
|
11 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
a |
22 |
a |
23 |
|
a |
2n |
|
|
b |
b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
||||||
|
0 |
0 |
|
a |
|
|
a |
|
|
и |
|
b |
b |
b |
|
A |
|
|
|
|
B |
||||||||||
|
|
|
|
|
33 |
|
|
3n |
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
a |
|
|
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
n3 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
||
|
||
|
||
b |
|
|
|
||
nn |
–
– называются матрицами треугольного вида (А–верхняя треугольная матрица, В–нижняя треугольная матрица.)
§2. Равенство матриц. Действия над матрицами I.Равенство матриц
Опр. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.
a |
|
a |
|
|
b b |
|
||||||
|
11 |
|
1n |
|
|
|
11 |
1n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
|
|
; |
B |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
b |
b |
|
||
|
m1 |
mn |
|
|
||||||||
|
|
|
m1 |
mn |
||||||||
А=В, если a11 b11 , ,a1n |
b1n , ,amn bmn. . |
II.Сложение матриц
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Опр. Суммой двух матриц А=(аij) и В=(bij) называется матрица
С=(сij), у которой сij=aij+bij, где i=1,…,m ; j=1,…,n.
Am n Bm n Cm n
2
Пример 2.1
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
1 |
1 2 |
2 4 |
3 1 |
3 |
6 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
3 |
0 |
|
|
2 |
3 |
4 0 |
5 5 |
|
|
5 |
4 |
10 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Пример 2.2
1 |
0 |
5 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если В – нулевая матрица, то А+0=А.
Аналогично определяется разность матриц.
Пример 2.3
2 |
1 |
|
1 |
7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
Сложение матриц обладает свойствами: 1)А+В=В+А (переместительный закон) 2)(А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)
3)Для любых матриц А и В одинакового размера существует единственная
матрица Х такая, что А+Х=В. |
|
|
|
||||||||||||
Матрица Х=В–А – разность матриц. В частности, уравнение |
|
||||||||||||||
А+Х=0 имеет единственное |
решение Х=0–А или Х=-А |
– матрица, |
|||||||||||||
противоположная А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
-А = (-аij). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III.Умножение матрицы на число |
|
|
|||||||||||||
Опр. Произведением матрицы А=(аij) на число к с |
R называется |
||||||||||||||
матрица кА = (каij), где i=1,…,m ; j=1,…,n |
|
||||||||||||||
|
a |
|
a |
|
|
|
ka |
ka |
|
|
|||||
|
|
11 |
|
1n |
|
|
|
11 |
|
|
1n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k A k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
ka |
|
ka |
|
|
|
|
|
m1 |
mn |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m1 |
|
mn |
|
Свойства
1)1 A А ; 1 А А ; 0 А О , где 0 – число, О – нулевая матрица
2)k d A k dA
3)k d A kA dA
4) |
k A |
Пример
B
2.4.
kA kB |
|
|
3 |
5 |
|
А |
|
|
|
4 |
1 |
|
. Найти 2А+Е, где Е – единичная матрица второго
порядка.
3 |
5 |
1 |
0 |
6 |
10 |
1 |
0 |
7 |
10 |
||||||||||
Решение: 2А Е 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
|
8 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
IV. Умножение двух матриц
Даны матрицы:
A |
mxn |
|
|
B |
|
nxp |
(m строк, n столбцов) (n строк, p столбцов)
Найдем произведение
Опр. Произведением
A B
матриц А и В называется матрица С, элементы
с |
ij |
|
которой равны сумме произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
сij |
ai1 b1 j |
ai 2 b2 j |
ain |
bnj aik bkj . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
A |
|
B |
C |
m p |
, где с |
ij |
a |
ik |
b . |
m n |
n p |
|
|
|
kj |
||||
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
Произведение А В осуществимо только в случае, когда А имеет число столбцов равное числу строк В.
Итоговая матрица С А В имеет число строк, равное числу строк А и число столбцов, равное числу столбцов В.
В частности: An n Bn n Cn n .
Пример 2.6 |
|
|
|
|||
2 |
|
0 |
|
1 |
||
1 |
B |
|
3 |
|||
A |
|
|
; |
|
||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 .
Найти
A B
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
B |
|
C |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 3 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
2 1 1 3 0 ( 2) |
2 2 1 ( 1) 0 3 |
5 |
3 |
||||||
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 1 1 3 1 ( 2) |
3 2 1 ( 1) 1 3 |
|
|
8 |
2 |
|
|||
3 |
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае A B B A
(Если
A B B
A
, то матрицы А и В называются коммутативными).
Свойства
1) kA B A kB
2) A BC AB C
3) A B C AC BC ; C A B CA CB
4) AE = EA = A, где А – квадратная матрица.
V. Умножение матрицы на матрицу-столбец.
Дано: Am n ; Найти: A X
a11
a A X 21
am1
X |
n 1 |
|
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a11x1 |
|||
|
x2 |
= a x |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
am1x1 |
a12 x2
a22 x2
am2 x2
a1n xn |
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
a |
x |
|
= y2 |
|
Y |
|
|
n |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
amn xn |
ym |
|
4
Пример 2.10
3 1 А
2 0
Решение: A X
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
А Х |
|
|
|
|
|||
|
|
; Х = |
|
1 |
. Найти |
. |
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
4 |
|
2 |
|
3 ( 2) |
1 1 4 3 |
5 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
( 2) |
|
|
|
|
||||
2 |
|
0 6 |
|
|
3 |
|
2 |
0 1 6 3 |
14 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть А – квадратная матрица
А |
X |
n 1 |
Y |
n n |
|
n 1 |
|
a |
a |
x |
|
y |
|
|||
|
|
11 |
1n |
1 |
|
|
1 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
ann xn |
|
yn |
|
При умножении квадратной матрицы на матрицу-столбец получается матрица-столбец той же высоты.
§3. Определители
I. Определения определителей второго и третьего порядков
Понятие определителя матрицы вводится только для квадратных матриц.
Любой квадратной матрице
поставить в соответствие
n-го порядка |
А |
|
выражение (число),
a ... |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
an1 ... |
которое
a |
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
можно |
|
|
|
|
|
|
ann |
|
называется
определителем или детерминантом матрицы и обозначается
А |
или det A. |
a |
|
... |
a |
|
11 |
|
|
1n |
|
|
|
|
||
a |
n1 |
... |
a |
nn |
|
|
|
или
Опр. Определителем второго порядка называют выражение (число)
а |
а |
а |
а |
|
а |
|
а |
||
11 |
|
12 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
|
а |
|
11 |
|
22 |
|
21 |
12 |
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа а11, а12, а21, а22 называют элементами определителя, элементы а11, а22 образуют главную диагональ, а элементы а12, а21 – побочную.
Пример 3.1 |
7 |
2 7 5 3 2 35 6 29 |
||
|
|
|
3 |
5 |
Опр. Определителем третьего порядка называют выражение (число) |
||||
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
а21 |
а22 |
а23 |
а11 а22 а33 а12 а23 а31 а21 а32 а13 а31 а22 а13 а12 а21 а33 а32 а23 а11 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
|
|
Числа аij, i=1,2,3; j=1,2,3 – элементы определителя, элементы а11, а22, а33 образуют главную диагональ, а элементы а13, а22, а31– побочную диагональ.
5
Пример 3.3
1 |
2 |
3 |
|
4 |
6 |
5 |
1 6 1 2 5 2 4 ( 1) ( 3) 2 6 ( 3) 4 2 1 ( 1) 5 1 6 20 12 36 8 5 71 |
2 |
1 |
1 |
|
II.Свойства определителей (на примере определителя третьего порядка)
1.При замене строк столбцами величина определителя не меняется (при
транспонировании матрицы ее определитель не меняется)
а |
а |
а |
а |
а |
|||
|
11 |
12 |
|
13 |
11 |
|
|
а |
21 |
а |
22 |
а |
23 |
а |
а |
|
|
|
12 |
|
|||
а |
31 |
а |
32 |
а |
33 |
а |
а |
|
|
|
13 |
|
21а31
22а32
23а33
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
Например:
а |
а |
а |
|
а |
21 |
а |
22 |
а |
23 |
|||
|
11 |
12 |
|
13 |
|
|
|
|
||||
а |
21 |
а |
22 |
а |
23 |
|
а |
а |
а |
|||
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
13 |
||||
а |
31 |
а |
32 |
а |
33 |
|
а |
31 |
а |
32 |
а |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
3.Если в определителе имеются две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.
4.Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5.Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
6.Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю.
Доказательство: коэффициент пропорциональности выносим за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), по свойству 3 определитель равен нулю.
7.Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то величина определителя не изменится.
III. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам строки (столбца)
|
а11 |
а12 |
а13 |
Рассмотрим определитель третьего порядка а21 |
а22 |
а23 . |
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
Если из определителя |
вычеркнуть одну строку |
и |
один столбец, на |
пересечении которых находится некоторый элемент аij, то получим определитель второго порядка, который называется минором определителя
, соответствующим элементу аij |
и обозначается Mij. |
|
|
|
|
||
Например, М12 а21 |
а23 , М 23 |
а11 |
а12 |
|
|
|
|
а31 |
а33 |
а31 |
а32 |
|
|
|
|
Опр. Алгебраическим дополнением элемента аij |
называется |
минор |
|||||
этого элемента, умноженный на ( 1)i j и обозначается А |
. |
А ( 1)i j M |
ij |
|
|||
|
|
|
ij |
|
ij |
|
6
Пример: |
А22 |
Итак, если i+j –
( 1) |
2 2 |
M |
|
четно, то
|
|
а |
|
|
11 |
||
|
|
||
22 |
|
а |
|
|
|
31 |
|
|
|
|
А |
M |
ij |
ij |
|
а |
, |
А23 ( 1) |
|
M |
23 |
||
13 |
2 3 |
||||||
|
|
|
|
||||
а |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если i+j – нечетно, то
а |
|
11 |
|
а |
31 |
|
Аij
а |
|
12 |
|
а |
32 |
|
M |
ij |
|
.
Теорема разложения. Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Например, |
|
разложение |
|
|
|
определителя |
|
по |
первой |
строке: |
||||||||||||||||||||||
а |
|
|
а |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11 |
|
|
12 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
21 |
|
а |
22 |
а |
23 |
а |
А |
а |
|
А |
а |
|
А |
|
а |
М |
11 |
а М |
12 |
а М |
13 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
11 |
12 |
12 |
|
|
13 |
13 |
|
11 |
|
12 |
13 |
|
|
||||||||||||||
а |
31 |
|
а |
32 |
а |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а |
|
|
а |
22 |
а |
23 |
а |
|
а |
21 |
а |
23 |
а |
|
а |
21 |
|
а |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
|
а |
|
а |
|
12 |
а |
|
а |
|
|
13 |
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
33 |
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Замечание. |
Знаки, которые |
приписываются |
минору |
соответствующего |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
элемента определителя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример 3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
5 |
|
3 |
|
2 |
|
5 (12 12) 3 ( 6 28) 2 ( 3 14) 68 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
7 |
6 |
|
|
7 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения, а также теорема разложения, сформулированная для определителя третьего порядка.
Например:
а |
|
11 |
|
а |
21 |
|
|
а |
31 |
|
|
а |
41 |
|
где
а |
а |
||
|
12 |
13 |
|
а |
22 |
а |
23 |
|
|
||
а |
32 |
а |
33 |
|
|
||
а |
42 |
а |
43 |
|
|
а |
22 |
|
М11 а32
а42
а |
|
|
14 |
а |
24 |
|
|
а |
34 |
|
|
а |
44 |
|
а |
23 |
|
|
а |
33 |
|
|
а |
43 |
|
а11
а |
24 |
|
|
а |
34 |
|
|
а |
44 |
|
А11 а12 А12 а13 А13 а14 А14 а11 М11 а12 М12 а13 М13 а14 М14
ит.д.
§4. Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратной матрицы. Если А – квадратная матрица порядка n, то обратной для нее называется
матрица А 1 , удовлетворяющая условию |
|
А А 1 Е |
(1) |
где Е – единичная матрица порядка n. |
|
Можно доказать, что A 1 A E |
(1 ' ) |
Опр. Если А 0 , то матрица называется невырожденной, если |
А 0 , то |
вырожденной. |
|
7
Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. |
A 0 . |
|||||||||
Без доказательства. |
|
|
|
|
||||||
Правило нахождения обратной матрицы. |
|
|||||||||
Дана квадратная невырожденная матрица |
|
|||||||||
a |
|
a |
|
a |
|
|
||||
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
1n |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
an2 ann |
|
|||||||
1)Найти определитель матрицы А |
|
|||||||||
a |
a |
|
a |
|
|
|
||||
|
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
|
||
A |
|
|
|
0 |
|
|
||||
a |
n1 |
a |
n2 |
|
a |
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Найти алгебраические дополнения А ij всех элементов определителя матрицы А, составить из них матрицу и транспонировать ее
|
A |
|
A |
|
|
|
11 |
|
n1 |
|
|
A |
|
A |
|||
|
|
||||
12 |
|
n2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
A |
|
A |
|
|
|
|
||||
1n |
|
nn |
3)Умножить эту матрицу на
|
|
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
A |
|
A |
||
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
A |
|
12 |
|
n2 |
||||
|
A |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1n |
|
nn |
1 A
, в итоге получим обратную матрицу
Пример 4.1
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
0 |
3 |
|
; Найти |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
.
0
Решение: A 1 0
Aij ( 1)i j Mij ,
A11 0 |
A12 2 |
||
A21 |
2 |
A22 |
0 |
A31 |
3 |
A32 |
2 |
1
0
0
где
A13
A23
A33
2
3 2 0 , значит существует обратная матрица A-1.
2
Aij |
– алгебраическое дополнение |
aij |
, |
M ij – минор aij .
0
0
1
8
|
|
|
1 |
|
0 |
2 |
3 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
. |
|||
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Проверка: |
A A |
1 |
E. |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4.2 |
A |
2 |
1 |
1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти A-1. Ответ:
|
2 |
1 |
1 |
||
A 1 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
§5. Ранг матрицы. I. Определение ранга матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
||
A |
a |
21 |
a22 |
a2n |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
am2 |
|
|
|
|
am1 |
amn |
Выделим из этой матрицы произвольные k строк и k столбцов. Получим квадратную матрицу k–го порядка.
Опр. Минором k–го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из матрицы А выделением произвольных k строк и k столбцов. Обозначается M k
Замечание. Матрица
Am n
имеет
C |
k |
C |
k |
|
m |
n |
|||
|
|
миноров k -го порядка.
Опр. Рангом матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А. Обозначается r (A); rang A; rg A.
Итак, ранг матрицы А равен r, т.е r(A)=r, означает, что в матрице А есть минор порядка r, отличный от нуля, а всякий минор порядка больше r, равен нулю
r( A) r : M |
r |
|
0, M |
r 1, |
|
0
.
II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы. Элементарными преобразованиями матрицы называется
1.перестановка строк (столбцов) матрицы; транспонирование матрицы.
2.умножение строки (столбца) на число k 0.
3.прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.
4.Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
Матрицы, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными: А ~ С.
Можно доказать, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга:
Если A~C, то r(A) = r(C).
Данный вывод используется при вычислении ранга матрицы. Данная матрица А преобразуется в эквивалентную матрицу ступенчатого вида:
9
|
С |
С |
|
С |
C |
C |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
11 |
12 |
|
13 |
|
1r |
|
1n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
С22 |
|
С23 |
C2r |
C2n |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
С |
33 |
C |
3r |
|
C |
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
, где С11 |
, C22 |
, C33 ,Crr |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Crr |
Crn |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Можно доказать, что r(С) = r |
r(А) = r. |
|
|
|
||||||||||||
Пример 5.1 |
Найти r(A) с помощью элементарных преобразований |
|||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
2 |
4 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
10 |
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
6 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Базисный минор.
Пусть ранг матрицы А равен r: r(A)=r. Всякий отличный от нуля минор порядка r называется базисным. Строки и столбцы выбранного базисного минора называются базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров.
§6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.
|
а |
х |
|
а |
х |
2 |
... |
а |
x |
n |
b |
||||||||
|
|
11 |
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
1n |
|
1 |
|||||
a |
|
x |
|
a |
|
x |
|
|
... |
a |
|
x |
|
b |
|||||
|
21 |
22 |
2 |
2n |
n |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
a |
|
|
x |
|
a |
|
|
x |
|
... |
a |
|
|
x |
|
b |
||
|
m1 |
m2 |
2 |
mn |
n |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
(1)
|
a ... |
a |
|
|
|
|
|
х1 |
|
|
||
|
11 |
1n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
. |
|
. |
|
|
|
|
X= |
|
|
||
A= |
. |
. |
– матрица системы, |
. |
– матрица-столбец |
|||||||
|
. |
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
am1... |
amn |
|
|
|
|
хn |
|
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
неизвестных, B= |
|
|
– матрица-столбец свободных членов. |
|||||||||
. |
||||||||||||
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А X B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 ) – запись системы в матричном виде. |
|
|
|
|||||||||
Если b1 b2 |
... bm 0 , то система называется однородной. |
|||||||||||
Если bi 0 |
, то система называется неоднородной. |
|
|
|
Опр. Решением системы называется всякая совокупность n чисел х1…, хn, которая будучи подставлена в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество.
10