- •Программа зачета
- •I. Эллипс, гипербола, парабола
- •II. Общая теория линий второго порядка
- •III. Поверхности второго порядка в евклидовом пространстве
- •IV. Преобразования плоскости
- •Требования к зачету
- •Типовые задачи
- •I. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •II. Общая теория линий второго порядка
- •III. Поверхности второго порядка
- •IV. Преобразования плоскости
1-й курс, специальность МАТЕМАТИКА+ИНФОРМАТИКА
2-й семестр, зачет
Программа зачета
I. Эллипс, гипербола, парабола
Эллипс и его свойства.
Гипербола и ее свойства.
Парабола и ее свойства.
Директориальные свойства эллипса, гиперболы.
Полярные уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
II. Общая теория линий второго порядка
Линия второго порядка (ЛВП).
Векторы и прямые асимптотического направления относительно линии 2-го порядка, тип линии. Асимптотические направления. Вектор асимптотического направления для линии параболического типа
Центр ЛВП. Центральные и нецентральные линии.
Касательная к ЛВП. Обыкновенные и особые точки. Уравнение касательной к ЛВП.
Диаметр ЛВП, свойства, сопряженные диаметры.
Сопряженные направления относительно ЛВП.
Главные направления относительно ЛВП
Главные диаметры ЛВП, свойства.
III. Поверхности второго порядка в евклидовом пространстве
Поверхности вращения.
Эллипсоид и его свойства.
Однополостный гиперболоид и его свойства.
Двуполостный гиперболоид и его свойства
Эллиптический параболоид и его свойства.
Гиперболический параболоид и его свойства.
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Цилиндрические поверхности и их уравнения. Цилиндрические поверхности второго порядка.
Конические поверхности и их уравнения. Коническая поверхность второго порядка.
IV. Преобразования плоскости
Отображения и преобразование множеств. Примеры. Группа преобразований множества и ее подгруппы.
Движения плоскости. Свойства движений плоскости. Примеры. Основная теорема о движении плоскости. Аналитическое задание движения плоскости. Примеры движений 1 и 2 рода.
Представление движений в виде композиции осевых симметрий.
Группа движений плоскости и ее подгруппы
Группа симметрий геометрической фигуры
Гомотетия плоскости и ее свойства. Аналитическое задание.
Подобия плоскости. Свойства. Примеры. Аналитическое задание. Представление подобия в виде композиции гомотетии и движения.
Группа подобий плоскости и ее подгруппы.
Аффинные преобразования плоскости. Свойства. Примеры. Основная теорема об аффинных преобразованиях. Аналитическое задание аффинных преобразований плоскости.
Перспективно-аффинные преобразования плоскости и их свойства. Сдвиг, косое сжатие и их свойства.
Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
Приложение преобразований к решению задач элементарной геометрии.
Требования к зачету
Теоретическая часть: знание определений, уравнений, формулировок теорем по программе курса.
Практическая часть: умение решать задачи по всем разделам курса; иметь отчетность по всем самостоятельным и контрольным работам, которые проводились в течение семестра.
ПОДРОБНО:
- эллипс (Э), гипербола (Г), парабола (П)
Знать: определения; канонические уравнения; все объекты, связанные с Э, Г, П (эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы, фокусы, большая и малая полуось, фокальное расстояние, фокальный радиус точки).
Уметь: находить канонические уравнения по различным данным, вычислять эксцентриситет, находить уравнения директрис; находить полярные уравнения по каноническим (канонические уравнения по полярным).
- общая теория линий второго порядка (ЛВП)
Знать определения: ЛВП; асимптотического направления, асимптоты, центра, особой и обыкновенной точек, касательной, диаметра, сопряженных диаметров, сопряженных направлений, главных направлений, главного диаметра.
Знать канонические уравнения ЛВП.
Уметь: определять тип ЛВП, вид ЛВП, асимптотическое направление, центр, сопряженные направления, главные направления; находить уравнения асимптот, касательной, диаметра, главного диаметра; строить сопряженные диаметры; общий диаметр двух ЛВП.
- поверхности второго порядка в евклидовом пространстве
Знать определения: эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида, поверхности вращения, цилиндрической поверхности, конической поверхности, прямолинейных образующих поверхности.
Знать канонические уравнения всех поверхностей второго порядка.
Уметь: изображать поверхности второго порядка, по каноническому уравнению определять тип поверхности; составлять канонические уравнения по известным сечениям; находить уравнения прямолинейных образующих.
- преобразования плоскости
Знать определения: отображения множеств, инъективного (сюръективного) отображения, биективного отображения, преобразования множества; группы преобразований и ее подгруппы; движения плоскости; тождественного преобразования, параллельного переноса, поворота (в частности, центральной симметрии), осевой симметрии, скользящей симметрии; инвариантной точки (прямой, фигуры); гомотетии, подобия, аффинного преобразования, перспективно аффинного преобразования, косого сжатия, сдвига.
Знать формулировки теорем: основных теорем о движении и об аффинных преобразованиях (с доказательством!!!), об аналитическом задании движений (аффинных преобразований), о свойствах движений (подобий, гомотетии, аффинных преобразований, перспективно аффинных преобразований), об инвариантных точках и прямых движений; о представлении движения композицией не более чем трех осевых симметрий; о разложении подобия в композицию гомотетии и движения.
Уметь: иллюстрировать определения преобразований, строить образы (прообразы) точек при заданном на чертеже преобразовании; указывать инвариантные точки (прямые) преобразований; по формулам определять вид преобразования, находить элементы, задающие это преобразование; составлять формулы преобразования по известным элементам; находить инвариантные точки (прямые) преобразования; находить образы (прообразы) фигур; приводить примеры подгрупп группы преобразований.