- •2.2.2 Принцип Даламбера
- •2.3. Динамика относительного движения
- •3 Построение структурных схем и амплитудно-фазо-частотных характеристик звеньев фмс
- •3.1. Линеаризация дифференциальных уравнений движения фмс путевых грузоподъемных и строительных машин
- •3.2 Моделирование звеньев механической системы в виде передаточных функций
- •3.3 Частотные передаточные функции и частотные характеристики звеньев
- •3.4 Логарифмические частотные характеристики
2.2.2 Принцип Даламбера
В XVIIIв. в работах Ж.-Л. Даламбера, Я. Германа и Л. Эйлера были заложены основы динамики несвободного движения, т. е. динамики движения механических систем, стесненных связями.
Прежде всего, изложим принцип Даламбера для одной свободной материальной точки. Рассмотрим материальную точку , которая находится под действием активной силы (рис. 2.28).
Рис. 2.28 Модель движения материальной точки
Согласно второму закону Ньютона,
.
Перенесем член из левой части уравнения в правую и введем понятие силы инерции , тогда получим
,
или
. (2.43)
Полученное соотношение (2.43) формулируется следующим образом: геометрическая сумма приложенной к телу активной силы и силы инерции равна нулю в каждый момент времени.
Это означает, что для решения задач динамики материальной точки на основе принципа Даламбера необходимо помимо приложенной к точке M активной силы приложить к этой же точке силу инерции , обусловленную ее ускоренным движением. Уравнение (2.43) по форме совпадает с уравнениями статики и выражает уравновешенность сил и в каждый момент времени.
При изучении движения несвободной материальной точки применяют аксиому освобождаемостиот связей (была сформулирована в предыдущем праграфе), согласно которой связи, ограничивающие движениеточки, могут быть отброшены и заменены силами реакций связей таким образом, чтобы состояниеточки не изменилось.
Основное уравнение динамики для несвободной материальной точки Мпримет вид
или
,(2.44)
где – активная сила;
– реакция связей;
– сила инерции.
Уравнение (2.44) показывает, чтов любой момент времени геометрическая сумма активной силы, силы реакции связей и силы инерции для несвободной материальной точки равна нулю.Это положение называется принципом Даламбера для несвободной материальной точки. Остановимся более подробно на понятии силы инерции. Рассмотрим тело , которое лежит на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 2.29).
Рис. 2.29 Модель движения тела по гладкой горизонтальной плоскости
Вес тела уравновешивается реакцией плоскости . Если телу сообщают ускорение с помощью нити , действующей на тело с силой , то сила инерции приложена к нити . Эту силу ощутит человек, который тянет нить. Таким образом, сила инерции является реальной силой, представляющей собой противодействие материальной точки изменению ее скорости и приложенной к телу, сообщающему этой точке ускорение. При неравномерном криволинейном движении точки силу инерции разлагают на две составляющие, направленные по касательной к траектории и по главной нормали (рис. 2.30).
Полученные составляющие и называюткасательнойинормальной силами инерции. Эти силы направлены противоположно касательному и нормальному ускорениям, поэтому
,.(2.45)
Из кинематики известно, что
,
где – алгебраическая величина скорости точки;
– радиус кривизны траектории.
Рис. 3.30 Модель неравномерного криволинейного движения
Пользуясь этими выражениями, получаем абсолютные значения касательной и нормальной сил инерции:
,.(2.46)
Соотношение (2.45)естественным образом обобщается на случай системыnнесвободных материальных точекMi:
, (i= 1,…,n),(2.47)
где – активная сила, приложенная к точкеMi;
– реакция связей, ограничивающих движение точкиMi;
– сила инерции точкиMi.
Складывая все уравнений(2.47), получим
,(2.48)
где – главный вектор активных сил;
– главный вектор реакций связей;
– главный вектор сил инерции точек системы.
С учетом введенных обозначений (2.48)принимает вид
, (2.49)
т. е. в любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов активных сил, сил реакций связей и сил инерции материальных точек равна нулю.
Соотношение (2.49) представляет собой основу метода кинетостатики.