- •Часть I. Механика
- •Раздел 1. Введение
- •Раздел 2. Кинематика
- •6. Волновое движение
- •Раздел 3. Законы динамики
- •Раздел 4. Законы сохранения
- •1. Момент импульса считается постоянным в замкнутой систем.
- •2. Если система не замкнута, но существует ось, относительно которой векторная сумма моментов сил равна нулю, то момент импульса системы, относительно этой же оси, остаётся постоянным.
- •Раздел 5. Гравитационное поле
- •Раздел 6. Движение в неинерциальных системах отсчета
- •Раздел 7. Элементы теории относительности. Примеры.
Конспект лекций.
Часть I. Механика
Раздел 1. Введение
Математический аппарат физики. Векторы и операции с ними
Вектор характеризуется модулем (длиной) и направлением. Любой вектор равен своей длине, умноженной на единичный вектор своего направления:
Вектор суммы векторов и, есть вектор ,при этом он является диагональю параллелограмма, построенного на векторах икак на сторонах.
Вектор разности двух векторов и- есть вектор ,соединяющий концы вычитаемых векторов, приведенных к одному началу и направленный в сторону уменьшаемого.
Изменение вектора как по величине так и по направлению:
Изменение за время :(t)=(t2) -(t1 )Умножение векторов:
Скалярное произведение: -угол между векторами.
Векторное произведение:
Длина вектора :.
Направление вектора :,,
если смотреть с конца вектора , то направление кратчайшего поворота от первого вектора ко второму против часовой стрелки.
Разложение вектора на составляющие:
Проекция вектора на ось есть число, равное
Если взять оси декартовой системы координат, то:
- составляющие вектора.
–
, -проекции вектора на оси.
Дифференцирование вектора:
–коллинеарен исходному, характеризует изменение
вектора только по величине (касательная).
–перпендикулярен исходному, характеризует изменение
вектора только по направлению (нормаль).
Момент вектора относительно точки и оси:
Момент вектора относительно точки О – это вектор Вектор -соединяет точку О с началом вектора
Момент вектора относительно оси, проходящей через точку O – это проекция вектора на эту ось.
Раздел 2. Кинематика
Материальная точка. Система отсчета. Траектория. Перемещение и путь. Скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Классификация движения по ускорению. Кинематика прямолинейного и вращательного движений точки. Кинематика колебательного и волнового движений. Примеры, практические задачи.
Движение твердого тела. Степени свободы. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Теорема Эйлера о произвольном движении твёрдого тела.
Механическое движение – это изменение положения (перемещение) тела в пространстве, относительно других тел.
Предварительно введем следующие упрощения:
От реальных тел мы перейдём к материальной точке (тело, размерами которого можно пренебречь в условиях нашей задачи)
Пусть есть точка O – тело отсчета, материальная точка M – тело, которое движется относительно O (тело отсчета неподвижно).
Вектор –радиус-вектор . Если вектор меняется, то точка движется.
Системы отсчета:
Векторная система отсчета. Переменные величины- радиус вектор, время.
Зависимость радиус-вектора точки от времени – уравнение движения: (t)
Скоростью движения материальной точки мы называем первую производную от радиуса-вектора по времени:
Ускорением материальной точки мы называем первую производную от вектора скорости по времени (вторую производную от радиуса-вектора по времени):
Декартова система отсчета. Тело отсчёта- начало прямоугольной системы координат xyz и время. Положение точки определяется тремя числами-координатами.
Радиус-вектор в декартовой системе:
. Здесь ,,-орт-векторы соответствующих осей.
=
Цилиндрическая, полярная система отсчета
Тело отсчета – полюс. Чтобы задать положение относительно
полюса нужны 3 числа:
В цилиндрической системе отсчета удобно описывать движение тела
(материальной точки) по окружности. В этом случае
если точка отсчёта взята в центре окружности, расположенной в плоскости к осиZ . Тогда положение точки относительно полюса зависит только от 𝜑 – определяет уравнение движение точки по окружности.
Координаты в различных системах отсчета связываются между собой следующими соотношениями:
Здесь-–угловая координата, угловая скорость, угловое ускорение соответственно.
Для движения по окружности:
Движения в механике можно свести к 4 типам:
Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, проводимая в теле остается параллельна самой себе.
Вращательное движение. Простейшим примером является вращение тела относительно неподвижной оси: движение, при котором радиусы всех точек тела поворачиваются на равные углы.
Колебательное движение – это движение, при котором положение тела в пространстве повторяется через равные промежутки времени.
Волновое движение – это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.
Классификация механического движения по ускорению
По определению:
–тангенциальное ускорение, характеризует изменение вектора только по величине.
–нормальное ускорение, характеризует изменение вектора только по направлению.
, вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению (, это –равномерное, прямолинейное движение. Найдём параметры и закон движения.
Закон движения: . –в векторной системе отсчёта.
В декартовой системе координат:
Это означает, что модуль вектора скорости не меняется, в то время как за любые равные промежутки времени его направление меняется на равные углы
Это- равномерное движение по окружности. Найдём параметры и закон движения.
=
.
Закон движения:
равнопеременное, прямолинейное движение ( );
(равноускоренное или равнозамедленное)
Так как вектор скорости не меняется по направлению (), то пусть движение происходит по направлению осиOX. Найдём параметры и закон движения.
Закон
движения
В общем случае: =+t +;
–равнопеременное (движение по окружности
Угловое ускорениев силуНайдём параметры и закон движения в угловых переменных.
Угловая скорость и закон
движения
Колебательное, - движение, при котором координаты точки повторяются через равные промежутки времени (периоды). Простейшими периодическими функциями являются гармонические функции времени- синус или косинус. При этом как первая, так и вторая их производные будут также гармоническими функциями. Поэтому легко «угадать» вид ускорения при гармонических колебаниях материальной точки:
случая легко найти закон изменения координаты:
+ Const.
Постоянные интегрирования, начальная фаза , находятся из начальных условий при решении динамических дифференциальных уравнений колебаний. Циклическая частота (число полных колебаний за 2секунд) зависит от колебательных свойств системы.
Итак, закон гармонического колебания: .Учитывая, что =
получим: x(t). Ускорение точки пропорционально смещению от положения равновесия и направлено в сторону точки равновесия.