методичка по моделированию
.pdfФедеральное агентство морского и речного транспорта Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
šВолжская государственная академия водного транспортаœ
Кафедра математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Методические указания к выполнению лабораторной работы
для студентов радиотехнической специальности 162107
Составители: В. Н. Белых, М. С. Киняпина
Нижний Новгород Издательство ФБОУ ВПО šВГАВТœ
2012
УДК 514.12 М34
Р е ц е н з е н т 4 доцент Б. С. Украинский
Математические модели сложных систем : метод. указания к выпол. лабор. работы для студ. радиотех. специальности 162107 / сост. В. Н. Белых, М. С. Киняпина 4 Н. Новгород : Издво ФБОУ ВПО šВГАВТœ, 2012. – 20 с.
Излагаются некоторые факты курса высшей математики и математического моделирования, необходимые для выполнения лабораторной работы šИсследование влияния параметров на динамическую систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением первого порядкаœ по спецкурсу šМатематическое моделирование систем и процессовœ. Приведен пример выполнения и оформления лабораторной работы.
Для студентов специальности 162107 •Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования˜.
Работа рекомендована к изданию кафедрой математики (протокол № 10 от 12.05.2012).
°c ФБОУ ВПО šВГАВТœ, 2012
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Общая схема математического моделирования
Математическое моделирование включает решение двух задач: составление математической модели и е¨ исследование. Основные этапы математического моделирования:
1.Постановка задачи и определение объекта исследования.
2.Идеализация и упрощение объекта.
3.Составление первоначальной математической модели, выделение основных параметров.
4.Выбор и реализация методов исследования математической модели.
5.Сопоставление результатов исследования с тем, что известно об объекте.
6.Внесение корректив в математическую модель.
7.Выводы и рекомендации.
Из каждого этапа возможны возвраты к предыдущим. Необходимо учесть, что чем проще модель, тем меньше возможностей ошибиться. Модель должна быть простой, но не проще, чем это возможно. Модель должна быть грубой, малые возможные и допустимые поправки не должны кардинально менять е¨ поведение. При анализе результатов важно понимание, почему и как вс¨е происходит и как поведение системы зависит от параметров.
Рассмотрим математические модели некоторых объектов, процессов или явлений, называемых динамическими системами. Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.
Мы ограничимся классом динамических систем, который описывается либо обыкновенными дифференциальными уравнениями, либо разностными уравнениями. Основное содержание теории динамических систем 4 это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, 4 фазовых траекторий, притягивающих множеств (аттракторов), их областей
3
притяжения и бифуркаций. Сюда, в частности, входит разбиение фазового пространства на траектории и изменение этого разбиения при изменении параметров. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутым фазовым кривым 4 его периодические решения.
Важнейшие понятие теории динамических систем 4 это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).
Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка
Определение. Линейное дифференциальное уравнение (ДУ)
первого порядка вида |
|
|||
dx |
+ λx = f (x), λ = const, |
(1) |
||
|
dt |
|
||
|
|
|
называется неоднородным или неавтономным уравнением. Ему соответствует однородное или автономное ДУ
|
dx |
+ λx = 0, |
(2) |
|
|
||
|
dt |
|
|
которое имеет общее решение: |
|
||
x(t) = c · e−λt, c 4 произвольная постоянная. |
(3) |
Анализ всего семейства решений: пусть x(0) = x0 4 начальное условие, тогда c = x0, x(t) = x0 · e−λt. Нулевое начальное условие x0 = 0 влечет x(t) ≡ 0. Это состояние равновесия системы 4 нулевое решение (2).
При ненулевых начальных условиях x0 6= 0 выражение x(t) = c · e−λt 4 экспоненциальный процесс (x(t) меняется экспоненциально с изменением времени), затухающий при λ > 0 (убывающий до нуля) и возрастающий при λ < 0.
4
λ > 0 |
λ < 0 |
Прямая x называется фазовой прямой, которая в этом простейшем случае играет роль фазового пространства:
λ < 0 |
λ > 0 |
Неустойчивое состояние |
Устойчивое состояние |
равновесия |
равновесия |
Движение вдоль фазовой прямой определяет плоскость (x; x˙ ), если x˙ > 0, то x возрастает, а при x˙ < 0 величина x убывает.
Неустойчивое состояние |
Устойчивое состояние |
равновесия |
равновесия |
При x˙ = 0 уравнение (2) имеет состояние равновесия в точке x = 0.
При λ < 0 состояние равновесия x = 0 4 неустойчиво. При λ > 0 состояние равновесия x 4 устойчиво.
Стрелка указывает движение изображающей точки во времени.
5
Случай f (t) = a = const.
dx |
+ λx = a. |
(4) |
||
dt |
|
|||
|
|
Очевидно, x = λa 4 постоянное решение (4). Это состояние равновесия уравнения (4). Замена переменной в (4) на x = λa + u
приводит (4) к виду
du |
+ λu = 0, |
(5) |
|
dt |
|||
|
|
но (5) совпадает с уравнением (2), тогда общее решение уравнения (4) записывается в виде
x = λa + ce−λt.
Общий случай f (x) в (1).
ДУ (1) решаем методом вариации произвольной постоянной: решение ищем в виде
x(t) = c(t) · e−λt, |
|
|
ce˙ −λt − λc(t)e−λt + λc(t)e−λt = f (t). |
|
|
Уравнение для нахождения c(t): |
|
|
c˙ = eλtf (t), |
(6) |
|
c(t) = Z |
t |
|
eλτ f (τ ) dτ + c0. |
(7) |
|
0 |
|
|
Тогда общее решение имеет вид: |
|
|
|
t |
|
|
Z |
|
x(t) = c0e−λt + e−λt · eλτ dτ. |
(8) |
|
|
0 |
|
6
Случай f (t) = a sin ωt. Рассмотрим уравнение
dx |
+ λx = a sin ωt. |
||
|
dt |
|
|
|
|
||
Тогда выражение (7) приобретает вид |
|||
t |
eλt |
||
λτ |
|||
Z |
|
c(t) = e a sin ωt dt = a λ2 + ω2 (λ sin ωt − ω cos ω)t + c0 =
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
√ |
eλt |
|
|
|
|
|
|
ω |
||||
|
sin(ωt − ϕ) + c0, |
ϕ = arctg |
|
. |
|||||||||
|
λ |
||||||||||||
λ2 + ω2 |
|||||||||||||
Общее решение выглядит так: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
−λt |
|
|
|
a |
|
|
(9) |
|
|
|
x(t) = c0e |
+ |
√ |
|
sin(ωt − ϕ). |
|||||||
|
|
λ2 + ω2 |
|||||||||||
Очевидно, что |
|
|
|
sin µωt − arctg λ ¶ |
|
|
|||||||
|
|
x(t) = √λ2 + ω2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть вынужденное, стационарное периодическое решение уравнения (1). При λ > 0, t → ∞, e−λt → 0 и стационарное решение устанавливается всегда,
т. е. lim x(t) = x (t) и
t→∞
x (t) 4 установившееся асимптотически устойчивое периодическое решение уравнения (1). Для уравнения (1) изображены периодическое движение и стремящиеся к нему траектории 4 на
плоскости (x, t). T = λ1 4 время переходного процесса.
7
Рассмотрим два примера конкретных динамических систем, приводящихся к рассмотренным уравнениям: электрический замкнутый контур с конденсатором емкости C и сопротивлением R и торможение парашюта.
На рисунке представлена схема конденсатора емкости C, разряжающегося на сопротивление R. В соответствии с законами Кирхгофа дифференциальное уравнение разряда конденсатора пишется
в виде:
Rq˙ = −Cq
или
dqdt = −τ1 q,
где τ 4 пропорционально емкости C
и сопротивлению R. Следовательно, q(t) описывается экспоненциальным убывающим процессом. При начальном заряде q = q0
t
q(t) = q0e τ .
Следующий пример 4 торможение парашюта. Пусть по достижении скорости падения v0 парашют раскрылся и тормозит падение пропорционально его скорости. Согласно закону Ньютона
mv˙ = −mg − hv.
Решение этого уравнения следующее:
v = |
mg |
= ³v0 |
− |
mg |
´ e m t. |
h |
h |
||||
|
|
|
|
|
−h |
Из него следует, что начальная скорость v0 (v0 > 0) экспоненциально замедляется до постоянной скорости спуска, равной mg/h. График этого процесса изображен на рисунке ниже.
8
Пример выполнения лабораторной работы )Исследование влияния параметров на динамическую систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением первого порядка+
Задание: исследовать влияние параметров дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
x˙ + λ · x = A, x˙ + λ · x = A sin(ωt) на конечное решение. |
||
Задан набор значений параметров: |
|
|
A = 3; ω = 5; λ = ±15; λ = ± |
1 |
. |
|
||
15 |
Получить временные реализации и фазовые портреты, соответствующие различному поведению систем.
При данных параметрах получаем восемь систем:
• |
x˙ + 15x = 3; |
(I) |
x˙ + 15x = 3 sin 5t; |
(II) |
||||
• |
x˙ − 15x = 3; |
(III) |
x˙ − 15x = 3 sin 5t; |
(IV) |
||||
• |
x˙ + |
1 |
= 3; |
(V) |
x˙ + |
1 |
= 3 sin 5t; |
(VI) |
15 |
15 |
|||||||
• |
x˙ − |
1 |
= 3; |
(VII) |
x˙ − |
1 |
= 3 sin 5t. |
(VIII) |
15 |
15 |
Отч¨ет по лабораторной работе должен включать теоретические расч¨еты, результаты компьютерного моделирования и вывод (анализ полученных результатов).
9
Теоретический расчет проведем для системы (II). Рассмотрим однородное (автономное) уравнение. Найдем его решение: x˙ + 15x = 0 4 это ДУ с разделяющимися переменными.
dx |
= −15x −→ Z |
dx |
= −15 Z |
dt −→ ln |x| = −15t + C. |
|
|
|
|
|||
dt |
x |
Используя свойства логарифмов, найд¨ем x в явном виде:
−15t+C |
−15t |
C |
−15t |
˜ |
x = e |
−→ x = e |
· e −→ x = e |
|
· C |
4 общее решение автономного (однородного) уравнения. Применим метод вариации произвольной постоянной:
x(t) = C(t) · e−15t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x˙ = x′(t) = C′(t) · e−15t + C(t) · e−15t |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x˙ = x |
(t) = C |
′ |
(t) e |
|
|
|
C(t) |
|
¡ |
|
|
|
|
|
15); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
−15t + |
|
|
|
· |
e−15t |
· |
( |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||
C′(t) · e−15t − 15 · C(t) · e−15t + 15 · C(t) · e−15t = 3 sin 5t; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C′(t) · e−15t |
= 3 sin 5t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
′ |
|
|
3 sin 5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C |
(t) = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
e−15t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C(t) = 3 sin 5t · e15t dt 4 этот интеграл является цикличе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ским |
интегралом (два раза интегрируем его по частям): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15t |
|
|
|
|
|
¯ |
|
U = sin 5t |
|
|
′ |
− |
R |
|
|
¯ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
U dV = U V |
|
|
|
|
|
|
V dU |
|
|
¯ |
|
||||||||
|
sin 5t |
|
e |
|
|
|
|
dt = |
|
dU = |
sin 5t |
|
dt = 5 cos 5t |
· |
dt |
= |
||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
15t |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
dV = e |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
15t |
|
|
|
|
|
|
1 15t |
|
|
¯ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
V = e |
|
|
dt = |
|
|
|
|
e |
|
|
¯ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
= sin 5t |
|
|
|
|
|
|
|
e |
15t |
¯ |
|
|
|
15t |
|
5 cos 5t dt = |
|
|
¯ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
− Z |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sin 5t |
|
e15t |
|
5 |
|
Z |
e15t · cos 5t · dt = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
15 |
|
|
15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|