Часть в

 В1. Легковой автомобиль двигался по прямолинейному участку дороги со скоростью, модуль которой v = 39,6 км/ч. На дороге сидел заяц. Когда автомобиль приблизился на расстояние s = 25,0 м, заяц равноускоренно побежал вперед в направлении движения автомобиля. Чтобы избежать столкновения, заяц должен бежать с минимальным ускорением, модуль а которого равен ... см/с². [решение]

 B2. По плоскости, угол наклона которой к горизонту α = 30°, соскальзывает брусок массой m = 5,5 кг. Коэффициент трения скольжения μ между бруском и плоскостью изменяется вдоль плоскости. Если зависимость модуля скорости v бруска от времени tимеет вид, изображенный на рисунке,

то минимальное значение модуля силы трения F_mp скольжения равно... Н. [решение]

 В3. Вокруг вертикально расположенного стержня может вращаться насаженный на него гладкий горизонтальный диск (см. рис.).

На диске находится маленький шарик, прикрепленный к стержню нитью. Если при вращении диска с угловой скоростью ω = 10 рад/с нить составляет угол α = 60° со стержнем, а модуль силы взаимодействия между шариком и диском в три раза меньше модуля силы натяжения нити, то длина l нити равна ... см. [решение]

 В4. Два шарика массами m₁ = 160 г и m₂ = 240 г, между которыми зажата связанная нитью пружина, подвешены на длинных нитях так, что их центры находятся на одной горизонтали (см. рис.).

Энергия упругой деформации сжатой пружины W_n = 200 мДж. Если нить, связывающую пружину, пережечь, то максимальная высота H₁ подъема первого шарика относительно первоначального уровня будет равна ... мм. [решение]

 В5. В баллоне находится гелий под давлением р₁ = 100 кПа при температуре T₁ = 300 К. Массу гелия в баллоне уменьшили в два раза, а оставшийся газ нагрели. Если давление гелия в конечном со стоянии р₂ = 90,0 кПа, то температура Т₂ оставшегося в баллоне гелия равна ... К. [решение]

 B6. Сила натяжения нити, удерживающей в воздухе (М₁ =29,0 г/моль) воздушный шарик, заполненный водородом (М₂ = 2,00 г/моль) под давлением р₂ = 115 кПа, равна нулю. Температуры водорода и атмосферного воздуха t₁ = t₂ = 0 °С, атмосферное давление р₁ = 101 кПа. Если масса тонкой оболочки шарика m = 11,9 г, то его объем V равен ... дм³. [решение]

 В7. Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, переводят из начального состояния (1) в конечное состояние (3) так, что на участке 1 → 2 давление остается постоянным, а на участке 2 → 3 давление прямо пропорционально объему. На участке 1 → 2 изменение внутренней энергии газа ΔU = 30 кДж.

Если V₂ = 3V₁, a V₃ = 2V₂, то работа А, совершенная силой давления газа на участке 2 → 3, равна ... кДж. [решение]

 В8. Три точечных заряда q₁ = q₃ = −1,0 нКл и q₂ = −1,18 нКл находятся в вакууме в вершинах квадрата, длина стороны которого a = 50 см (см. рис.).

Модуль напряженности Е_А электростатического поля, созданного этими зарядами в вершине A, равен ...В/м. [решение]

 В9. К источнику постоянного тока, напряжение на клеммах которого U = 3,6 В, присоединены два резистора и конденсатор (см. рис.).

Если сопротивления резисторов R₁ = 1,0 Ом и R₂ = 5,0 Ом, то напряжение U_С на конденсаторе равно ... В. [решение]

 В10. По наклонной плоскости, находящейся в вакууме в однородном магнитном поле, с постоянной скоростью соскальзывает тело, заряд которого q = √2 мКл, а масса m = 12 г. Линии индукции магнитного поля направлены горизонтально и параллельно плоскости. Модуль магнитной индукции B = 1,0 Тл. Угол наклона плоскости к горизонту α = 45°. Если коэффициент трения скольжения μ = 0,80, то модуль скорости v тела равен ... м/с. [решение]

 В11. Две параллельные металлические пластины, расстояние между которыми d = 40,0 мм, а площадь каждой пластины S = 200 см², помещены в поток проводящей жидкости (ρ = 100 мОм × м). Скорость потока жидкости, модуль которой v = 100 м/с, направлена параллельно плоскости пластин. Пластины находятся в однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно скорости жидкости (см. рис.).

Модуль индукции магнитного поля B = 300 мТл. Если пластины замкнуть на резистор сопротивлением R = 2,80 Ом, то мощность Pтока в резисторе будет равна ... мВт. [решение]

 В12. На поверхности прозрачной жидкости (n = √2) плавает тонкий непрозрачный диск диаметром d = 40 см. Точечный источник света, находящийся в жидкости, равномерно движется вертикально вверх вдоль прямой, проходящей через центр диска со скоростью, модуль которой v = 10 см/с. Если свет от источника будет выходить из жидкости в воздух в течение промежутка времени Δt = 5,0 с, то в момент начала отсчета времени источник находился на глубине h, равной ... см. [решение]

А2. При прямолинейном равноускоренном движении на пути s = 60 м модуль скорости тела увеличился в четыре раза. Если модуль ускорения тела а = 0,5 м/с², то модуль его начальной скорости v_o равен... [решение]    1) 2 м/с, 2) 4 м/с, 3) 5 м/с, 4) 6 м/с, 5) 8 м/с    B1. Велосипедист двигался по прямолинейному участку дороги в течение промежутка времени Δt₁ со скоростью, модуль которойv₁. Затем он выехал на перпендикулярно идущее шоссе и двигался по нему в течение промежутка времени Δt₂ со скоростью, модуль которой v₂. Во сколько раз модуль средней путевой скорости больше модуля средней скорости перемещения велосипедиста за все время движения. Для получения численного значения воспользуйтесь следующими значениями: Δt₁ = 15 мин, v₁ = 10 км/ч, Δt₂ = 10 мин, v₂ = 20 км/ч. [решение]

   В2. Пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально с некоторой скоростью попадает в лежащий на гладкой горизонтальной плоскости деревянный брусок массой M = 1,0 кг. Если средняя сила сопротивления дерева движению пули F = 10,0 кН, а пуля углубилась в брусок на расстояние равное S = 10 см, то модуль скорости пули перед попаданием в брусок равен … в м/с. [решение]

   В3. Тело массой m = 300 г, подвешенное на резиновом шнуре, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости. Шнур во время движения груза образует угол α = 60° с вертикалью. Определите потенциальную энергию упругой деформации шнура, если его жесткость равна 4 Н/м. [решение]

   В4. В открытые цилиндрические сообщающиеся сосуды, диаметры которых различаются в два раза, налита ртуть (ρ = 13,6 г/см³). Если в широкий сосуд поверх ртути налить слой воды (ρ_o = 1,0 г/см³) высотой h = 10,2 см, то уровень ртути в широком сосуде, по сравнению с первоначальным, опустится на высоту Δh, равную … мм. [решение]

   В7. На окружности радиуса R = 3,0 см в вершинах квадрата расположены электрические точечные заряды q₁ = 5,0 нКл, q₂ = q₃= 2,0 нКл, q₄ = −2,0 нКл (см. рис.). Модуль напряженности E электростатического поля, образованного всеми зарядами в центре окружности (точка О), равен … кВ/м. [решение]

   В9. В вертикальном цилиндрическом сосуде диаметром d = 2,2 см, закрытом подвижным невесомым поршнем, находится идеальный одноатомный газ. В сосуд поместили резистор, соединенный через ключ с конденсатором, заряженным до напряжения U = 200 B. Атмосферное давление p_o = 1,0 × 10 ⁵ Па. После замыкания ключа К и установления теплового равновесия поршень поднимается на высоту Δh = 1,7 мм. Если теплоемкостью сосуда и резистора пренебречь, то емкость C конденсатора равна … мкФ. [решение]

   Когда одна черепаха догоняет другую, она движется так, что вектор ее скорости все время направлен на преследуемую черепаху. Во всех пунктах данной задачи размерами черепах можно пренебречь.

   1. Черепаха A движется с постоянной скоростью v вдоль прямой составляющей угол α с осью Х. Черепаха B, находящаяся в начале координат, решила догнать черепаху А, когда она пересекала ось Y на расстоянии l, и начала двигаться с постоянной по модулю скоростью u (u > v). Через какое время она догонит черепаху A?

   2. Пусть скорость черепахи B u = v. Найдите расстояние между черепахами по прошествии достаточно большого промежутка времени.    3. n черепах находятся в вершинах правильного n-угольника со стороной l и начинаются двигаться с постоянными по модулю скоростями u, так что вектор скорости первой все время направлен на вторую, второй на третью, ... n-ой на первую. Через какое время черепахи встретятся?  

 Рассмотрите отдельно случаи n = 2, n = 4 и дайте им простое объяснение. Как зависит время движения черепах до встречи от числа черепах при n → ∞? [решение]

  Через два блока, подвешенных на одной высоте, переброшена длинная нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены два одинаковых груза. К середине нити прикрепляют еще один такой же груз (рис.)

и отпускают его без начальной скорости. Расстояние между осями блоков равно l. Тернием и сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1. Определите максимальное смещение центрального груза в процессе движения.

2. В каком положении грузы могут находиться в состоянии равновесия?

3. Чему равны скорость и ускорение центрального груза, когда он проходит положение равновесия?

4. Грузы находятся в положении равновесия. Затем центральный груз смещают вниз на малое расстояние от этого положения. Определите период малых колебаний системы.

   Воспользуйтесь приближенной формулой справедливой при малых значениях x и любых показателях степени α

(1 + x)^α ≈ 1 + αx + α(α − 1)x²/2.

  На гладком горизонтальном льду лежит однородный стержень длины l и массы M. На стержень налетает со скоростью v _o, направленной перпендикулярно стержню, небольшая шайба массы m. Точка удара находится на расстоянии x от центра стержня. Удар абсолютно упругий.

1. Найдите: скорость шайбы v₁, скорость центра стержня u, угловую скорость вращения стержня ω после первого удара. Ответы выразите через параметры μ = M/m и ξ = x/l.

2. При каком соотношении между параметрами μ и ξ шайба столкнется со стержнем только один раз? Изобразите схематически эту область параметров на диаграмме (μ, ξ).

3. При каком соотношении между параметрами μ и ξ после второго удара шайба будет двигаться с прежней скоростью v _o?

4. Пусть ξ = 0,333, μ = 0,330. На какой угол изменится направление вектора скорости шайбы после всех ее столкновений со стержнем?

  Исследуется движение без трения небольшой шайбы (которую можно считать материальной точкой) по внутренней поверхности конуса, ось которого Z вертикальна, а тангенс угла полураствора α равен k.

1. Какова должна быть скорость шайбы v_o, чтобы она могла двигаться по поверхности конуса в горизонтальной плоскости на высоте z_o от вершины конуса?

2. Шайбе, находящейся на высоте z_o от вершины конуса, сообщили скорость v в горизонтальном направлении вдоль поверхности конуса. Найдите пределы изменения координаты z шайбы в процессе ее движения.

3. Шайба движется в горизонтальной плоскости на высоте z_o от вершины конуса. Затем в результате толчка ее скорость увеличивается на небольшую величину v (направление вектора скорости при этом не изменяется). Найдите в каких пределах будет изменяться координата z шайбы в процессе движения и период ее колебаний вдоль вертикальной оси.

4. Шайба движется в горизонтальной плоскости на высоте z_o от вершины конуса. Затем ей толчком сообщают небольшое приращение скорости v, направленное вверх вдоль образующей конуса v < < √(gz_o). Найдите в каких пределах будет изменяться координата z шайбы в процессе движения и период ее колебаний вдоль вертикальной оси.

   Рекомендуем воспользоваться приближенной формулой (1 + x)⁻² ≈ 1 − 2x + 3x².

• Следующая задача

Оборотный маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной l, по которому можно перемещать две одинаковых массивных чечевицы A₁ и A₂. Положение чечевиц определяется координатами x₁ и x₂. Маятник может колебаться в вертикальной плоскости, будучи подвешенным на упорах S₁ или S₂ (в этом случае его необходимо перевернуть). Масса стержня значительно меньше массы чечевиц. Чечевицы можно считать материальными точками. Расстояния от упоров до концов стержня одинаковы и равны α.

1. Найдите периоды колебаний маятника в прямом (на упоре S₁) и обратном (на упоре S₂) положениях в зависимости от x₁ и x₂.

2. Постройте график зависимости периода колебаний маятника в прямом положении при x₁ = a/2 от положения второй чечевицы.

3. Найдите множество значений x₁, x₂, при которых период колебаний маятника T₁ в прямом положении один и тот же. Постройте эти множества точек на диаграмме (x₁, x₂) для различных значений T₁. Постройте аналогичные кривые для колебаний маятника в обратном положении.

4. На диаграмме (x₁, x₂) постройте множество значений (x₁, x₂), при которых периоды колебаний маятника в прямом и обратном положениях равны и постоянны. Покажите, что этот период равен периоду колебаний математического маятника с длиной равной расстоянию между упорами.

   Бесконечная цепочка состоит из одинаковых шариков (масса каждого m), соединенных одинаковыми легкими пружинами (жесткость каждой γ). В положении равновесия расстояния между шариками равны l, пружины немного растянуты так, что сила натяжения каждой равна T_o.