1.2 Момент инерции
Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
.
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:
,
где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина в этом случае есть функция положения точки с координатамиx, y, z.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр массC тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния d между осями:
.
В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции |
Полый тонкостенный цилиндр, обруч радиусом R |
Ось симметрии | |
Сплошной цилиндр (диск) радиусом R |
Ось симметрии | |
Прямой тонкий стержень длиной |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину | |
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец | ||
Шар радиусом R
|
Ось проходит через центр шара |
Таблица 1.2.1
Если тело имеет сложную форму, и теоретически определить момент инерции его сложно, прибегают к экспериментальным методам определения момента инерции.
1.3 Кинетическая энергия вращения
Рис.
1.3.1
(1.3.1)
Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:
.
Используя выражение (1.3.1), получим:
Рис.
1.3.1
где – момент инерции тела относительно осиz.
Из сравнения формулы (1.3.2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерцииI вращательного движения – мера инертности тела во вращательном движении, т.е. является вращательным аналогом массы.
В случае, когда тело совершает одновременно поступательное и вращательное движение (например, шар катится по плоскости), его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений: