- •Министерство образования и науки рф
- •1. Краткие теоретические сведения
- •1.1 Кинематика вращательного движения
- •1.2 Момент инерции
- •1.3 Кинетическая энергия вращения
- •1.4 Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела
- •1.5 Момент импульса и закон его сохранения
- •1.6. Гироскоп
- •2.Описание лабораторной установки
- •3.Порядок выполнения работы
- •4.Контрольные вопросы
- •5.Литература
1.6. Гироскоп
Если тело вращается вокруг закреплённой оси, то для характеристики его движения необходимо знать только величину –проекцию момента импульса этого тела на ось вращения. В этом случае движение имеет простой характер.
Если же ось вращения не закреплена, то необходимо рассматривать весь вектор в зависимости от вектора угловой скорости.
В случае незакрепленной оси вращения направления векторов имогут и не совпадать.
Примером такого движения является вращение гироскопа. Гироскоп – осесимметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси, причём ось вращения может свободно ориентироваться в пространстве.
В отсутствии внешних сил векторы инаправлены по оси гироскопа (т.к. гироскоп симметричен относительно своей оси и нет никакого другого предпочтительного направления, куда бы мог быть направлен вектор). В этом случае ось гироскопа сохраняет своё положение в пространстве.
Если же к гироскопу приложить внешнюю силу, то его ось начинает отклоняться. Это движение оси гироскопа называется прецессией. Движение оси гироскопа происходит относительно некоторой другой оси, не совпадающей с осью гироскопа, поэтому и вектор суммарной угловой скорости не будет совпадать с геометрической осью гироскопа. Значит, не будет совпадать с осью гироскопа и вектор.
Если основное вращение гироскопа происходит с большой скоростью и внешние силы не слишком велики, скорость поворота оси гироскопа будет мала и векторы ибудут близки по направлению к оси гироскопа, и по изменению вектораможно судить о движении оси гироскопа. Изменение же вектораопределяется моментом приложенных к нему сил:
т. е. внешняя сила вызывает поворот оси гироскопа в направлении, перпендикулярном направлению силы.
Действительно, пусть к концам оси гироскопа приложена пара сил , действующих в плоскости YZ (см. рис.1.6.1)
Рис.1.6.1
Момент пары сил направлен перпендикулярно векторами(причём векторнаправлен по осиZ, вектор - по осиY). Таким образом, вектор направлен по осиx, и в эту же сторону направлена производная , т.е. момент импульса гироскопа и его ось отклоняются в одну сторону по осиX. За время момент импульса гироскопа получит приращение , которое совпадает по направлению с моментом силы(см. рис.1.6.2.).
Рис.1.6.2
Поэтому результирующий момент импульса гироскопа равен:
.
Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг осиY, причём так, что угол между векторами иуменьшится.
Если на гироскоп действовать длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил , то ось гироскопа устанавливается так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под действием внешних сил (векторсовпадает по направлению с вектором).
Рассмотрим прецессию лабораторного гироскопа, в котором момент силы создаётся перемещением рейтера относительно центрального положения (см. рис.1.6.3.).
Рис. 1.6.3
В этом случае момент внешних сил постоянен по величине и поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время, прямой угол. Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, равен по величине:
, (1.6.1)
где m — масса рейтера, d – расстояние от центрального положения (на оси Y) до центра масс рейтера.
Момент силы направлен перпендикулярно векторами , следовательно, он направлен в отрицательном направлении оси Y. Под действием момента сил момент импульсаполучит за времяdt приращение:
,
которое совпадает по направлению с вектором , т.е. перпендикулярное вектору. За времяdt ось гироскопа повернётся на угол относительно оси z, на такой же угол в горизонтальной плоскости повернётся вектор , т.е. спустяdt будем иметь такое же взаимное расположение векторов и, как и в начальный момент времени.
За последующий промежуток времени dt вектор снова получит приращение , которое будет перпендикулярно к новому (возникшего уже после первого элементарного поворота) направлению вектораи т.д. Таким образом, ось гироскопа непрерывно поворачиваться вокруг вертикали. При этом векторменяется по направлению, оставаясь постоянным по величине.
Такое движение гироскопа называется прецессией и представляет собой движение его оси под действием внешних сил.
Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через вертикаль и ось гироскопа, называется скоростью прецессией:
, (1.6.2.)
где - угол, на который повернётся эта плоскость за времяdt.
Видно, что
или .
Угол мал, поэтому, тогда
. (1.6.3.)
Согласно (1.6.2.) и (1.6.3.), получим:
. (1.6.4.)
Угловая скорость прецессии от угла наклона оси гироскопа не зависит.