Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

Спочатку розглянемо стійкі статичні розімкнені системи, тобто такі, у яких корені характеристичного рівняння знаходяться у лівій півплощині.

Функція передачі замкненої системи керування (2.33):

Якщо всі корені характеристичного рівняння замкненої системи n – го порядку N(р)=0 знаходяться у лівій півплощині (система стійка), то, у відповідності до критерію стійкості Михайлова, загальний приріст аргументу характеристичного полінома замкненої системи φD(ω) повинен складати n·π/2, тобто:

Оскільки, як було умовлено, розглядаються стійкі системи у розімкненому стані, то загальний приріст аргументу характеристичного полінома розімкненої системи φN(ω) теж повинен складати n·π/2, тобто:

Таким чином, загальний приріст аргументу комплексного полінома F(jω):

Це означає, що годограф F(jω) не повинен охоплювати початок координат. АФЧХ W(jω) відрізняється від полінома F(jω) на 1. Тому краще користатися

годографом амплітудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи

W(jω).

Розглянемо відображення на комплексній площині годографів F(jω) і W(jω). Як видно з рисунка, обидві криві ідентичні, якщо не враховувати зсув однієї з них по відношенню до початку координат на одиницю праворуч. На рисунках показано, що при ω=0 початкове значення обох кривих теж відрізняються на 1, при тому зрозуміло, що літерою К позначений коефіцієнт передачі розімкненої системи.

З рисунка випливає, що для того , щоби стійка система у розімкненому стані була стійкою у замкненому стані, необхідно і достатньо аби АФЧХ розімкненої системи W(jω) не охоплювала критичну точку С з координатами -1; j0 .

Якщо W(jω) проходить через точку С, замкнена система буде знаходитися на межі стійкості, це спричиняє встановлення незатухаючих коливань. Цей факт випливає з того, що при перетині АФЧХ W(jω) точки С виконується рівняння:

Тобто комплексний характеристичний поліном замкненої системи F(jω)=1+ W(jω) дорівнює нулю. Якщо цей поліном можна записати у вигляді:

тому рівність нулю полінома можливе лише при наявності хоча б одного уявного кореня рі з нульовою дійсною частиною, тобто рі= jω, а це означає знаходження замкненої системи на межі стійкості.

Якщо розімкнена система знаходиться на межі стійкості, вимоги до АФЧХ розімкненої системи для забезпечення стійкості замкненої системи не змінюються, лише змінюється вигляд АФЧХ.

Визначимо вимоги до АФЧХ W(jω), якщо розімкнена система нестійка і l коренів характеристичного рівняння знаходяться у правій півплощині.

Пам’ятаючи про те, l коренів, що розташовані у правій півплощині, при зміні ω від -∞ до ∞ дають приріст аргументу характеристичного полінома (- l·π), а (n-l) коренів характеристичного рівняння, що знаходиться у лівій півплощині – (+n·π), тому загальний приріст буде:

Це означає, що для того, щоби нестійка у розімкненому стані система автоматичного керування була стійкою у замкненому стані, необхідно і достатньо аби крива F(jω) охоплювала початок координат у додатному напрямку l раз.

По відношенню до АФЧХ розімкненої системи критерій Найквіста у такому випадку можна сформулювати таким чином:

Для того, щоби нестійка у розімкненому стані система автоматичного керування була стійкою у замкненому стані, необхідно і достатньо аби крива АФЧХ розімкненої системи W(jω) охоплювала критичну точку С з координатами-1;j0 l разів за напрямком годинникової стрілки..

Слід зауважити, що розглянутий останній випадок має більш теоретичне призначення, оскільки при проектуванні систем автоматичного керування використовують здебільшого стійкі динамічні ланки, тому практично майже завжди розімкнені системи керування є стійкими, або у крайньому випадку знаходяться на межі стійкості.

–Логарифмічний критерій стійкості.

Увідповідності до критерію стійкості Найквіста, в стійких замкнених

системах при деякій частоті ω-π значення аргументу АФЧХ розімкненої системи φ(ω-π)= -π, а значення модуля W(jω-π) має бути менше одиниці, тобто А(ω-π)<1, тому логарифмічна амплітудно-частотна характеристика розімкненої системи

(ЛАЧХ) L(ω-π)=20 lg А(ω-π)<0.

Якщо побудувати ЛАЧХ і ЛФЧХ для розімкненої системи, то неважко встановити їх взаємозв’язок, який забезпечує стійкість системи автоматичного керування у замкненому стані.

Будемо розглядати лише системи, які є стійкими у розімкненому стані.

На першому рисунку при частоті, при якій значення ЛФЧХ φ(ω-π) стає рівним –π, значення ЛАЧХ L(ω-π)>0. Це означає, що АФЧХ розімкненої системи перетинає дійсну вісь в інтервалі значень за межами -1; j0 , тобто охоплює

критичну точку С, тому замкнена система буде нестійкою.

На другому рисунку при частоті, при якій ЛФЧХ φ(ω-π) відповідає тій же умові, ЛАЧХ L(ω-π)<0, тому АФЧХ розімкненої системи перетинає дійсну вісь в інтервалі значень від -1 до 0, що відповідає стійкості замкненої системи керування.

Замкнена система керування буде абсолютно стійкою, якщо при частоті, при якій ЛАЧХ розімкненої системи перетинає горизонтальну лінію –π, ЛФЧХ має від’ємне значення.

У випадку умовної стійкості ЛФЧХ φ(ω) має інший вигляд:

Таким рівнянням можна користуватися для досліджень стійкості системи за допомогою будь-яких критеріїв. Але при аналізі характеристичного рівняння такого вигляду виникають певні математичні труднощі, тому більш зручним є використання критерію стійкості Найквіста, для якого непотрібно визначати функцію передачі для замкненої системи.

Комплексний коефіцієнт передачі розімкненої системи при наявності елемента чистого запізнення:

а оскільки значення амплітудно-частотної характеристики ланки чистого запізнення Аτ(ω) для всіх частот дорівнює одиниці, то:

Аналізуючи отриманий результат, можна зробити висновок, що наявність ланки чистого запізнення не впливає на модуль вектора АФЧХ, але змінює фазовий зсув в напрямку руху годинникової стрілки на кут, що дорівнює –ωτ.

Розглянемо випадок, коли АФЧХ розімкненої системи перетинає коло одиничного радіуса в одній точці.

Im(ω)

-1 0

М

W0(jω)

Позначимо літерою М точку перетину АФЧХ розімкненої частини системи Wo(jω), яка не має запізнення, з колом одиничного радіуса. Ця точка відповідає

конкретній частоті ωм, при якій значення ФЧХ дорівнює φ(ωм). Наявність в

системі ланки чистого запізнення повертає вектор OM , довжина якого дорівнює одиниці в напрямку руху годинникової стрілки на кут, величина якого залежить від значення часу запізнення. При деякому критичному значенні цього часу τкр можливе виконання рівності:

точка М співпаде з точкою С, замкнена система керування втратить стійкість. Критичне значення часу запізнення τкр,при якому система перестає бути

стійкою, можна визначити за формулою:

Якщо АФЧХ розімкненої частини системи Wo(jω), яка не містить запізнення, перетинає коло одиничного радіуса в одній точці, то при τ<τкр система з запізненням буде стійкою, а при τ>τкр – нестійкою.

Таку залежність можна умовно відобразити графічно:

τкр τ

Область значень часу запізнення τ, яка заштрихована вище числової осі, відповідає стійкості системи.

У випадках, коли АФЧХ розімкненої частини системи Wo(jω) перетинає одиничне коло у декількох точках, залежність стійкості від часу запізнення більш τ складна.

При збільшенні часу запізнення при досягненні ним значення

знову стає стійкою. Тобто при τ< τкр1 система стійка, а при τкр1< τ< τкр2 стає нестійкою, але при τ> τкр2 знову стане стійкою.

Подальше збільшення τ знову приводить до стійкості, а потім її втрати. Таким чином, області значень часу запізнення τ, при яких система є стійкою, або навпаки, почергово змінюються. Графічно це можна відобразити так:

Якщо АФЧХ розімкненої частини системи Wo(jω) перетинає коло одиничного радіуса в двох точках, області стійкості і нестійкості чергуються, причому діапазон τ для стійкості системи звужуються, для нестійкості розширюється.

– Побудова областей стійкості. D – розбиття

При дослідженні САУ часто виникає необхідність встановити вплив параметрів системи на її стійкість. Для рішення цього завдання виконують

побудову областей стійкості, тобто, областей значень параметрів при яких система є стійкою.

Розрізняють побудову областей стійкості в площині значень одного параметра й у площині двох параметрів.

Для побудови таких областей необхідно у просторі їхніх значень нанести лінії, що відповідають межі стійкості. Тоді область, обмежена цими лініями буде являти собою область стійкості.

При побудові областей стійкості можна використати будь-які критерії стійкості, як аналітичні, так і графоаналітичні.

У більше широкому плані поставлене завдання можна розглядати як окремий випадок виділення областей значень параметрів системи, які забезпечують однаковий розподіл коренів характеристичного рівняння в комплексній площині.

Області значень параметрів системи з однаковою кількістю коренів характеристичного рівняння в правій півплощині комплексної площини розподілу коренів називається D-областями, а сама розбивка простору значень параметрів називається D-розбиттям.

Якщо в правій півплощині комплексної площини розподілу коренів є l коренів, то область значень для такого розподілу корінь позначається D(n-l), де n- порядок характеристичного рівняння, отже, загальна кількість коренів. Якщо всі n коренів перебувають у лівій півплощині (система стійка), то відповідна область значень параметрів системи для цього розподілу позначається відповідно D(n) і є областю стійкості. Загальна кількість D-областей n + 1: D(n), D(n – 1),….. D (0).

Для побудови D-областей, як зазначалося вище, можна користуватися будьякими критеріями стійкості, але найбільш універсальним є метод, запропонований. Соколовим О. О. в 1940 р., який надалі був розвинутий в роботах Неймарка Ю. І.

D-розбиття по одному параметру.

Розбивка простору всіх значень деякого конструктивного параметра γ на області з однаковим розподілом коренів характеристичного рівняння у комплексній площині називають D-розбиттям по одному параметру.

Якщо необхідно з'ясувати, як впливає на стійкість САУ якийсь конструктивний параметр γ, що лінійно входить у коефіцієнт характеристичного рівняння замкнутої системи, то зазначене рівняння можна представити у вигляді:

де Н (р) – многочлен, що не містить γ;

G(р) – многочлен, що є співмножником конструктивного параметра γ.

Зцього рівняння знаходимо γ:

По фізичному змісту γ є дійсним числом, всі можливі його значення розташовуються на числовій осі (лінії). Побудова D-областей зручніше й наочніше проводити на площині, тому параметр γ краще розглядати як деяке комплексне число S =γ+ j λ, у якого дійсна частина γ по суті своїй є параметром, вплив якого на стійкість системи досліджується, λ – допоміжна величина..

Тому, після здійснення заміни р=јω, одержимо γ у вигляді комплексного числа з дійсною частиною U (ω) і уявної V (ω):

Для комплексного числа S:

γ = U (ω); (4.49)

λ = V (ω).

Змінюючи значення ω від - до + , можна розрахувати та відобразити в комплексній площині величину S у вигляді кривої, яка поділить всю площину на декілька областей, серед яких може знаходитися і область стійкості.

Як конкретний приклад розглянемо систему автоматичного керування:

На схемі позначено

Y(р) - завдаючий вплив (завдання); ε(р) – помилка керування; μ(р) – керуючий вплив; Х(р) – керована величина;

Кn – коефіцієнт підсилення підсилювача;

Квм – коефіцієнт передачі виконавчого механізму; Твм – постійна часу виконавчого механізму;

Якщо крива D-розбиття обмежує деяку область значень параметрів γ, при яких система стійка, то сама крива в площині параметра γ є межею стійкості.

У площині розподілу коренів характеристичного рівняння межею стійкості є уявна вісь, яку, з метою наочного відображення необхідного розташування коренів для забезпечення стійкості, за звичай штрихують ліворуч при зростанні значень ω на цій осі. Тому криву D-розбиття також варто заштрихувати ліворуч при збільшенні ω від – до + .

Із трьох отриманих областей тільки одна (I) має штрихування спрямоване усередину, тому саме для області I кількість корінь у правій півплощині буде мінімальним; ця кількість може бути не рівною 0, тобто система буде нестійка.

Для оцінки того, чи є область I областю стійкості, необхідно скористатися будь-яким критерієм стійкості при підстановці в характеристичне рівняння будьякого значення γ в межах від γ1 до γ2. Якщо виявиться, що система стійка, то область I є областю стійкості. Перехід через криву D-розбиття із заштрихованої області в не заштриховану відповідає зменшенню кількості коренів у лівій півплощині на одиницю. В D-області I значення параметра Кп = γ обмежені точками перетину основної кривої D-розбиття з віссю абсцис. У цих точках λ = V(ω)= 0, тому:

В даному прикладі при зміні значень коефіцієнта підсилення підсилювача від Кп1 до Кп2 система є стійкою.

Визначення області стійкості, тобто D-розбиття по одному параметру, можна здійснити й іншими способами, наприклад, скориставшись будь-яким