Теорія автоматичного керування» Конспект лекцій з дисципліни

Час керування tк, як і раніше, визначається виходячи з умови, що процес керування завершується в момент, коли керована величина х(t), змінюючись в процесі коливань, вже не виходить за межі зони, обмеженої значеннями

0,05x( ) .

Перерегулювання можна визначити по тій же формулі

,% х1max - x( ) 100% x( )

Ступінь загасання ,%

,% х1max x2max 100%

x1max

Статична помилка в абсолютних одиницях виміру

f ( ) y x( ),

але, оскільки в цьому режимі у = 0, то

f ( ) x( ).

Зотриманого випливає, що значення сталої помилки в абсолютних одиницях дорівнює сталому значенню керованої величини, взятому із протилежним знаком. Знак помилки в більшості випадків не грає істотної ролі, тому в якості статичної помилки використовують модуль сталого значення керованої величини, тобто

f ( ) x( ) .

Однак, як указувалося вище, статична помилка, виражена в абсолютних одиницях виміру, залежить не тільки від власних властивостей САК, але й від величини зовнішнього впливу, а також місця його прикладення.

З метою знаходження статичної помилки, вираженої у відносних одиницях (у частках або %), скористатися формулою

не можна , оскільки в даному режимі вважається, що у = 0. Тому, для визначення статичної помилки 0f ( ) в цьому випадку як засіб рішення поставленой

завдання воспользуемая результатами наступних міркувань.

Функція передачі розглянутої замкнутої системи, що працює в стабілізуючому режимі по збурючому впливу f(t), для вихідної величини x(t).

Зображення по Лапласу вихідної величини в динаміці:

X ( р) Фxf ( p ) f ( p ),

у сталому режимі

де Кзб – коефіцієнт передачі об’єкта керування по каналу впливу, що збурює.

Оригінал сталого значення керованої величини

Оригінал статичної помилки керування, вираженої в абсолютних одиницях

Статична помилка, виражена у відносних одиницях, не повинна залежати від величини зовнішнього впливу, а також місця його прикладення до системи. Тому її значення має дорівнювати значенню розрахованого для слідкуючого

режиму, тобто 1 1K .

З наведеного випливає, що для одержання статичної помилки у відносних одиницях, для статичних стабілізуючих систем необхідно значення статичної помилки в абсолютних одиницях розділити на добуток Кf · f, тобто:

Подібні утруднення виникають при визначенні основних прямих показників якості керування й для астатичних стабілізуючих систем.

Розглянемо перехідну характеристику астатичної системи, яка працює в тому ж стабілізуючому режимі f ( t ) const f ; ó 0 .

В астатичних системах статична помилка відсутня, тому стале значення керованої величини в стабілізуючому режимі дорівнює нулю. Тому вже на етапі визначення часу керування tк виникають певні проблеми.

Визначати припустиме відхилення наприкінці перехідного процесу як 5% сталого значення керованої величини х(∞) не має сенсу, тому що х(∞) в астатических стабілізуючих системах дорівнює нулю.

Літературні джерела відносно припустимих меж максимального відхилення керованої величини в кінці перехідного процесу ніяких рекомендацій не пропонують. Найчастіше зображуються відповідні перехідні характеристики з нанесеними на них зонами припустимих відхилень , але про спосіб визначення конкретного значення умовчують.

Аналогічна проблема виникає при визначенні перерегулювання ,%.

Скористатися вищенаведеною формулою не можна з-за рівності нулю х( ) в астатических стабілізуючих системах.

Тому, як паліативне рішення завдання по визначенню перерегулювання ,% в астатических стабілізуючих системах у літературі пропонується формула:

,% х11max 100%.

x1max

де х11max - перше максимальне від’ємне значення керованої величини х ( ) .

Слід зазначити, що використання цієї формули для статичних слідкуючих систем дає результати трохи відрізняються від значень, отриманих при використанні раніше наведеної формули.

Тим не менш, нова формула для визначення ,% надає можливість із

деякою похибкою розрахувати припустиме відхилення при визначенні часу керування в астатичних стабілізуючих системах.

Зіставимо обидві формули для визначення ,% в астатичній САК в обох режимах

x1max - x( )

слід x( )

. стаб хx1max1 . 1max

Незважаючи на вищенаведене зауваження у відношення деяких розходжень результатів по обох формулах приблизно вони повинні бути рівні, тобто:

x1max

Величину х(∞) можна розуміти як деяке віртуальне стале значення керованої величини х(t) в астатичній стабілізуючій системі.

У такому випадку можна прийняти

Варто сказати, що зазначені проблеми при визначенні прямих показників якості керування в астатичних стабілізуючих САК виникають лише при аналізі теоретично побудованих перехідних характеристик.

Як показано вище, в статичних слідкуючих системах статична помилка в абсолютних одиницях виміру

ó( ) 1 1K ó,

ав статичних стабілізуючих системах

зазначених формул і визначають тангенс кута нахилу статичних характеристик

коефіцієнтом статизма системи по відповідному каналу.

Непрямі оцінки якості керування

Прямі показники якості керування, як вказувалося вище, визначаються безпосередньо по графіках перехідних характеристик. Природно, що для побудови цих графіків необхідно або вирішити відповідні диференціальні рівняння динаміки, або побудувати їх за результатами проведення натурного експерименту. І перше, і друге виконати часто буває досить важко, а іноді й неможливо з-за відсутності необхідної апаратури або за умовами технології, що виключає можливість проведення необхідних експериментів.

У зв'язку із цим, в інженерній практиці широке застосування знаходять непрямі оцінки якості, які характеризують певні якісні показники процеса керування. Вони не є всебічними оцінками якості керування, а визначають лише окремі його сторони.

Кореневі оцінки якості

До непрямих оцінок якості відносять кореневі, частотні і інтегральні оцінки.

Розглянемо ті непрямі оцінки, які використаються при рішенні завдань синтезу систем керування.

Перехідна характеристика САК, по якій визначаються розглянуті вище прямі основні показники якості, є результатом розв’язку відповідного рівняння динаміки. Характер отриманого рішення для системи керування n-го порядку визначається власними параметрами, тобто коефіцієнтами рівняння динаміки. Однак, деякі коефіцієнти рівняння динаміки однозначно пов'язані з коренями характеристичного рівняння, які повністю визначають перехідну складову процесу.

Нагадаємо, що якщо характеристичне рівняння системи n-го порядку має S

де: Сі, Aк, φк – сталі, обумовлені початковими умовами, n - порядок системи.

Наведений вираз свідчить про те, що хn (t) являє собою суму експонент і синусоїд, кожна з яких 0 при αi>0, αк>0 (у стійких системах).

Неважко прийти до висновку про те, що кожна зі складових спадає тим швидше, чим більше за абсолютним значенням αi й αк. Іншими словами, чим далі розташований корінь характеристичного рівняння від уявної осі, тим швидше

загасає перехідний процес. При цьому, довше всіх буде загасати складова, обумовлена найближчим до уявної осі коренем. Саме цим коренем визначається загальний час перехідного процесу системи цілкому.

Відстань до найближчого кореня від уявної осі називається ступенем стійкості h.

Якщо найближчий до уявної осі корінь дійсний, то ступінь стійкості аперіодична, якщо ж пара комплексних спряжених, то ступінь стійкості коливальна.

Зазначена відстань визначає запас стійкості й час загасання процесу, але жодним чином не повязана з коливальністю.

Коливальність процесу обумовлена наявністю комплексних спряжених коренів, а її ступінь співвідношенням уявної і дійсної частин цих коренів. Для оцінки коливальності користуються кореневою оцінкою, яку називають ступенем коливальності.

Тангенс половинного кута утвореного променями,проведеними з початку координат таким чином, щоб всі корені характеристичного рівняння замкнутої системи не виходили за межі площини обмеженої цими променями, називається ступенем коливальності μ.

Розглянемо комплексну площину розташування коренів стійкої системи 5- го порядку.

Проведемо вертикальну пряму через найближчий до уявної осі корінь (Р1) і два промені з початку системи координат через комплексні спряжені корені таким чином, щоб всі корені перебували в площині, обмеженій цими променями.

Нехай корені мають наступний вид: p1 1 ;

p2,3 2 j 2 ; p4 ,5 4 j 4 .

У даному випадку ступінь стійкості

h p1 1 ,

Ступінь коливальності

μ= tgj 4 .

4

Як кореневу оцінку коливальності системи часто використовують кореневий показник колебательности m 1 .

Уявна вісь, вертикальна пряма й два промені розбивають весь простір можливих значень коренів на 5 областей.

Припустимо, що отримані значення h і м є гранично припустимими. У цьому випадку, область 1, як область розташування коренів для нестійких систем, не може задовольняти необхідних вимог в плані стійкості системи.

Розташування коренів в області 2 свідчить про те, що ступінь коливальності перевищує необхідну, а ступінь стійкості менше припустимої.

Знаходження всіх коренів в області 3 забезпечує в системі необхідну коливальність, але не задовольняє вимогам припустимого ступеня стійкості.

Область 4 характеризується задоволенням необхідних вимог у забезпеченні заданого ступеня стійкості, але визначає неприпустимо високий ступінь коливальності.

Область 5 - єдина область розташування всіх коренів, що задовольняє необхідним вимогам у плані забезпечення необхідних як ступеня стійкості, так і ступеня коливальності.

Ця область розташована ліворуч від вертикальної лінії й обмежена двома променями (межі цієї області заштриховані).

Області із заданими значеннями h й μ можна виділити не тільки в площині розподілу коренів характеристичного рівняння.

Використовуючи D-розбиття на площині двох параметрів η і ν, можна виділити на цій площині області, у яких забезпечуються задані h й μ.

Якщо в процесі D- розбиття в характеристичному рівнянні замкнутої системи замінити оператор Лапласа р на jω, і прирівняти до нуля дійсну і уявну частини рівняння, що містять обоє конструктивних параметра η і ν, одержимо рівняння основної кривої D-розбиття, яка є межею стійкості й відображенням уявної осі комплексної площини розподілу коренів характеристичного рівняння на площині конструктивних параметрів η і ν.

Якщо ж у характеристичному рівнянні замінити оператор р не величиною jω, а р=-h+jω, де h-задана ступінь стійкості, а потім повторити побудову основної кривої D-розбиття, то отримана крива відобразить на площині параметрів η і ν не уявну вісь, а вертикальну пряму, паралельну осі і зміщену від неї вліво на відстань h . Ця крива обмежує область, у якій ступінь стійкості вище заданої.

Якщо комплексний корінь характеристичного рівняння в загальному виді

операції по визначенню рівняння основної кривої D-розбивки, то отримана в такий спосіб крива на площині конструктивних параметрів η і ν відобразить два промені проведені на площині розподілу коренів й обмежить область із заданим ступенем коливальності μ (кореневим показником коливальності m)

Розглянуті криві D-розбивки на площині параметрів η і ν зображені на малюнку.

На малюнку:

крива 1 – межа області стійкості (р = jω);

крива 2 – межа області з заданим ступенем стійкості (p = -h+jω);

крива 3 – – межа області з заданим ступенем коливальності ( p ( j - 1 ) ).

Отримані криві розбивають простір можливих значень конструктивних параметрів САК на 5 областей:

1.- область нестійкості, характеристичне рівняння замкнутої системи має корінь розташованй праворуч від уявної осі в комплексній площині розподілу коренів.

2.- область стійкості, але зі ступенем стійкості менше заданого і ступенем коливальності більше заданого. Корені характеристичного рівняння знаходяться

увідповідній області 2 комплексної площини розташовання коренів.

3.- область стійкості зі ступенем стійкості менше заданого, і ступенем коливальності менше заданого. Корені характеристичного рівняння перебувають в області 3 площини розташовання коренів.

4.- область зі ступенем стійкості більше заданого, і ступенем коливальності теж більше необхідного. Корені знаходяться на площині розташовання коренів у відповідній області 4.

5.- область у якій повністю виконуються вимоги в плані забезпечення необхідного ступеня стійкості й ступеня коливальності. Характеристичне рівняння системи має всі корені, розташовані в області 5 площини розташовання коренів.

Зв'язок між кореневими оцінками й прямими показниками якості керування

Як вказувалося вище, кореневі оцінки не є всебічними оцінками, вони характеризують як тільки певні сторони якості керування.

Так, ступінь стійкості h визначає швидкість загасання процесу, тобто час керування tк. Визначимо залежність tк від h.

Якщо найближчий корінь дійсний рi= – h, то відповідна цьому кореню складова перехідного процеса

xni ( t ) Chе ht .

Будемо вважати, що наприкінці перехідного процесу xni ( t ) Ch , äå 0,05

(5% первісного значення Сh). Отже наприкінці перехідного процесу через час t=tк маємо:

Сh Chе htk ,

звідки

е htk .

Логарифмуючи ліву й праву частини, одержуємо

htk ln ; htk ln 1 ;

tk h1 ln 1 ;

ln 1 ln 0,051 ln 20 3,

тобто

tk 3h .

Якщо найближчі корені комплексні спряжені Ði ,i 1 h j , то відповідна цим кореням складова перехідного процесу

хni ( t ) Ahе ht sin( t )

Поклавши хni ( tk ) Ah наприкінці перехідного процесу при t=tк, одержимо трансцендентне рівняння

е htk sin( t ).

Визначаючи верхню межу перехідного процесу при sin( t ) 1, одержимо, як і раніше

е htk .

Отже, і в цьому випадку

tk 3h .

Іншими словами абсолютно неважливо, які по характеру корені, дійсні або комплексні визначають ступінь стійкості h. В обох випадках час керування tк визначаються однієї й тією же залежністю від h.

Варто нагадати, що перехідний процес має коливальну складову лише при наявності хоча б однієї пари комплексних спряжених коренів.

Припустимо, що є пара комплексних коренів.

Відповідній цій парі коренів складова перехідного процесу

хni ( t ) Ciе it sin( it i )

Визначимо зв'язок ступеня коливальності μ с загасанням амплітуди коливань C i е it за один період, тобто зі ступенем загасання ψ.

Припустимо, що коливальна складова перехідного процесу системи, яка відповідає зазначеній парі комплексних корінь має вигляд:

У момент t1, амплітудне значення