Л4 Надежность ИС
.pdfФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н.Прянишникова»
Факультет прикладной информатики Кафедра ИТАП
НАДЕЖНОСТЬ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
специальность 230201 «Информационные системы и технологии»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
тема: «РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ»
Структура:
1.Сведения из теории
2.Постановка задачи
3.Последовательность решения
Пермь, 2011
I. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Резервирование (от латинского reserve — сберегаю, сохраняю) - метод повы-
шения надёжности объекта посредством введения дополнительных элементов и функциональных возможностей сверх минимально необходимых для нормального вы-
полнения объектом заданных функций. Резервированной системой называется такая система, в которой отказ наступает только после отказа любого основного элемента и всех резервных у анализируемого элемента.
Виды резервирования: структурное, временное, информационное, функциональ-
ное, нагрузочное резервирование.
Независимо от назначения и области применения технических систем (ТС) сле-
дует различать пять видов резервирования: структурное, временное, функциональное, ин-
формационное, нагрузочное.
Структурное резервирование – метод повышения надежности объекта, пре-
дусматривающий использование избыточных элементов, входящий в физическую
структуру объекта. Структурное резервирование осуществляется введением в структуру технических средств дополнительных (резервных) элементов, способных выполнять функции основных элементов при их отказе. Удаление этих элементов из системы при ра-
ботоспособном состоянии основных не нарушает способности системы выполнять тре-
буемые функции в заданных режимах и условиях применения.
Важным признаком резервированных систем является степень избыточности,
которая характеризуется кратностью резервирования. Кратность резервирования – это
отношение числа резервных элементов к числу резервируемых или основных элемен-
тов ТС. Различают резервирование с целой и дробной кратностью. Резервирование с це-
лой кратностью имеет место, когда один основной элемент резервируется одним и более резервными элементами. Резервирование с дробной кратностью имеет место, когда два и более однотипных элементов резервируются одним и более резервными элементами. Наи-
более распространенным вариантом резервирования с дробной кратностью является та-
кой, когда число основных элементов превышает число резервных. Резервирование, крат-
ность которого равна единице, называется дублированием.
Для равнонадежных элементов формулы показателей надежности принимают вид
(P(t) – вероятность безотказной работы элемента):
Pc(t) 1 (1 P(t))m 1 - вероятность безотказной работы системы;
fc (t) (m 1) f (t)(1 P(t))m - плотность распределения времени до отказа системы;
c(t) (m 1) f (t)(1 P(t))m - интенсивность отказов. 1 (1 P(t))m 1
2
II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m, все эле-
менты которой равнонадежны и имеют усеченный нормальный закон распределения
TN(m0, 0 ) времени до отказа с параметрами m0=400 час и 0 200 час.
Определить показатели надежности системы: вероятность безотказной рабо-
ты, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа (за время 1000 ча-
сов с шагом 50 часов). Результат представить в виде графиков и таблиц. Принять m=0, 1, 2.
III. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ
Решение задачи рекомендуется производить с помощью электронных таблиц
Microsoft Excel.
Этапы нахождения показателей надежности для данной системы:
1.Создать чистый лист Microsoft Excel.
2.Из теории известно, что плотность распределения времени до отказа f(t) и вероят-
ность безотказной работы P(t) для усеченного нормального распределения равны:
|
|
t m |
|
||||
|
0,5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
|
|||
P(t) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
m0 |
|
(1), |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,5 0 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t m 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 02 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
(2). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
2 |
|
|
0,5 |
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В формулах принято следующее обозначение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0(t) |
|
|
|
e |
|
2 dx - функция Лапласа. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислите вероятность безотказной работы P(t). Вероятность безотказной работы для исходных данных задачи (с учетом известных значений параметров усеченного нор-
мального распределения m0 и 0 и приведенной формулы (2)), равна:
3
0,5 0 |
t 400 |
|
||
|
|
|
||
200 |
||||
|
|
|
P(t) 0,5 0 (2) .
4. Очевидно, что для нахождения вероятности безотказной работы необходимо знать функцию Лапласа. Пусть в ячейке С4 будет храниться значение функции Лапласа с
m
аргументом равным 0 , тогда в С4 необходимо ввести следующую формулу для нахож-
0
дения Ф0(2): =НОРМРАСП(2;0;1;1)-0,5. Результат представлен на рис. 1.
Рис. 1. Нахождение функции Лапласа с аргументом, равным 2.
5.Далее создается область для сведения данных в диапазоне С6:F27, обозначая кратность резервирования m=0,1,2 (рис. 2).
6.Кроме функции Лапласа с аргументом 2, необходимо найти функцию Лапласа с
t 400
аргументом, равным . Для облегчения расчетов найдите значение аргумента для
200
указанного времени. Для этого в ячейку G7 вводится формула: =(C7-400)/200, табулируй-
те ее для всех t (рис.3).
4
Рис. 2. Область для сведения данных.
t 400
Рис. 3. Нахождение аргумента .
200
7. Теперь необходимо вычислить значение функции Лапласа с аргументом, равным
t 400
. Для этого в ячейку B7 вводим формулу: =НОРМРАСП(G7;0;1;1)-0,5 и копиру-
200
ем ее для всех t (рис.4).
5
t 400
Рис. 4. Нахождение функции Лапласа с аргументом, равным .
200
8. Далее, используя формулу для нахождения вероятности безотказной рабо-
|
0,5 0 |
t 400 |
|
|||
|
|
|
|
|||
200 |
||||||
ты P(t) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
, вычислите P(t). Для этого в ячейку А7 необходимо ввести |
||
0,5 0 (2) |
|
|||||
|
|
|
формулу: =(0,5-B7)/(0,5+$C$4), скопируйте ее для всех значений t (рис.5).
9. По формуле Pc(t) 1 (1 P(t))m 1 найдем вероятность безотказной работы системы для кратности резервирования m=0. Для этого в ячейку D7 введите формулу =1- (СТЕПЕНЬ(1-A7;1)). Для кратности резервирования m=1 в ячейку E7 введите формулу
=1-(СТЕПЕНЬ(1-A7;2)). Для кратности резервирования m=2 в ячейку F7 введитеформулу
=1-(СТЕПЕНЬ(1-A7;3)). Копируйте формулы для всех значений t. Результат представлен на рис. 6.
6
Рис. 5. Вероятность безотказной работы P(t).
Рис. 6. Вероятность безотказной работы резервированной системы.
7
Следует иметь в виду, что при больших значениях t вероятность безотказной ра-
боты настолько мала, что нет смысла эксплуатировать систему. Таблица необходима только для иллюстрации результатов решения задачи, представления решения в графиче-
ском виде и вычисления среднего времени безотказной работы системы методом Симп-
сона. Формула Симпсона для расчета среднего времени безотказной работы системы име-
|
h |
n 1 |
k |
|
|
|
|
ет следующий вид T |
|
1 3 1 |
|
Pc |
kh |
, в которой n – число точек, h – шаг ин- |
|
|
|
||||||
|
3 |
k 1 |
|
|
|
|
тегрирования, выбираемый из условия обеспечения требуемой точности. Примем для рас-
сматриваемого случая шаг равный h=50 час, n=20, Расчеты показывают, что при m=0,
T=411 час; при m=1, T=518 час; при m=2, T=573 час.
10. Для графической иллюстрации постройте график вероятности безотказной рабо-
ты при различной кратности резервирования (рис. 7).
|
ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ |
||||||||||
|
1,00000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,80000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pc(t) |
0,60000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
||
0,40000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,20000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
t, |
час |
|
|
|
|
|
Рис. 7. Вероятность безотказной работы при |
||||||||||
|
|
различной кратности резервирования |
|
Из графика видно, что Pc(t) возрастает при увеличении кратности резервирова-
ния.
11. Для расчета плотности распределения времени до отказа, согласно формуле
fc (t) (m 1) f (t)(1 P(t))m , необходимо вычислить f(t). Из теории известно, что для усе-
ченного нормального закона распределения f(t) вычисляется по формуле (1), для данного случая это:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(t 400)2 |
||
f (t) |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2*2002 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
400 |
. |
||||
|
|
|
|
||||||||
200 |
2 0,5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
(t 400)2
Чтобы облегчить расчеты необходимо для начала вычислить значение e 2*2002 . 12. Создайте область для сведения данных в диапазоне J6:M27 (рис.8). В ячейку I7
введите формулу =EXP(-(СТЕПЕНЬ((J7-400);2)/(2*(СТЕПЕНЬ(200;2))))). Копируйте формулу для всех t (рис.9).
Рис.8. Область для сведения данных.
(t 400)2
Рис.9. Вычисление значения e 2*2002 .
9
(t 400)2
13.Теперь, когда значение e 2*2002 и Ф0(400/200) известны, вычислите значение f(t).
Для этого в ячейку H7 поместите формулу =(1/(200*(КОРЕНЬ(2*3,14))*(0,5+$C$4))*I7),
скопируйте для всех известных t (рис.10).
Рис. 10. Вычисление f(t).
14. Найдите fc(t) для кратности резервирования m=0. Для этого в ячейку K7 необходи-
мо ввести формулу =(1*H7*(СТЕПЕНЬ(1-A7;0))). Для кратности резервирования m=1 в
ячейку L7 необходимо ввести формулу =(2*H7*(СТЕПЕНЬ(1-A7;1))). Для кратности ре-
зервирования m=2 в ячейку M7 необходимо ввести формулу =(3*H7*(СТЕПЕНЬ(1- A7;2))). Копируйте формулы для всех значений t. Результат представлен на рис.11.
15. Для графической иллюстрации постройте график плотности распределения време-
ни до отказа при различной кратности резервирования (рис.12).
При m=0 имеем график плотности усеченного нормального распределения времени до отказа основной системы. С увеличением кратности резервирования увеличивается среднее время безотказной работы и уменьшается дисперсия. Указанные факторы более ощутимы для системы с меньшей кратностью резервирования.
10