M04225
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
з вищої математики
для студентів технічних спеціальностей
ДЕННОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ
( 2-Й СЕМЕСТР) 2 ЧАСТИНА
2013
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
Методичні вказівки з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр) 2 частина.Укладачі / Гальченко Л.В., Килимник І.М., Онуфрієнко Л.М., Шаніна З.М., – Запоріжжя:
ЗНТУ, 2013 – 58 с.
УКЛАДАЧІ: |
доц. Гальченко Л.В. |
|
доц. Килимник І.М. |
|
доц. Онуфрієнко Л.М. |
|
доц. Шаніна З.М. |
Комп′ютерна верстка: Давиденко С.І.
Відповідальний за випуск:. Килимник І.М. , к.т.н., доц.
Затверджено |
на засіданні кафедри |
вищої математики ЗНТУ |
|
Протокол № |
від 20.02.10 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
|
ЗМІСТ |
|
1. Кратні інтеграли |
4 |
|
1.1 |
Аудиторні завдання |
4 |
1.2 |
Індивідуальні завдання |
6 |
2. |
Криволінійні та поверхневі інтеграли |
34 |
2.1 |
Аудиторні завдання. |
34 |
2.2 |
Індивідуальні завдання |
36 |
|
|
|
Література |
58 |
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
I. КРАТНІ ІНТЕГРАЛИ
1.1 Аудиторні завдання
1. Обчислити подвійний інтеграл по прямокутній області D
òòD |
xdxdy |
( 2 |
< x ≤ 4;1 ≤ y ≤ 3 ) |
(x + 3y)2 |
|||
|
|
2. Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла по області D, обмеженої вказаними лініями
а) D : y = x - 4, y2 = 2x; б) D : y = x , y = 0; x + y = 2
3. Змінити порядок інтегрування
0 |
−3 / 4y |
1 |
x2 +1 |
|
||
а) òdy |
|
ò f (x, y)dx; |
б) òdx |
ò f |
(x, y)dy; |
|
−3 |
|
0 |
−1 |
|
||
− |
9− y2 |
|
|
4. Обчислити подвійний інтеграл по області
вказаними лініями: |
|
|
|
|
|
|||||||||
а) òò |
æ |
y ö |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
ç |
|
÷ |
|
dxdy D : y = 2, x = y,x = |
|
; |
|
|
||||||
|
y |
|||||||||||||
D |
è x ø |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) òò |
ctg |
|
|
x2 + y2 |
dxdy D : x2 + y2 |
= 1, |
|
y |
||||||
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 + y2 |
||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D, обмеженої
³ -x, y £ 3x
5. Обчислити площу плоскої пластини D, обмеженої заданими лініями:
а) D : y = -1, y = -x, x2 + y2 = -2y б) D : x = 1, y = x3 , y = -3x
в) (x2 + y2 )3 = a2 (x4 + y4 )
6. Обчислити об′єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:
а) x2 + y2 = z, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0;
б) x + y + z = 4, x2 + y2 =1, x2 + y2 = 4, z = 0;
7. Обчислити площу поверхні I, відсіченою поверхнею II.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5
I: x2 + z2 = 4y, II: x2 = y, y = 3
8. Обчислити масу неоднорідної пластини D, обмеженої заданими лініями, якщо поверхнева щільність у кожній її точці g = g(x, y).
а) x = y2 , y = x2 , g = x2 + y;
б) x + y = 3, y = 0, y = 2x, g = x2 - y;
9.Знайти координати центра маси фігури, що обмежена лініями:
x= y, y = 2x, x = 2, густина γ =1.
10.Обчислити потрійний інтеграл
а) òòò(2x2 y - z + 3)dxdydz;
V
V :1 ≤ x ≤ 3, − 2 ≤ y ≤ 1, 2 ≤ z ≤ 3;
б) òòò(x + y -1)dxdydz;
V
V : z = x2 + y2 , y = 5x, x = 1, z = 0, y = 0;
в) òòòx2 + y2 dxdydz;
V
V : x2 + y2 = 44 - z, z = 64 - x2 - y2 ;
г) òòò |
|
dxdydz |
|
; |
|
|
|
|
|||
4 - x2 - y2 - z2 |
|||||
V |
|
|
V : x2 + y2 + z2 = 4, x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0;
11. Знайти об′єм тіла, обмеженого поверхнями:
а)
в)
ìz = 4x2 + 2y2 +1 |
|||||||
ï |
+ y - 3 = 0 |
|
|||||
íx |
|
||||||
ï |
= 0, y = 0, z = 0 |
||||||
ïx |
|||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
ì |
2x = x |
2 |
+ y |
2 |
|||
ï |
|
|
|||||
í |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
ï |
+ y |
+ z |
= 3 |
||||
îx |
|
|
|
ìx + y + z = 4, z = 0 б) ïíx2 + y2 = 1
ïîx2 + y2 = 4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
1.2 Індивідуальні завдання.
1.2.1 Обчислити подвійний інтеграл по прямокутній області інтегрування D
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
òò(2x + 3y)dxdy
D
òò xy dxdy
D
òòD 1 +xy2 dxdy òò(3x − y)dxdy
D
òòex+ y dxdy
D
òò(x2 + 2y)dxdy
D
òò ( dxdy)2 D x + y
òòx2 2 dxdy
D 1 + y
òò(x + y3 )dxdy
D
òò(3x2 − y)dxdy
D
òò(x3 − y )dxdy
D
òòex− y dxdy
D
(0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3) (0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2) (3 ≤ x ≤ 4 , 1≤ y ≤ 2)
(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1)
(1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 1≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1) (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤1)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
7
dxdy
òòD (x + 2y)2
òò xy2dxdy
D
òò4(x + 5y)dxdy
D
òòx3 2 dxdy
D 1 + y
òòe2x+ y dxdy
D
òò(x − y )dxdy
D
dxdy
òòD (2x - y)3
òò(xy3 − y)dxdy
D
òòex−2 y dxdy
D |
|
|
|
|
|
æ x |
ö |
||
òòç |
|
+ 4yx÷dxdy |
||
2 |
||||
D |
è |
ø |
||
|
|
|
òò(3xy + xy)dxdy
D
òòD (1 +xy)3 dxdy
òò(x + xy )dxdy
D
òòe2x+3y dxdy
D
(2 ≤ x ≤ 5, 1≤ y ≤ 3) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1) (2 ≤ x ≤ 3 , 3 ≤ y ≤ 4)
(1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1)
(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤ 2 , 1≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 1≤ y ≤ 3)
(2 ≤ x ≤ 3 , 1≤ y ≤ 2) (1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1)
(1≤ x ≤ 3 , 1≤ y ≤ 2)
(0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤1) (0 ≤ x ≤1, 1≤ y ≤ 2) (1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2) (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
27. |
òòsin(x + y)dxdy |
(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1) |
||||||||
|
||||||||||
28. |
D |
(xy |
|
|
|
|
|
)dxdy |
|
|
òò |
2 |
+ y |
5 |
(2 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤1) |
||||||
|
|
|
||||||||
29. |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òò |
|
y |
dxdy |
(1≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤1) |
||||||
|
1 + x2 |
|||||||||
30. |
D |
|
y2 |
|
|
|
|
|
||
òòD |
|
|
dxdy |
(0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 1) |
||||||
|
(1+ x)3 |
1.2.2 Подати подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла по області D, обмеженої вказаними лініями.
1. |
D: |
y = |
4 − x2 |
|
, |
y = |
3x |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
D: |
x2 + y2 = 9, |
3x - 2y - 6 £ 0 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y ³ 0, |
|||
3. |
D: |
x = 8 − y2 , |
|||||||||
4. |
D: |
y = ln x, |
x ³ 0; |
||||||||
5. |
D: |
x2 = 2 − y, |
x + y = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
y ³ x2 ; |
|||||
6. |
D: |
y = |
2 − x2 |
, |
|||||||
7. |
D: |
y = x2 − 2, |
y = x; |
||||||||
8. |
D: |
y = 2x , |
y = x; |
||||||||
9. |
D: |
y2 = 2x, |
x2 = 2y , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
D: |
y = |
9 − x2 |
, |
x ³ 0 , |
||||||
11. |
D: |
y2 = 2 − x, |
y = x; |
||||||||
|
|
|
|
|
, |
x = y2 , |
|||||
12. |
D: |
x = |
2 − y2 |
x ³ 0; |
|
|
y £ |
0; |
|
y = x |
|
|
y ³ |
0, |
y £ 1; |
y = 1, |
y = 3; |
x £1;
y ³ x ;
y ³ 0 ;
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13.D:
14.D:
15.D:
16.D:
17.D:
18.D:
19.D:
20.D:
21.D:
22.D:
23.D:
24.D:
25.D:
26.D:
27.D:
28.D:
29.D:
30.D:
y2 = 4x , y = x,
y = −2 − x2 , y = 6 − x2 ,
y = −x,
y= 4 − x2 , xy =1,
x= 2 − y2
y2 = 6 − x,
y2 = x,
y= 4 − x2 ,
x2 + y2 = 4,
y− 2 = x2 ,
y= x2 ,
x + y - 6 = 0,
4 − y = (x −1)2 ,
2x + 3y £ 6,
4 − x = y2 ,
9
x+ 2y −12 = 0,
y= 2x,
y ³ x ,
x= y ,
y2 = x + 2 ;
0 £ x £ 2,
x = y,
x2 = − y,
x = y,
y2 = 4x ,
y= x2 ;
x- y + 2 = 0,
y= −4 − x2 , 4y = x2 ,
y= x2 ,
3x - y - 3 = 0,
y= 4 − x2 ,
x = −4 − y2 ;
y³ 0 ; x = 1;
y= 0 ;
y ³ 0 ;
y= 4 ; x = 2;
y£ 0,
y = 0 ; y = 2 ;
y ³ 0
0 £ x £ 2 ;
x = 2; y ³ 0;
y ³ 0 ;
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
10
1.2.3 Змінити порядок інтегрування
1. |
1 |
x3 +1 |
2. |
2 / 3 |
y+3 |
|||
|
ò dx |
|
ò f (x, y)dx |
|
ò dy |
ò f (x, y)dx |
||
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
2y |
2 |
|
− 1−x2 |
|
||||||
|
|
|
|
3. |
2 |
2x |
|
|
f (x, y)dy |
|||||||
|
òdx |
ò |
|
|
|
|||||||
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
2 |
|
|
2−x |
|
|
f (x, y)dy |
|||||
|
ò dx |
ò |
|
|
||||||||
|
−6 |
|
|
x |
2 |
−1 |
||||||
7. |
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2x−x2 |
|
|
||||||||
|
òdx |
|
|
|
|
ò |
|
f (x,y)dy |
||||
9. |
1 |
|
|
x−2 |
|
|
|
|
||||
1 |
e y |
|
|
f (x, y)dx |
||||||||
|
òdy |
ò |
|
|
|
|||||||
|
0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
1 |
|
|
1− y |
f (x, y)dx |
|||||||
|
òdy |
|
|
|
|
ò |
|
|||||
|
0 |
− |
1− y2 |
|
|
|||||||
13. |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
2+ |
|
|
1− y2 |
|
|||||||
|
òdy |
|
|
|
|
ò |
|
|
f (x, y)dx |
|||
15. |
0 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
||
2 |
|
y |
|
|
f (x,y)dx |
|||||||
|
òdy |
ò |
|
|
|
|||||||
|
1 |
ln y |
|
|
|
|
|
|||||
17. |
2 |
3−x |
|
(x, y)dy |
||||||||
|
òdx |
ò |
|
|
|
f |
||||||
|
1 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
1 |
|
3− y |
(x,y)dx |
||||||
|
òdy |
ò |
|
|
|
f |
||||
|
0 |
|
2y2 |
|
|
|
||||
6. |
1 |
|
y2 +1 |
f (x,y)dx |
||||||
|
òdy |
|
ò |
|||||||
|
0 |
|
− |
4− y2 |
|
|
||||
8. |
1 |
|
2−x2 |
f (x, y)dy |
||||||
|
ò dx |
ò |
||||||||
|
−1 |
|
− |
|
1−x |
2 |
|
|
||
10. |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
2x |
(x,y)dy |
|||||||
|
òdx |
|
ò |
|
|
|
f |
|||
|
0 |
|
x2 −x |
|
|
|
||||
12. |
1 |
|
3x |
|
|
|
f (x, y)dy |
|||
|
òdx |
ò |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
1 |
|
2−x2 |
|
|
|
||||
|
òdx |
|
ò |
|
|
|
f (x, y)dy |
|||
|
0 |
|
x3 |
|
|
|
||||
16. |
1 |
2+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f (x,y)dx |
|||||||
|
òdy |
|
ò |
|
|
|
||||
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|||||||
1 |
|
3− |
1−y2 |
|
||||||
|
òdy |
|
|
ò |
|
f (x, y)dx |
||||
|
0 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com