- •Передмова
- •Розділ І. Лінійна та векторна алгебра
- •§1.1. Матриці, дії над матрицями
- •§1.2. Визначники
- •§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення
- •§ 1.4. Обернена матриця
- •§1.5. Системи лінійних рівнянь
- •§1.6. Вектори
- •§1.7. Власні числа та власні вектора
- •§1.8. Квадратичні форми
- •Розділ ІІ. Аналітична геометрія
- •§2.1. Прямокутні координати в просторі. Основні задачі
- •§2.2. Пряма лінія на площині
- •§2.3. Криві лінії другого порядку
- •§ 2.4. Задачі економічного змісту
- •§ 2.5. Площина та пряма в просторі
- •§ 2.6. Нерівності та їх геометричний зміст
- •§ 2.7. Поверхні другого порядку
- •Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу
- •§4.6. Деякі основні теореми диференційного числення
- •§4.7. Економічний зміст похідної. Еластичність
- •§4.8. Дослідження функцій та побудова їх графіків
- •§5.1. Основні поняття
- •§5.2. Екстремум функції двох змінних
- •§5.3. Метод найменших квадратів
- •Розділ VI. Інтегральне числення
- •§ 6.2. Методи інтегрування
- •§ 6.4. Інтегрування тригонометричних виразів
- •§ 6.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональність
- •§6.8. Геометричні застосування визначенних інтегралів
- •§ 6.10. Наближені обчислення визначеного інтеграла
- •§ 6.11. Невласні інтеграли. Інтеграл ЕйлераAПуассона
- •§ 6.12. Поняття про подвійний інтеграл
- •Розділ VIІ. Диференційні рівняння
- •§ 7.1. Рівняння з відокремленими змінними
- •§ 7.2. Однорідні диференційні рівняння
- •§ 7.3. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку
- •Розділ VІІІ. Ряди
- •§ 8.2. Ознаки збіжності рядів з додатними членами
- •§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
- •§ 8.5. Розклад функцій в ряди Тейлора і Маклорена
- •§8.6. Застосування рядів до наближених обчислень
- •§8.7. Ряди Фур’є
- •Відповіді до задач та прикладів
- •Список використаної літератури
Розділ VIII. Ряди
§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність
До цих пір ми вивчали ряди, всі члени яких були додатними. Тепер ми перейдемо до розгляду рядів, які містять як додатні, так і від’ємні члени. Такі ряди називаються знакозмінними. Наведемо приклад знакозмінного ряду:
|
1 |
– |
|
1 |
– |
|
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
– |
1 |
– |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
– ... + |
|||||||||
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
4 |
2 |
5 |
2 |
6 |
2 |
7 |
2 |
8 |
2 |
9 |
2 |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( 1) |
n(n 1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вивчення знакозмінних рядів ми почнемо з окремого випадку так званих знакопереміжних рядів, тобто рядів, в яких за кожним додат+ ним членом слідує від’ємний, а за кожним від’ємним членом – до+ датний. Позначивши через абсолютні величини членів ряду та по+ клавши, що перший член додатний, запишемо знакопереміжний ряд наступним чином:
U – U + U – U + ... + (–1)n–1U + ... |
(8.16) |
|
1 2 3 4 |
n |
|
Для знакопереміжних рядів має місце достатня ознака збіжності Лейбніца.
Ознака Лейбніца. Якщо в знакопереміжному ряді (8.16) абсо+ лютні величини членів спадають, тобто
U1 > U2 > U3 > U4 > ... > Un > ... |
(8.17) |
і загальний член прямує до нуля, тобто lim U = 0, то ряд збігається,
n9/ n
причому його сума додатна та не перевищує першого члену ряду.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
– |
|
+ |
|
– ... + (–1)n–1 |
|
. |
1 22 |
2 32 |
3 42 |
n(n 1)2 |
Розв’язок. Цей ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца:
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||
1) |
|
> |
|
> |
|
> ... > (–1)n–1 |
|
> ... |
1 22 |
2 32 |
3 42 |
n(n 1)2 |
513
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
2) lim U = lim |
1 |
= 0. |
|||
n(n 1)2 |
|||||
n9/ |
n |
n9/ |
|
Отже, ряд збігається.
Перейдемо тепер до розгляду загального випадку знакозмінного ряду. Припустимо, що в ряді
U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ... |
(8.18) |
числа U1, U2, U3, U4, ..., Un, ... можуть бути як додатними, так і від’ємними.
Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо знако+ змінний ряд такий, що ряд, складений із абсолютних величин його членів збігається, то і знакозмінний ряд також збігається. Досліджен+ ня питання про збіжність знакозмінного ряду зводиться в цьому випадку до дослідження ряду з додатними членами.
Приклад. Дослідити на збіжність ряд
|
|
|
sin a |
|
sin 2a |
|
|
|
|
sin 3a |
|
|
|
|
sin na |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
+ ..., |
(8.19) |
|||||
12 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
n2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
де а — будь+яке число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розв’язок. Поряд з даним рядом, розглянемо ряди |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin a |
|
|
+ |
|
sin 2a |
|
|
|
+ |
|
|
sin 3a |
|
+ ... + |
|
|
|
|
sin na |
|
+ ..., |
(8.20) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
n2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
1 |
+ |
|
|
1 |
+ ... + |
1 |
|
+ ... |
|
|
|
(8.21) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (8.21) — збігається. Члени ряду (8.20) не більше відповідних членів ряду (8.21), отже ряд (8.20) також збігається. Але тоді, в силу розглянутої ознаки, даний знакозмінний ряд збігається.
Підкреслимо, що ознака збіжності, яка розглянута вище, являєть+ ся тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною; існують такі знакозмінні ряди, які самі збігаються, але ряди, що складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим корисно ввести поняття про абсолютну та умовну
514
Розділ VIII. Ряди
збіжність знакозмінного ряду і на основі цих понять класифікувати знакозмінні ряди.
Знакозмінний ряд
U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ... |
(8.18) |
називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений із абсолютних величин його членів:
|U1| + |U2| + |U3| + |U4| + ... + |Un| + ... |
(8.22) |
Якщо ж знакозмінний ряд (8.18) — збігається, а ряд (8.22) скла+ дений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд (8.18) називається умовно або неабсолютно збіжним.
Приклади. З’ясувати, які із вказаних рядів збігаються абсолют+ но, які неабсолютно, які розбігаються.
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
– |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
– ... |
+ (–1)n+1 |
|
|
+ ... |
|
|
(8.23) |
|||||||||||||||
2 |
2 22 |
3 23 |
n 2n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Un = (–1)n+1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Знайдемо lim |
|U | = lim |
|
|
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n9/ |
|
|
|
n |
|
n9/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
> ... > (–1)n+1 |
|
> ... |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 22 |
3 23 |
n 2n |
|
||||||||||||||||||||||||
Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Напишемо ряд, складений із |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
абсолютних величин даного ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
+ ... + |
|
|
|
+ |
|
|
+ ... |
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 22 |
3 23 |
|
|
n 2n |
(n 1) 2n 1 |
Одержали знакододатний ряд. Застосуємо ознаку Даламбера.
|
Un 1 |
|
|
1 |
|
|
|
n 2n |
|
1 |
|
n |
|
|
||
lim |
= lim |
|
(n 1)2n 1 |
|
= lim |
= |
lim |
= |
||||||||
n9/ U |
|
n9/ |
|
1 |
|
|
n9/ |
(n 1)2n 1 |
|
2 n9/ |
n 1 |
|
||||
n |
|
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
515
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
1 1
=2 1 = 2 < 1.
Отже, ряд (8.23) збігається абсолютно.
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
б) –1 + |
|
|
– |
|
|
|
|
|
+ ... |
+ (–1)n |
|
+ ... |
|
||||||||
2 |
|
|
3 |
|
n |
|
|||||||||||||||
U = (–1)n |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Знайдемо lim |U | = lim |
1 |
|
= 0. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n9/ |
n |
|
n9/ |
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 > |
|
1 |
|
> |
|
1 |
|
> ... > (–1)n |
1 |
> ... |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
n |
Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Запишемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду
1 + |
1 |
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
+ ... |
2 |
|
n |
||||
|
3 |
|
|
Одержаний ряд є розбіжним. Отже, заданий ряд збігається умовно.
8.3.1. Розв’язання прикладів
Приклад 8.20. З’ясувати, які із заданих рядів збігаються абсолют+ но, які умовно, які розбігаються.
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
/ |
|
1 |
|
|
|
|
|||
а) 1 – |
+ |
|
– |
|
|
+ ... + (–1)n+1 |
|
|
|
+ ... = ( 1)n 1 |
|
|
; |
|
||||||||||||
3 |
5 |
|
7 |
|
|
|
2n 1 |
|
2n 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
/ |
|
1 |
|
|
|
||||||||
б) 1 – |
+ |
|
– |
|
+ ... + (–1)n+1 |
|
|
|
|
+ ... = ( 1)n 1 |
|
|
; |
|||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
(2n 1) |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
3 |
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
n 1 |
|
(2n 1) |
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
/ |
n 1 |
|
|
|
|
|||
в) 2 – |
+ |
|
– |
|
+ ... + (–1)n+1 |
|
+ ... = ( 1)n 1 |
. |
|
|
||||||||||||||||
2 |
3 |
|
4 |
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
516
Розділ VIII. Ряди
Розв’язок.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
1 |
|
|
|
а) Члени заданого знакопереміжного ряду ( 1)n 1 |
|
спа+ |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
2n 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||
дають по абсолютному значенню, прямуючи до нуля: |
|
|
|
||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
1 > |
|
> |
|
> |
|
> ... > (–1)n+1 |
|
|
> ... |
|
|
|
|||
3 |
5 |
7 |
2n 1 |
|
|
|
|||||||||
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |Un| = lim |
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n9/ |
|
n9/ |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
Через це, згідно ознаки Лейбніца, заданий ряд збігається. Щоб вста+ новити, збігається він абсолютно чи неабсолютно, дослідимо ряд з
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
додатними членами |
|
|
|
|
|
|
, складений із абсолютних значень |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
членів заданого ряду. Застосуємо інтегральну ознаку |
|
||||||||||||||||||||||||
/ |
|
|
dx |
= lim |
b |
|
|
dx |
= 1 lim ln(2x – 1) |
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
||||
1 2x 1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b9/ H |
|
|
|
|
|
b9/ |
|
|||||||
= |
|
1 |
lim |
(ln(2b – 1) – ln 1) = /. |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
b9/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Одержали, що ряд з додатними членами розбігається. Отже, за+ |
|||||||||||||||||||||||||
даний ряд збігається неабсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
б) Заданий ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
1 – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ |
|
– |
|
+ ... + (–1)n+1 (2n 1)2 + ... |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
2 |
5 |
2 |
|
7 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задовольняє умовам ознаки Лейбніца, так як його члени спадають по абсолютному значенню
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||
1 > |
> |
> |
> ... > (–1)n+1 |
(2n 1)2 |
>... |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
2 |
5 |
2 |
7 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і
517
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
lim |U | = |
lim |
1 |
= 0. |
||
(2n 1)2 |
|||||
n9/ |
n |
n9/ |
|
Через це заданий ряд збігається. З’ясуємо, як збігається. Дослідимо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ряд з додатними членами |
|
|
|
|
, що складений із абсолютних |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
(2n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
значень членів заданого ряду. Застосуємо інтегральну ознаку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
/ |
|
dx |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
H |
|
|
= lim |
H |
(2x 1) 2 dx = |
lim |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
(2x 1)2 |
|
b9/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 b9/ |
2x 1 |
|
1 |
|
||||||||||||||
1 |
|
1 |
( lim |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
– 1) = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
b9/ 2b 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ряд з додатними членами збігається. Отже, заданий ряд збігаєть+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ся абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) Члени заданого ряду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 – |
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
– |
|
|
+ ... + (–1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
спадають по абсолютному значенню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 > |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
> |
|
|
|
> ...> (–1)n+1 |
|
|
|
|
|
> ..., |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
але |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
= 1 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |U | = lim |
= lim |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n9/ |
n |
|
|
|
n9/ |
|
|
n |
n9/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не задовольняє умові ознаки Лейбніца. Отже, заданий ряд розбігається.
518
Розділ VIII. Ряди
8.3.2. Приклади для самостійного розв’язку
Приклад 8.21. З’ясувати, які з цих рядів збігаються абсолютно, які неабсолютно, які розбігаються:
а) sin $ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3$ |
|
|
|
4$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n$ |
|
/ |
|
|
|
|
|
n$ |
|
|
|
||||||||||
|
+ sin |
|
|
+ sin |
|
+ sin |
|
+ ... + sin |
+ ... = sin |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
/ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
|
|
|
– |
|
|
|
|
+ |
|
|
– ... + (–1)n+1 |
|
|
|
|
|
+ ... = ( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
ln2 |
|
|
|
|
ln3 |
|
|
|
|
|
ln4 |
|
|
|
|
|
ln(n 1) |
|
|
n 1 |
|
ln(n 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
/ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) –1 + |
|
|
– |
|
|
|
+ |
|
|
|
– ... + (–1)n |
|
+ ... = ( 1)n |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) – |
|
|
+ |
|
|
– |
|
+ ... + (–1)n |
|
|
|
|
|
+ ... = ( 1)n |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n(n 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
/ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
д) 1 – |
|
+ |
|
|
|
– |
|
|
+ ... + (–1)n+1 |
|
|
|
+ ... = ( 1)n 1 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n) |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
(2n) |
519
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§ 8.4. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду
Степеневим рядом називається ряд виду
/
а0 + а1х + а2х2 + а3х3 + ... + anxn + ... = an xn (8.24)
n 0
або
/
an (x x0 )n = а0 + а1(x – x0) + а2(x – x0)2 + ... + an(x – x0)n + ..., (8.25)
n 0
де аn (n = 1, 2, 3, ...) — дійсні числа, які називають коефіцієнтами степеневого ряду, х0 — деяке стале число.
Теорема Абеля. Якщо ряд (8.24) збігається при х = х1, то він збігається абсолютно для усіх х, що задовольняють нерівність |x| < |x1|. Якщо ряд (8.24) розбігається при х = х2, то він розбігається для усіх х, що задовольняють нерівність |x| > |x2|.
Область збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля стверджує,
що якщо степеневий ряд (8.24) збігається при х1 0, то він збігаєть+ ся абсолютно при будь+якому х із інтервалу (–|x1|; |x1|). Якщо ж ряд розбігається при х2, то він розбігається у всіх точках, які розміщені поза інтервалом (–|x2|; |x2|).
Радіусом збіжності степеневого ряду (8.24) називається невід’ємне число R, таке, що при |x| < R ряд збігається, а при |x| > R розбігається. Інтервалом збіжності ряду називається інтервал (–R; R).
Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду (8.24) через його коефіцієнти. Для цього використаємо ознаку Даламбера або ознаку Коші.
Розглянемо для кожного фіксованого х числовий ряд
припустимо, що існує скінчена границя
L = lim |
an 1 |
|
, |
(L = lim |
n | a | ). |
|
|||||
n9/ |
a |
|
n9/ |
n |
|
|
n |
|
|
|
Тоді
/
an xn і
n 0
520
Розділ VIII. Ряди
lim |
an 1x n 1 |
|
= |x| lim |
|
a |
n 1 |
|
= |x| L. |
|
|
|
|
|||||||
an x |
n |
|
|
|
|
||||
|
an |
||||||||
n9/ |
|
|
n9/ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Звідси за ознакою Даламбера ряд (8.24) збігається при |x| L < 1 і
1
розбігається при |x| L > 1. Отже, якщо |x| < L , то ряд (8.24) збігаєть+
1
ся, а якщо |x| > L , то розбігається. Таким чином радіус збіжності степеневого ряду визначається формулою
R = |
1 |
= lim |
an |
|
. |
(8.26) |
L |
an 1 |
|
||||
|
n9/ |
|
|
|
Якщо до ряду застосовується ознака Коші, то, міркуючи аналог+ ічно, одержуємо наступну формулу
R = |
1 |
= |
1 |
. |
(8.27) |
L |
lim n | an | |
||||
|
|
|
n9/ |
|
Формулами (8.26) і (8.27) виражається і радіус збіжності ряду (8.25). Інтервалом збіжності цього ряду є (х0 – R; x0 + R).
Таким чином, будь+який степеневий ряд має радіус збіжності R і
інтервал збіжності (–R; R). При х = ) R ряд може або збігатися, або розбігатися. Це питання розв’язується для кожного конкретного ряду індивідуально. Отже, областю збіжності степеневого ряду (8.34) є його інтервал збіжності з можливим приєднанням до нього однієї або двох точок в залежності від того, як веде себе ряд на кінцях інтер+
валу, тобто при х = ) R.
8.4.1. Розв’язання прикладів
Приклад 8.22. Знайти область збіжності ряду
/ |
n 1 xn |
|
x2 |
|
x3 |
|
xn |
|
|
( 1) |
|
|
= х – |
|
+ |
|
– ... + (–1)n–1 |
n |
+ ... |
|
n |
|
|
||||||
|
2 |
3 |
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
Розв’язок. За формулою (8.26) знайдемо радіус збіжності
521
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
|
an |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R = lim |
|
= lim |
|
|
n |
|
= lim |
= lim (1 + |
) = 1. |
|||||
an 1 |
|
|
1 |
|
|
n |
|
n |
||||||
n9/ |
|
n9/ |
|
|
|
n9/ |
n9/ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, інтервалом збіжності ряду буде (–1; 1). Розглянемо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності. При х = 1 одержуємо
/ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд ( 1)n 1 |
. Цей знакопереміжний ряд за ознакою Лейбніца |
||||||||
n |
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
збігається неабсолютно. При х = –1 одержуємо ряд |
|||||||||
|
|
–1 – |
1 |
– |
1 |
– ... – |
1 |
– ... |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
3 |
|
n |
який розбігається. Отже, областю збіжності ряду є проміжок (–1;1].
Приклад 8.23. Знайти радіус та область збіжності ряду
/ |
2 |
n 1 |
x |
n 1 |
|
2x |
|
4x |
|
|
|
2 |
n 1 |
x |
n 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
+ |
+ ... + |
|
|
+ |
||||||||||
(2n 1)2 3n 1 |
2 |
|
52 32 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
3 3 |
|
|
|
|
(2n 1)2 3n 1 |
|||||||||||||||
+ |
|
2n xn |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(2n 1)2 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Розв’язок. Маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Un(x) = |
|
|
|
2n 1 xn 1 |
|
; Un+1(x) = |
|
2n xn |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
(2n 1)2 3n 1 |
(2n 1)2 3n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу ознаки Даламбера заданий степеневий ряд буде збіжним для тих значень, для яких
lim |
Un 1(x) |
= |
lim |
2n | x |n |
|
: |
2n 1 |
| x |n 1 |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Un (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n9/ |
|
|
|
n9/ (2n 1)2 3n (2n 1)2 3n 1 |
|
|
|
||||||||||
= lim |
2n | x | (2n 1)2 3n 1 |
= |
2 |
|
|x| lim |
(2n 1)2 |
= |
2 |
|x| 1 < 1, |
||||||||
n9/ |
|
|
(2n 1)2 3n 2n 1 | x |n 1 |
|
3 |
|
n9/ |
(2n 1)2 |
|
3 |
|
522
Розділ VIII. Ряди
тобто |x| < |
3 |
. Отже, радіус збіжності R = |
3 |
, а інтервал збіжності |
|||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
( |
3 |
; |
3 |
). |
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Тепер з’ясуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності.
В лівому кінці, при х = |
|
3 |
, заданий степеневий ряд перетворюєть+ |
||||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ся в числовий ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 – |
|
1 |
+ |
1 |
– |
1 |
+ ..., |
|
|
||
32 |
52 |
72 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
який збігається за ознакою Лейбніца. В правому кінці, при х = |
3 |
, |
|||||||||
|
|||||||||||
2 |
|||||||||||
одержуємо ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ ..., |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
32 |
52 |
72 |
|
|
який збігається.
Таким чином, заданий степеневий ряд збігається на відрізку
[ 23 ; 23 ].
Приклад 8.24. Знайти область збіжності степеневого ряду
/ (x 8)3n
n 1 n2 .
Розв’язок. Маємо
U = |
(x 8)3n |
; |
U |
= |
(x 8)3n 3 |
. |
|
n2 |
|||||||
n |
|
n+1 |
|
(n 1)2 |
Знайдемо
523
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
|
|
Un 1(x) |
|
|
(x 8)3n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
(n 1)2 |
|
|
|
n2 (x 8)3 |
|
|
3 |
|
n |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n9/ |
|
|
Un (x) |
|
= lim |
|
3n |
|
|
= lim |
|
2 |
|
|
=|x+8| lim |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
n9/ |
|
(x 8) |
|
|
|
n9/ |
|
(n 1) |
|
|
|
n9/ n 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |x + 8|3 1 < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|x + 8|3 < 1, |
|
|x + 8| < 1, –1 < x + 8 <1, |
|
–9 < x < –7. |
|
||||||||||||||||
Дослідимо межі інтервалу. При х = –9 одержуємо числовий зна+ |
||||||||||||||||||||||||
копереміжний ряд з загальним членом a = |
( 1)3n |
= |
|
( 1)n |
, який |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
n2 |
|
збігається згідно ознаки Лейбніца. При х = –7 одержуємо ряд з додат+
ними членами a = |
|
1 |
. Досліджуючи його за інтегральною ознакою |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ dx |
= lim |
/ dx |
= lim ( |
1 |
) |
|
b |
= lim ( |
1 |
+ 1) = 1, |
||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
H1 x2 |
|
n9/ |
H1 x2 |
b9/ |
x |
|
|
1 |
b9/ |
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з’ясуємо, що він збігається. Отже, областю збіжності заданого ряду є відрізок [–9; –7].
8.4.2. Приклади для самостійного розв’язку
8.25. Знайти область збіжності степеневих рядів: а) 10x + 100x2 + ... + 10nxn + ...;
б) x + |
x2 |
x3 |
|
xn |
||
|
+ |
|
+ ... + |
|
+ ...; |
|
20 |
300 |
n 10n 1 |
в) 1 + x + 2!x2 + ... + n!xn + ...;
г) 1 + 2x2 + 4x4 + ... + 2n–1x2(n–1) + ...;
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
||
д) 1 + |
|
|
x + |
|
x2 + ... + |
|
xn + ...; |
|||||
1! |
2! |
n! |
||||||||||
ж) x – |
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
x2n 1 |
||||
|
|
+ |
|
|
– ... + (–1)n–1 |
|
+ ... . |
|||||
|
|
|
|
|
(2n 1) (2n 1)! |
|||||||
|
3 3! |
5 5! |
524