Мат. аналіз (практика)
.pdfЧастина I
Практичнi заняття. 1 семестр.
1
2
Заняття 1. Комплекснi числа
(В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике)
630. Виконати дi¨: |
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1) (2 + 3i)(3 ¡ 2i); 2) (3 ¡ 2i) |
2; 3) 1+i |
(1 + i) |
3; 5) 2i |
||
1¡i ; 4) |
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1+i . |
631.Розв'язати рiвняння:
1)x2 + 25 = 0; 2) x2 ¡ 2x + 5 = 0; 3) x2 + 4x + 13 = 0.
Комплекснi числа зобразити векторами, визначити ¨х модуль та аргумент i записати у тригонометричнiй та експоненцiйнiй формi.
632.1) z = 3; 2) z = ¡2; 3) z = 3i; 4) ¡2i.
633.1) z = 2 ¡ 2i; 2) z = 1 ¡ ip3; 3) z = ¡p3 ¡ i.
636.Побудувати областi точок комплексно¨ площини за умовами:
1)jzj < 3; ¼=2 < ' < ¼;
2)2 · jzj · 4; ¡¼ < ' < ¼=2.
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1.482. Числа z1 òà z2 зобразити в тригонометричнiй та показниковiй формi i |
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виконати над ними вказаíi äi¨: |
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à) |
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z12 |
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p |
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, |
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p |
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; |
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z1z2, z2 |
, ÿêùî z1 |
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z2 |
3i |
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= 2 3 ¡ 2i |
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= 3 ¡ 3 |
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á) z12z¹2, zz¹12 |
, ÿêùî z1 = ¡p |
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+ ip |
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, z2 = p |
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¡ ip |
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. |
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2 |
2 |
8 |
8 |
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+ |
p |
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i, z2 |
= |
p |
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+ |
p |
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i. Знайти z1 |
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* Нехай z1 = 1 |
3 |
2 |
2 |
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2 |
2 |
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2 |
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2 |
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z2 , подiливши числа в алгебра¨чнiй |
та тригонометричнiй формi. Вивеñòè ôîрмули |
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p6 + p2 |
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= |
p |
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¡ p |
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cos |
¼ |
= |
; sin |
¼ |
6 |
2 |
: |
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12 |
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12 |
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4 |
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4 |
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640.Обчислити зà формулою Муавра:
1)(1 + i)10; 2) (1 ¡ ip3)6; 3) (¡1 + i)5; 4) (p3 + i)3.
641.Використовуючи тотожнiсть (cos ® + i sin ®)3 = cos 3® + i sin 3®, виразити
cos 3® òà sin 3® через функцi¨ кута ®. |
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642. |
Знайти всi значення z = p6 |
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i зобразити ¨х на комплекснiй площинi. |
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1 |
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643. |
Çíàéòè: |
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1) p3 i; |
2) p6 ¡1; 3) p3 |
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. |
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¡2 + 2i |
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645. |
Розв'язати рiвняння: |
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1) x3 + 8 = 0; 2) x4 + 4 = 0. |
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*** Вивести формули Ейлера |
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sin ® = |
ei® ¡ e¡i® |
; |
cos ® = |
ei® + e¡i® |
: |
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||||||||
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2i |
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2 |
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3
Заняття 2. Числовi послiдовностi
Записати перших п'ять елементiв послiдовностi:
1.213 xn = 1 + (¡1)n
n .
1.214 xn = n (1 ¡ (¡1)n).
*** xn = cos(¼n).
Знайти найменший (найбiльший) елемент обмежено¨ знизу (зверху) послiдовно-
ñòi:
1.223 xn = 6n ¡ n2 ¡ 5; 1.226 xn = 3n2 ¡ 10n ¡ 14.
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Безпосередньо за означенням границi послiдовностi довести, що |
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1. nlim |
2 |
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= 0; 2. |
nlim |
|
n + 3 |
= +1; 3. |
nlim (3 ¡ n2) = ¡1; |
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n + 3 |
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2 |
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!1 |
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!1 |
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!1 |
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Використовуючи правило про суму, рiзницю, добуток та частку границь, знайти |
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границi: |
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n ¡ 1 |
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5n + 1 |
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(n + 1)2 |
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1.231 |
lim |
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lim |
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lim |
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7 |
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2n3 |
; |
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n!1 |
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3n ; 1.232 n!1 |
¡ |
9n; 1.233 n!1 |
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|
3n |
2 |
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|
3 |
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|
|
3 |
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|||||
1.234 |
lim |
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|
¡ 7n + 1 |
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lim |
(n + 2) ¡ (n ¡ 2) |
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2 ¡ 5n ¡ 6n2 ; |
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n!1 |
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1.235 n!1 |
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95n3 + 39n |
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; |
|
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n!1 |
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|
¡ |
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|
n!1 |
µn2 |
|
|
n2 |
|
|
¢ ¢ ¢ |
|
|
n2 |
¶; |
|||||||
1.238 |
lim (pn + 2 |
|
|
p |
n |
); 1.241 lim |
1 |
|
+ |
2 |
|
+ |
|
+ |
n ¡ 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
n!1 |
µ1 2 + |
2 3 |
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|
¢ ¢ ¢ |
|
|
|
|
n (n + 1) |
¶ |
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|||||||||||||||||||
1.234 |
lim |
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1 |
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|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
1 |
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|
: |
|
|
|
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|
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||||||||
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|
4 |
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|
¢ |
|
|
|
|
¢4 |
|
|
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|
|
¢ |
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lim |
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(3 ¡ n) |
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¡ (2 ¡ n) |
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(1 ¡ n)4 ¡ (1 + n)4 , |
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n!1 |
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4
Заняття 3. Границi числових послiдовностей
Безпосередньо за означенням границi послiдовностi довести, що
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8 |
1; |
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ïðè |
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|
8 |
1; |
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|
ïðè |
a > 1; |
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|
a > 0; |
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|
ïðè |
||||||||||||||||||||||||||||||
1. lim na = |
|
|
1; |
|
|
|
|
ïðè |
|
|
a = 0; |
2. lim an = |
> |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
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|
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|
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|
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|
n |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
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|
|
|
ïðè |
|
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||||||||||||
|
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> |
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|
> |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
a < 1; |
||||||||||||||
|
!1 |
|
|
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|
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!1 |
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|
> |
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> |
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|||||||||
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< |
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0; |
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|
ïðè |
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a < 0; |
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|
< |
@; |
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ïðè |
aj ·j |
¡1: |
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> |
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: |
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> |
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Знайти |
границi числових послiдовностей: |
> |
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
p |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.237 |
nlim |
|
|
|
|
n + 3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
¡ |
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. 1.239 nlim n |
( |
n + 1 ¡ n |
|
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|
¡ 2) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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!1 |
|
3 |
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|
!1 |
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||||||||
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|
2 |
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|
n |
|
|
n |
|
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1.243 |
lim |
|
pn2 sin(n ) |
|
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lim |
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2 |
+ 3 |
. |
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|||||||||||||||||||
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|
|
|
n |
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1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
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||||||||||||||||
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|
n!1 |
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. 1.240 n!1 2 |
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3 |
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||||||||||||||||||
|
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3 |
|
|
8¡ |
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|
|
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4 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
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8 |
|
|
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|
|
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|
||||||
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|
|
|
|
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|
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8 |
+ 3 |
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5 |
|
+ 1 |
|
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||||||||||||||||||
2.29 |
lim |
2p8n ¡ 1 ¡ pn |
|
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|
lim |
|
npn + pn |
|
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n2 |
¡ |
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¡ |
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2 |
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. 2.30 n!1 p4n3 + 2n |
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¡ |
3 . |
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3.29 |
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. 3.30 |
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3 |
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3 |
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p |
n |
2 |
¡ |
3 |
n(n ¡ 4) . |
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nlim pn + 1(pn + 2 ¡ pn ¡ 5) |
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nlim |
pn |
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!1 |
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n |
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n |
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!1 |
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n + 1)! |
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p |
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´ |
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4.29 |
lim |
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! + ( |
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+ 2)! |
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lim |
(3 |
)! + (3 |
³ |
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(3n)! ¡ (3n + 1)!. |
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n!1 (n ¡ 1)! + (n + 2)!. |
4.30 n!1 |
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Знайти границi рацiональних функцiй: |
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1.272 lim |
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x2 |
¡ 2 |
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lim |
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x3 |
+ 7x2 + 15x + 9 |
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x3 + 8x2 + 21x + 18. |
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x!0 |
3x2 ¡ 5x + 1. 6.29 x!¡3 |
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5
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Заняття 4. Границi функцiй |
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1. |
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Обчислити границi: |
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2x2 ¡ 1 |
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12. |
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lim |
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x |
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lim |
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1 |
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1 |
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lim |
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x |
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2) ¡ x2 |
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x2 + 1 . |
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1(0; |
1) 1 |
¡ |
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x. 11. x |
! |
2 x(x |
¡ |
¡ |
3x + 2. 9. x |
!1 |
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! |
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¡ |
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4 |
¡ 5x |
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3 |
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3x + 1 |
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x |
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x |
+ x |
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1.288 lim |
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lim |
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lim |
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x!1 5x + p3 x. 7. x!1 x2 |
¡ 3x + 1. 8. x!1 x4 ¡ 3x2 + 1. |
|
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x!1 µ2x2 |
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1 ¡ |
2x + 1¶ |
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x!¡8 |
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|
¡ |
2 + p3 x |
|
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|
. |
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10. lim |
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x3 |
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|
x2 |
|
|
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. 7.29 lim |
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10 |
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|
x ¡ 6p |
1 ¡ x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
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|
¡ |
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7.30 lim |
p1 + x ¡ 1 |
|
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lim |
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px ¡ 1 ¡ 3 |
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lim |
(x ¡ 1)p2 ¡ x |
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x!0 |
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|
x |
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. 1.289 x!10 |
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|
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|
x |
¡ |
10 |
|
. |
13. x!1 |
|
|
|
x2 |
¡ |
1 . |
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2 |
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x!1 |
px |
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1 |
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pn2 + 1 + n |
¢ . |
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p3 x2 |
¡¡ 1. 18. n!1 ¡ |
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p3 n6 |
+ 1 |
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17. lim |
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lim |
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2. |
|
Використовуючи першу важливу границю, довести, що: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
tg x |
|
= 1, |
|
|
|
|
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lim |
arcsin x |
|
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= 1, |
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lim |
arctg x |
= 1. |
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x!0 |
x |
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x!0 |
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x |
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x!0 |
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|
x |
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3. |
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Використовуючи першу важливу границю, обчислити границi: |
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1.303 lim |
sin 3x |
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lim |
sin 7x |
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lim x ctg ¼x. |
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x!0 |
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x |
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. 1.304 x!0 |
tg 3x . |
|
1.305 x!0 |
|
|
|
|
1 ¡ cos2 x |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.306 lim |
arcsin 3x |
|
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lim |
1 ¡ cos 2x |
|
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lim |
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x!0 |
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4x . |
1.307 x!0 |
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|
|
|
x2 . |
322 x!0 |
|
x sin 2x . |
|
|
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325. lim |
tg x ¡ sin x |
|
|
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|
lim |
1 ¡ sin x |
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lim |
sin 3x |
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4. |
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x3 |
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|
|
n+1 |
|
|
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|
¡ |
|
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¢n4 |
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x!0 |
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. 328. x!¼2 |
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¼2 ¡ x 2 . 330. x!¼ sin 2x. |
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|
n!1 |
Використовуючи другу важливу границю, обчислити границi: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
µ |
2n + 1 |
¶ 2 |
|
|
|
|
n!1 µ |
|
|
|
n¡2 |
|
|
¶ . |
|
|
|
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|
|
|
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1. |
lim |
|
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|
2n + 3 |
|
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|
|
|
|
|
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. 2. |
lim |
|
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n2 |
1 |
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µx2 |
¡ 2¶ |
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|
¶ |
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|
. |
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x!1 |
x |
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x!1 µx ¡ 1 |
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x2 |
+ 1 |
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x + 3 |
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2x+1 |
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|||||||||||||||||||||
3. |
lim |
|
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|
. |
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4. lim |
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6
Заняття 5.
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Нехай lim u(x) = 1 i lim v(x) = |
1 |
. Òîäi |
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x!a |
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x!a |
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lim(u(x) |
¡ |
1)v(x) |
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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lim u(x)v(x) = ex!a |
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|
: |
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|||||||||||||||||
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x!a |
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||
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Використовуючи цю формулу, обчислити: |
|
¶ |
; |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x!1 µx2 |
¡ 5x + 5¶ |
|
|
|
; |
|
|
x!1 µ |
|
|
x3 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
lim |
|
|
x2 |
|
|
6x + 5 |
3x+2 |
|
2. |
lim |
|
x3 |
+ x + 1 |
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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¡ |
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|||||||
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x+2 |
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|||||||
3. |
lim |
|
|
7x |
2 |
+ 18x ¡ 15 |
|
|
|
|
; |
1.322 lim (cos x)x2 |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x!1 µ |
|
|
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|
¶ |
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1 |
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|
|
|
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|||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
x!0 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 + 11x + 15 |
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
Використовуючи границi |
|
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ln(1 + x) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
loga(1 + x) |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||
|
x!0 |
a |
x |
|
|
x |
|
|
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|
|
ln a; зокрема x!0 |
|
|
|
|
|
e |
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
lim |
|
¡ 1 |
= ln a (a > 0), зокрема lim |
|
|
¡ 1 |
= 1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
x |
|
|
|
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x!0 |
|
|
|
|
x |
|
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||||||||
|
lim |
(1 + x)a ¡ 1 |
= a |
|
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|
x!0 |
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|
|
x |
|
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обчислити: |
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4. lim |
ax |
|
¡ ab |
|
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lim |
ax ¡ ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
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|
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|
|
e®x ¡ e¯x |
|
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||||||||||||||||||||||||
x |
|
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|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
x!b |
¡ |
b ; |
|
|
|
|
5. x!b |
|
|
|
x |
¡ |
a ; |
|
|
|
6. x!0 |
|
|
sin(®x) |
|
¡ |
sin(¯x); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. lim |
1 ¡ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 ¡ cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
¡ 1 |
|
|
|
m = n; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
log2 x; |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x!0 |
8. |
|
x!0 |
ex2 |
¡ |
1 ; |
|
|
|
9. x!1 |
|
|
xn |
¡ |
1 , |
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1=n |
¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|||||||
10. |
lim |
|
2 |
|
|
|
|
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|
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|
lim x(ln(2 + x) |
¡ |
|
ln x). |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
21=n |
+ 1; |
|
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n!1 |
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1.324 n!1 |
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|
Показати, що не iснують такi границi: |
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1.335. |
|
xlim cos |
x; |
1.337. |
xlim |
x |
¡ [ |
x |
; |
|
|
|
lim cos |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x. |
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|
|
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|
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|
|
] |
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
!1 |
|
|
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|
!1 |
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|
|
! |
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||||||
|
Знайти одностороннi границi: |
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|||||||||||||||||||||||||||
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1.338. |
|
|
lim |
|
|
x ¡ 3 |
|
|
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|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
2 + x |
|
|
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|
lim (2 + x)1=x; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
|
x2 ; |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x!3§0 |
|
j |
x |
¡ |
3 ; |
|
|
|
1.339. x!2§0 |
¡ |
|
|
1.340. x!§0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
j |
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|
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x |
2 |
|
||||||||
|
1.342. |
|
|
lim |
arctg x; |
|
|
|
1.343. |
lim [1=x]; |
|
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|
|
1.345. lim |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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cos2 x ¡ 1. |
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x!§1 |
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x!§1 |
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|
|
x!2¼§0 |
7
Заняття 6.
1.Порiвняти нескiнченно малi:
(a)®(x) = ex ¡ cos x i ¯(x) = arcsin 5x ïðè x ! 0;
(b)®(x) = ax ¡ a2 i ¯(x) = (x ¡ 2)a2 ln a ïðè x ! 2;
(c)®(x) = tg x3 i ¯(x) = 2x ¡ 1 ïðè x ! 0;
(d)®(x) = (x + a)3 ¡ a3 i ¯(x) = 1 ¡ cos x ïðè x ! 0;
2.Замiнити нескiнченно малу еквiвалентною, але простiшою:
(a)®(x) = e3x ¡ 1 ïðè x ! 0;
(b)®(x) = sin(x + arctg x) ïðè x ! 0;
(c)®(x) = arcsin x2 + sin x ïðè x ! 0;
(d)®(x) = ln(1 + px) ïðè x ! 0;
(e)®(x) = ex2 ¡ 1 ïðè x ! 0;
Замiняючи нескiнченно малi еквiвалентними, але простiшими, обчислити гра-
íèöi: |
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|
x |
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|
||
|
arcsin |
p |
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1 ¡ x |
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||||
a) lim |
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|||||
1¡x2 |
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lim |
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|||||||
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|||||||
x!0 |
ln(1 ¡ x) |
; |
|
(b) x!1 |
lg x ; |
2 |
|
||||||
(c) lim |
cos x ¡ cos 2x |
|
lim |
|
arctg x |
|
|
||||||
|
arcsin 3x ¢ sin x2 . |
||||||||||||
x!0 |
1 ¡ cos x |
; |
(d) x!0 |
Дослiдити функцi¨ на неперервнiсть:
(a)1.387.
(b)1.388.
(c)1.389.
(d)1.391.
(e)1.392.
(f)1.393.
(g)1.399.
f(x) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2(x ¡ 1); |
|
|
|
|
|
||||||
f(x) = |
|
j3x ¡ 5j |
|
|
|
|
|
|
|||
3x ¡ 5 ; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f(x) = |
|
(1 + x)n ¡ 1 |
n |
2 N |
; |
||||||
|
|
|
|
x |
, |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
f(x) = 1 ¡ x sin |
|
; |
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|||||||
f(x) = 3 |
x |
|
|
|
|
|
|||||
4¡x2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||
f(x) = (x + 1) arctg |
1 |
|
|
|
|||||||
|
; |
|
|
||||||||
x |
|
|
|||||||||
f(x) = |
8 2x; |
¡1 · x < 1; |
|||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
> x ¡ 1; 1 < x · 4; ; |
||||||||||
|
> 1; |
|
|
|
x = 1: |
|
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Заняття 7.
Знайти похiднi вiд функцiй:
|
|
|
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2 |
4 |
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1 |
|
|
|
1 |
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1 |
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x2+1 |
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||||||||
5.21. y = 3 ¡ 2x + |
|
3 x |
; |
5.23. y = x |
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
5.25. y = x3¡x ; |
|
|
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x2 |
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x3 |
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2+p |
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p |
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+ 1 ; |
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||||||||||
5.31. |
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2 |
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1 |
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2 |
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1 |
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|||||||||||||||||||
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x ¡ 1) |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
y = |
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|
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|
|
|
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|
|
|
x ; |
|
5.32. y = 2 |
|
|
|
p |
|
|
; |
|
|
|
5.33. y = ( |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
3¡ |
¡ |
|
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|
|
¡ |
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³ |
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´ |
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||||||||||||||||||
|
|
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2 |
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4 |
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3 |
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|
3 |
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|
|
2 |
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
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4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
4 |
|
3 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.34. y |
= 3 |
px |
|
|
¡ 2 |
px |
|
; |
5.35. y |
= 3 |
px |
|
|
+ 6 |
px |
|
px |
; |
5.36. y |
= |
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
px3 |
¡ px2 ; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
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tg x |
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|
|
³ |
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cos x´ |
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|
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|
|
|
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|
||||||||||
5.37. y |
= |
x3 |
ctg |
x; |
|
5.38. y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
px |
sin |
x; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+sin x ; |
|
5.40. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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px2 ; |
5.39. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.41. y = xp3 |
|
|
|
(2 ln x + 3x); |
|
5.42. y = 3x2 log2 x + |
x3 |
|
|
5.43. y = 2 sin x ¡ 3 tg x; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ex |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.44. y = sin x¡cos x |
|
|
|
|
|
|
y = x3=2p3 |
|
|
|
|
|
5.47. y = sin |
|
2 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x5 + a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 6 cos |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5.45. |
|
|
|
3x ; |
|
5.48. |
|
2 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x+cos x ; |
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
5.49. y = (1 + 4x2)3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.52. y = p |
|
¡ p |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5.50. y = 4 (1 + 3x2)3; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + sin 4x |
1 ¡ sin 4x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.53. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
; |
|
5.56. |
|
|
|
|
|
2 |
e |
|
2x |
; |
|
|
|
5.57. |
|
|
|
|
|
|
|
x=3 |
|
2 |
|
|
|
; 5.60. |
|
|
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|
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|
1+x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y = x arcsin ln x |
|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y = e |
|
|
|
|
cos |
|
|
3x |
|
y = ln |
1¡x2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y =p |
¡ |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.69. y = 2 |
|
x |
|
|
; |
|
|
|
5.71. y = 32x |
; |
|
|
|
5.72. |
y = ln x ¢ lg x ¡ ln a ¢ loga x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
q |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.73. y = log2 ln 2x; |
|
5.75. y = ln arctg p |
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. |
|
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|
1 + x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти похiднi вiд степеíåво-показникових функцiй: |
|
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3 |
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5.88. y = (ln x)1=x; |
|
5.89. y = (sin x)arcsin x; |
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5.86. y = x2x ; 5.87. y = (px)px; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.90. y = xx |
x ; |
|
|
|
5.91. |
y = |
|
(ln x)x |
5.92. y = xx |
2 |
+ x2 |
x |
+ 2x |
x . |
|
|
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xln x ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти похiднi, використовуючи |
попередн¹ |
логарифмування: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3)2(2x |
1) |
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3 |
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|
(x+2)(x 1)2 |
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|||||||||||||||||||||||||
5.81. y = (x¡(x+1)3¡ |
|
; |
|
5.82. y = q |
|
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x3 |
¡ . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знайти похiднi неявно заданих функцiй: |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.144. x3 |
¡ |
|
2x2y2 + 5x + y |
¡ |
5 = 0, |
|
|
|
|
y(1) = 1, |
|
|
y0 |
(1) ?; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.146. |
x2 |
|
|
y2 |
|
|
= 1, |
|
|
y0 |
|
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x |
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|||||||||||||||
|
+ |
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|
|
?; |
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||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
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||||||||||||||||||||||
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a |
|
|
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|
b |
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|
x |
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||
5.147. x4 + y4 = x2y2 |
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yx0 |
?; |
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||||||||||||||||||||||||
5.151. sin(xy) + cos(xy) = 0, |
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yx0 |
?. |
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9 |
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Заняття 8. |
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|||
Знайти похiдну yx0 |
, як похiдну неявно задано¨ функцi¨ i як похiдну обернено¨ |
||||||||||||||||||||||
функцi¨. |
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5.145. ey + xy = e, |
y(0) = 1, |
|
yx0 (0) ?; |
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|
|||||||||||||
5.149. 2y ln y = x, |
yx0 |
?. |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Знайти похiднi функцiй, заданих параметрично: |
|||||||||||||||||||||||
5.168. x = 2t, |
|
y = 3t2 ¡ 5t, |
t 2 (¡1; +1); |
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.171. x = 2¡t, |
y = 22t, |
t |
2 |
( |
¡1 |
; + |
1 |
); |
|
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||||||||
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||||||
5.173. x = tg t, |
y = sin 2t + 2 cos 2t, |
|
t 2 (¡¼2 ; ¼2 ); |
|
|
|
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||||||||||||||||
5.175. x = ln(1 + t2), |
|
y = t ¡ arctg t, |
|
t 2 (0; +1); |
|
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|
|||||||||||||||
5.177. x = arcsin(t2 ¡ 1), |
|
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t |
|
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t 2 (0; p |
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y = arccos |
, |
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2). |
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|||||||||||||||||
2 |
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Знайти похiднi функцiй: |
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5.117. y = ln jxj; |
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5.120. y = j arctg xj; |
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5.122. |
y = ( |
1 ¡ x; |
x · 0; |
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e¡x; x > 0: |
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Знайти похiднi другого порядку вiд функцiй: |
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5.184. y = cos2 x; |
5.185. y = arctg x2; |
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5.186. y = log2 p3 |
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; |
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1 ¡ x2 |
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|
2 ; |
5.188. |
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arcsin x |
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p |
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. |
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x |
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5.187. y = e¡x |
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y = p |
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; |
5.189. y = x |
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1¡x2 |
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Використовуючи формулу Лейбнiца, знайти вказанi похiднi: |
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5.208. y = (x2 + x + 1) sin x, y(15) |
?; |
|
5.209. y = (x2 ¡ x)ex, y(20) ?; |
||||||||||||||||||||
5.210. y = sin x ¢ e¡x, y(5) |
?; |
|
5.211. y = x log2 x, y(10) ?. |
10
Заняття 9.
1. |
Написати рiвняння дотично¨ i нормалi до графiка функцi¨ y = f(x) â äàíié òî÷öi, |
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ÿêùî: |
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5.235. y = x2 ¡ 5x + 4, x0 = ¡1; 5.237. y = p |
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, x0 = 4; 5.238. y = tg 2x, x0 = 0. |
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x |
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2. |
Знайти диференцiали вказаних функцiй при довiльному значеннi аргумента x i |
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при довiльному його приростi dx: |
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5.285. y |
= xp |
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+ a2 arcsin xa ¡ 5; |
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5.286. y |
= sin x ¡ x cos x + 4; |
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a2 ¡ x2 |
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|||||||||
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5.287. y |
= x arctg x ¡ ln p |
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; |
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5.288. y |
= x ln x ¡ x + 1; |
||||
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1 + x2 |
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|||||||||
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5.289. y = x arcsin x + p |
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¡ 3. |
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|||||
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1 ¡ x2 |
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3.Використовуючи диференцiали, приблизно обчислити:
5.298. a) arcsin 0; 05; á) arctg 1; 04; b) ln 1; 2.
4.Знайти диференцiали другого порядку вiд функцiй:
5.303. y = a sin(bx + c). |
5.304. y = 3¡x2 . |
5.305. y = sinx x . |
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5.306. |
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2 |
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. |
5.307. |
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1 |
p |
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|
. |
y = ax |
+ bx + c |
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2 |
arcsin x |
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y = x2¡3x+2 . 5.308. y = |
1 ¡ x |
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5.309. y = ln(x + p |
|
). 5.310. y = arcsin(a sin x). |
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|||||||
1 + x2 |
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