Metodichka_liniyna_algebra
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ДЛЯ СТУДЕНТІВ ІНЖЕНЕРНО-ТЕХНІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ
Затверджено на засіданні кафедри вищої математики Протокол № 9 від 19.05.2014 р.
Львів 2014
Лінійна алгебра та аналітична геометрія. Завдання та методичні вказівки до розрахунково-графічної роботи для студентів інженерно-технічних спеціальностей / Укл.: І.В. Андрусяк, Д.М. Білонога, О.Я. Бродяк, У.В. Жидик, І.П. Кшановський, О.М. М’яус, Т.М. Сало, М.І. Сорокатий. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2014. − 96 с.
Укладачі |
Андрусяк І.В., канд. фіз.-мат. наук, ст. викл, |
|
Білонога Д.М., канд. фіз.-мат. наук, доц., |
|
Бродяк О.Я., канд. фіз.-мат. наук, доц., |
|
Жидик У.В., канд. фіз.-мат. наук, доц., |
|
Кшановський І.П., канд. фіз.-мат. наук, доц., |
|
М’яус О.М., канд. фіз.-мат. наук, ст. викл, |
|
Сало Т.М., канд. фіз.-мат. наук, доц., |
|
Сорокатий М.І., канд. фіз.-мат. наук, доц. |
Відповідальний |
Олексів І.Я., канд. фіз.-мат. наук, доц. |
за випуск |
|
Рецензент |
Сухорольський М.А., д-р. фіз.-мат. наук, проф. |
2
Зразок виконання завдань розрахунково-графічної роботи
Завдання 1. Обчислити визначники:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
- 2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
- 4 |
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а) D = |
|
4 -1 0 |
|
, |
|
|
б) D = |
|
2 - 3 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
1 |
|
|
8 |
- 5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
- 2 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Розв’язання. а) |
Обчислимо |
визначник |
D = |
|
4 |
-1 |
0 |
|
за правилом |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
трикутника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
2 |
6 |
|
= 1× (- 1)× 5 + 4 × 2 × 6 + 2 × 0 ×1 - (1× (- 1)× 6 + 1× 2 × 0 + 4 × 2 × 5)= 43 - 34 = 9 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 -1 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Розкладемо визначник за п’ятим рядком |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
- 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
- 2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D = (-2)(-1)5+2 × |
|
2 |
- 4 |
4 |
|
|
1 |
|
= 2 × |
|
2 |
|
|
- 4 |
4 |
|
|
1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
8 |
|
|
- 5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
8 |
|
- 5 |
|
|
Винесемо із першого і третього рядка множник 2 .
|
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
||||||
D = 2 × 2 ×2 × |
|
2 |
- 4 |
4 |
1 |
|
. |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
5 |
1 |
8 |
- 5 |
|
|
Розкладемо тепер визначник за елементами першого рядка.
|
|
|
|
2 |
- 4 |
1 |
|
|
|
2 |
- 4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
×(-1)1+3 |
× |
|
|
|
|
|
+ (-1)1+4 × |
|
|
|
|
|
|
= |
D = 8 × (-1) |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
5 |
1 |
- 5 |
|
|
|
5 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- 4 |
1 |
|
|
|
2 |
- 4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
= 8 × |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
. |
||
|
|
|
5 |
1 |
- 5 |
|
|
|
5 |
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчисливши визначники третього порядку, отримаємо
3
|
|
|
|
|
|
|
D = 8 ×(56 -10) = 368. |
|
||||||
Завдання 2. Знайти матрицю |
X |
з матричного |
рівняння A × X + B = A2 , |
|||||||||||
|
|
− 4 |
1 |
B = |
17 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
якщо A = |
− 1 |
, |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язок має вигляд: X = A−1 ( A2 − B) . |
|||
Розв’язання. Маємо AX = A2 |
− B. |
|||||||||||||
Обчислимо A2 |
− B = |
− 4 |
|
1 |
− 4 1 |
− |
17 1 |
− 2 |
− 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
−1 |
|
0 |
− 1 0 |
|
5 |
1 |
−1 |
− 2 |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A−1 = |
|
, тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 4 |
|
|
|
|
0 − 1 |
|
− 2 − 5 |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
X = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− 1 − 2 |
2 |
3 |
x1 + 2x2 + 2x3 |
|
= 15; |
|||
Завдання 3. Розв’язати систему |
2x1 + x2 − 2x3 |
= 6; лінійних алгебраїчних |
|||
|
2x − 2x |
2 |
+ x |
3 |
= 9 |
|
1 |
|
|
рівнянь трьома способами: а) методом Крамера; б) методом Гаусса; в) матричним методом.
Розв’язання. а) Метод Крамера. Знаходимо визначник системи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
1 |
− 2 |
= −27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обчислюємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
15 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
15 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 = |
|
6 |
1 |
− 2 |
|
= −135; |
|
|
2 = |
2 |
6 |
− 2 |
|
= −54; |
3 = |
|
2 |
1 |
6 |
|
= −81. |
||||||
|
|
9 − 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 − 2 9 |
|
|
||||||
За правилом Крамера x |
|
= |
i |
, |
i = 1,2,3, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = −135 |
= 5; |
|
x |
= −54 = 2; |
x |
= |
−81 |
= 3. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
−27 |
|
|
|
2 |
−27 |
3 |
|
−27 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Відповідь: x1 = 5; x2 = 2; x3 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) Метод Гаусса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Зведемо розширену матрицю до східчастого виду: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
1 2 |
2 |
15 |
1 2 |
2 |
|
15 |
1 2 |
2 |
15 |
||||||||
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
- 3 |
- 6 |
|
|
|
|
- 3 |
- 6 |
|
|
2 |
1 |
6 ~ 0 |
|
- 24 ~ 0 |
- 24 . |
||||||||||||
|
2 |
- 2 |
1 |
9 |
|
|
0 |
- 6 |
|
|
|
|
0 |
0 |
9 |
27 |
|
|
|
|
- 3 |
|
- 21 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишемо систему, яка відповідає східчастій матриці
x1 + 2x2 |
+ 2x3 = 15; |
|
- 3x2 - 6x3 = -24; |
||
|
9x3 |
= 27; |
|
і є еквівалентною до початкової системи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
З останнього рівняння обчислимо x3 |
= 3; з другого рівняння знайдемо x2 : |
||||||||||||||||||||
− 3x2 = −6 ; x2 = 2 . А тепер, з першого рівняння x1 |
= 5. |
|
|||||||||||||||||||
в) Матричний спосіб. Запишемо задану систему рівнянь у вигляді |
|||||||||||||||||||||
матричного рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 x1 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A× X = B. |
||
2 |
1 |
- 2 x2 |
= |
|
6 , |
тобто |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
- 2 1 x3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Розв’язок цього рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо A−1. |
|
|
|
|
X = A−1 × B. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A−1 = |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
- |
|
2 |
|
. |
|
|||||
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
- |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
2 15 |
|
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X = |
|
2 |
|
1 |
|
- 2 |
× 6 |
|
= |
2 . |
||||||||||
|
9 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 9 |
|
|
3 |
Завдання 4. |
Дослідити системи |
лінійних |
рівнянь на сумісність та |
||||||
розв’язати їх у випадку сумісності: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + 3x3 + x4 = 6; |
2x1 + 3x2 − 4x3 = 1; |
|||||||
|
|
|
+ 5x3 = 4; |
||||||
|
2x1 - x2 + x3 + x4 = 5; |
x1 − 2x2 |
|||||||
а) |
б) |
3x + 2x |
|
+ x |
|
= 6; |
|||
|
|
|
2 |
3 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
||||
7x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 = 10; |
|
3x + x |
|
+ x |
|
= 11. |
|||
|
|
2 |
3 |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5
Розв’язання. а) Випишемо розширену матрицю системи і зведемо її до східчастого вигляду
|
1 0 |
|
3 |
1 |
6 |
|
|
1 0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
6 |
1 |
0 |
3 |
|
|
1 |
|
6 |
||||||||||||
~ |
|
−1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
− 5 − |
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
−1 − 5 −1 |
|
|
|||||||||||||||||||
A = 2 |
5 ~ 0 |
|
|
|
|
|
|
7 ~ 0 |
|
− 7 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 3 |
2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
− 24 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 − 34 − |
|
|
|
|||||||||||||||
|
7 2 |
|
|
|
|
0 2 |
|
5 |
|
− 32 |
0 |
7 |
|
− 46 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матриць. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Знайдемо |
ранги |
|
основної |
|
|
та |
|
|
розширеної |
Оскільки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
то система сумісна. Вона має безліч розв’язків, |
бо ранг |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
rang A = rang A = 3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
менший, ніж кількість невідомих. Запишемо відповідну систему |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3x |
|
+ x |
|
= 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 5x3 + x4 = 7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 7x |
4 |
= 46. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
За базові невідомі виберемо x1 , x2 |
і x3 , а невідому x4 |
за вільну. Отримаємо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
66 −13x4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 + x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
46 − 7x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
де x4 R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) Зведемо до східчастого вигляду розширену матрицю системи |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 − 4 |
|
1 |
1 |
|
|
− 2 |
|
|
|
5 |
|
4 |
1 |
− 2 5 |
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 2 5 |
|
|
|
|
|
|
7 −14 |
|
− |
|
|
|
|
1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
~ 1 |
|
4 |
0 |
|
|
|
7 |
0 |
|
−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
8 −14 |
|
− |
|
~ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
6 |
|
0 |
|
|
|
6 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
|
11 |
|
0 |
|
|
7 −14 |
|
−1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Бачимо, |
|
|
= 4 , а |
rang A = 3. |
|
Отже, |
за теоремою Кронекера- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
що rang A |
|
Капеллі система несумісна.
Завдання 5. Знайти скалярний добуток векторів m = 2a + b і n = a − 3b , косинус кута між ними, прb m та напрямні косинуси вектора b , якщо a (3;−4) ; b (−1;−2) .
Розв’язання. Обчислимо координати векторів m та n , використовуючи властивості додавання векторів та множення вектора на число. Тоді m = 2(3;−4)+ (−1;−2) = (5;−10), а n = (3;−4)− 3(−1;−2) = (6;2). Скалярний добуток:
6
m × n = 5 ×6 -10 ×2 = 10 .
Нехай ϕ − кут між векторами m та n . Тоді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
125 × |
|
|
40 5 |
2 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Визначимо довжину вектора |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
1 + 4 |
|
5 . Обчислюємо проекцію |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
на вектор |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 × (-1) - |
10 × (- 2) |
= |
15 |
|
= 3 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Нехай вектор |
|
|
утворює з координатними осями Oх та Oу кути |
α і b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
відповідно. Тоді напрямні косинуси вектора |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos a = |
|
|
|
bx |
= |
-1 |
|
|
|
|
|
cosb = |
by |
= |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Завдання 6. |
Сили |
|
|
(2;-4;4), |
F2 (- 3;2;1), |
F3 (2;3;-1) |
прикладені |
до |
точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(0;1;3). Обчислити роботу, яку виконує рівнодійна цих сил при переміщенні |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матеріальної точки вздовж відрізка прямої від точки A до точки B(1;2;5). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
Спочатку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знайдемо |
|
рівнодійну |
заданих |
сил: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
+ |
|
F3 = (1;1;4) та вектор переміщення |
|
|
|
|
|
(1;1;2). Робота, яку виконує |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
F1 |
F2 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рівнодійна заданих сил: A = |
|
× |
|
|
= 10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Завдання 7. |
Знайти момент |
|
|
сили |
|
|
|
|
|
|
(5;2;7), |
|
|
|
прикладеної |
до |
точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(2;1;−3), відносно точки B(4;2;5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Розв’язання. Знайдемо спочатку вектор |
|
|
|
(- 2;-1;-8), а потім момент |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
BA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сили: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
k |
|
= 9i - 26 j + k = (9;-26;1) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ( |
|
) = |
|
´ |
|
|
|
= |
-2 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
-8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Завдання 8. Задано дві трійки векторів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а) |
e1(1; −1;5), |
e2 (5;1;−1), |
e3 (−2; −1;3) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
e2 (2;3;−1), |
e3 (−1;1; −1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1(1; 2;1), |
Визначити, яка з трійок утворює базис та обчислити координати вектора a (-3;-1;3) у цьому базисі.
Розв’язання. Три некомпланарні вектори утворюють базис в просторі. Умовою компланарності векторів є рівність нулеві мішаного добутку цих векторів. Тому із двох трійок векторів a) і б) потрібно вибрати ту, де мішаний добуток відмінний від нуля.
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) ( |
|
|
|
|
2 , |
|
|
|
3 ) = |
|
5 |
1 |
-1 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e1 , |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
-1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) ( |
|
|
|
|
2 , |
|
3 ) = |
|
2 |
3 -1 |
|
= 9 ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
e1 , |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отже базис утворює трійка векторів б). Запишемо розклад вектора |
|
за |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
базисом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e1 , e2 , e3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= λ1 |
e1 + λ2 |
|
|
|
2 + λ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
λ1 , λ2 , λ3 є координатами вектора |
|
|
|
|
|
|
в базисі |
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
3 . |
Для їхнього |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
e1 , |
e |
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаходження запишемо цю рівність покомпонентно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 = λ1 + 2λ2 − λ3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 = 2λ1 + 3λ2 + λ3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 = λ1 |
− λ2 − λ3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Розв’язавши цю систему рівнянь, наприклад за методом Крамера, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 = 2; λ2 = −2; λ3 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином розклад вектора |
|
|
за базисом |
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
|
3 |
має вигляд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
e1 , |
e |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
e1 − 2 |
|
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
e |
e3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Завдання 9. Точки A1 (1;2;3), A2 (− 2;4;1), A3 (7;6;3), A4 (4;−3;−1) є вершинами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
піраміди. Обчислити: |
а) |
площу |
|
грані |
A1 A2 A3 ; б) |
|
об'єм піраміди; в) висоту |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
піраміди, проведену з вершини A4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Сформуємо вектори |
|
, |
|
|
|
і |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 A2 |
A1 A3 |
A1 A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(−2 − 1;4 - 2;1 - 3) = (−3;2;−2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
(7 − 1;6 − 2;1 − 3) = (6;4;0) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A1 A2 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 A3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (4 − 1;−3 − 2;−1 − 3) = (3;−5;−4) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Площу |
|
грані A1 A2 A3 можемо |
розглядати |
|
|
як |
площу |
трикутника, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
побудованого на векторах |
A1 A2 |
і |
A1 A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S= 1 A1 A2 ´ A1 A3 . 2
Тому, спочатку знаходимо векторний добуток
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
k |
|
|||||
|
´ |
|
= |
- 3 |
2 |
- 2 |
= 8i -12 j - 24k , |
||||||
A1 A2 |
A1 A3 |
||||||||||||
|
6 |
4 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
обчислюємо |
його |
довжину |
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
82 + (-12)2 + (- 24)2 |
|
= 28 , |
|
звідки |
||||||||||||||||
|
A1 A2 |
A1 A3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
шукана площа грані SA A A =14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
За допомогою мішаного добутку векторів: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
2 |
- 2 |
|
= 180 , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
( |
A1 A2 |
, |
A1 A3 |
, |
|
A1 A4 |
) = |
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
- 5 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
знаходимо об'єм піраміди : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
= |
|( |
A A |
, |
A A |
, |
|
A A |
)|=30. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
піраміди |
6 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З іншого боку, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vпіраміди |
= |
1 |
Sоснови × H , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де Sоснови − площа грані A1 A2 A3 , а Н − висота піраміди, проведена з вершини A4 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
яку потрібно відшукати. Тому H = |
3×Vпіраміди |
= 6 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sоснови |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Завдання 10. |
Точки A(− 5;5), B(9;−2), C(5;11) |
|
є вершинами трикутника |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ABC, а точки P і Q ділять сторону AB цього |
|
трикутника, |
починаючи з |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вершини A, |
на три частини так, що кожна наступна частина вдвічі коротша за |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
попередню. Написати: а) рівняння прямої CP ; б) рівняння прямої, що |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проходить через точку |
|
Q паралельно до сторони AC ; |
в) рівняння висоти, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
опущеної з вершини A ; |
|
г) обчислити довжину медіани AМ . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Для знаходження координат точок P і Q |
схематично |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зобразимо відрізок AB : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
Q |
B |
|
|
|
|
|||||||||
За умовою відрізок PQ вдвічі коротший за відрізок AB, а QB вдвічі |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коротший за PQ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Позначимо довжину відрізка QB через |
|
x , |
тоді довжина |
відрізка PQ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дорівнює 2х, а довжина відрізка АP дорівнює 4х. Тому |
| AP | |
= lP = |
4 |
, |
тобто |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| PB | |
3 |
|
|
точка P ділить відрізок АВ у відношенні |
4 |
. Знаходимо координати точки |
|
||
3 |
|
|
P : |
|
9
|
|
|
|
xA + lxB |
|
|
|
- 5 + |
4 |
× 9 |
|
|
|
|
|
|
yA + lyB |
|
5 + |
4 |
× (-2) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
xP = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 3; |
|
yP = |
|
= |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
= 1. |
||||||||||||||
|
|
|
1 + l |
|
1 + |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 + l |
1 + |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отже, точка P(3;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Для знаходження координат точки Q обчислюємо спочатку відношення |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| AQ | |
= lQ = 6 . |
Точка |
Q |
|
ділить |
відрізок АВ у відношенні 6:1. |
Знаходимо |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| QB | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
координати точки Q: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yA + λyB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
xQ = |
xA + lxB |
= - 5 + 6 × 9 = 7 ; yQ |
= |
= |
5 + 6 × (-2) |
= -1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + l |
|
|
|
1 + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + l |
|
1 + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Отже, точка Q(7;−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) Рівняння прямої CP запишемо, як рівняння прямої, що проходить через |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дві задані точки |
|
x − xC |
|
= |
|
y − yC |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
yP − yC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
xP − xC |
|
|
x − 5 |
|
|
y − 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 5 |
|
1 − 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
або, після перетворень, 5x − y − 14 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
б) Щоб записати рівняння прямої, що проходить через точку Q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
AC , знайдемо |
спочатку вектор |
|
(10;6), який є |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
паралельно до |
сторони |
AC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
напрямним вектором цієї прямої, |
і запишемо канонічне рівняння прямої на |
площині вигляду x − xQ = y − yQ :
mn
x − 7 = y + 1 , або, після перетворень, 3x − 5 y − 26 = 0 .
10 |
6 |
||
в) Для того, |
щоб записати рівняння висоти, опущеної з вершини A |
||
знайдемо вектор |
|
|
(- 4;13) та запишемо загальне рівняння прямої: |
|
BC |
− 4( x + 5) + 13( y − 5) = 0 або 4x − 13y + 85 = 0 .
г) Для визначення довжини медіани AМ обчислюємо координати точки М,
як середини відрізка BC за формулами |
xM |
= |
xB + xC |
, yM = |
yB + yC |
: |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
9 + 5 |
|
|
= - 2 + 11 = 4,5 ; |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
|
= |
= 7 , |
|
отже, M (7;4,5) . Тоді |
|
|
(12;-0,5) та |
|||||||
xM |
yM |
|
AM |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
знаходимо його довжину AM = 144,25 ≈ 12 .
10