Lection17
.docxЛекция «Методы интегрирования простейших функций»
#1. Интегрирование методом замены переменных.
В некоторых случаях, при вычислении неопределенного интеграла, невозможно сразу применить формулу из таблицы интегралов или свести вычисление интеграла к простейшим интегралам. В этих случаях необходимо применять различные приемы и методы вычисления интегралов. Одним из таких методов и, вероятно, самым распространенным, есть замена переменных в неопределенном интеграле. Этот метод заключается в следующем. Предположим, надо вычислить интеграл
Подбираем функцию и подставляем ее в интеграл, учитывая что .
Правильно подобрав функцию , можно добиться того, что полученный интеграл будет табличным.
Пример. Вычислить интеграл
Сделаем замену , После такой замены интеграл примет вид.
Замечание. Часто, при вычислении интеграла, подбирается функция . Это делается в том случае, если интеграл имеет вид
,
где функция легко интегрируема. В этом случае имеем следующее преобразование: . Подставляем в интеграл и получаем:
Пример. Вычислить интеграл.
Делаем замену переменных: Вычисляем
Подставляем в интеграл выражения относительно
Вместо переменной подставляем функцию , которую использовали при замене переменных.
Пример. Вычислить интеграл.
Сделаем замену Вычисляем
Подставляем замену в исходный интеграл.
Вместо переменной подставляем функцию , которую использовали при замене переменных.
Пример. Вычислить интеграл.
Сделаем замену Вычисляем
Подставляем замену в исходный интеграл.
Вместо переменной подставляем функцию , которую использовали при замене переменных.
#2. Интегрирование простейших дробей с квадратным трехчленом.
2.1. Рассмотрим интеграл вида.
Этот интеграл можно преобразовать к следующему интегралу
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать интегралы подобного типа, когда перед стоит 1.
Рассмотрим методику вычисления интеграла вида
Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат:
Подставляем выражение в интеграл
Делаем замену переменных ; . При этом учтем знак выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Обозначим модуль (положительную часть) этого выражения через . В итоге последний интеграл может быть записан в виде:
Это табличный интеграл и, в зависимости от знака могут быть применены следующие формулы:
(*)
Пример. Вычислить интеграл.
Выделим полный квадрат из знаменателя:
Подставляем это выражение в знаменатель интеграла.
Применим формулу (**).
2.2. Рассмотрим интеграл вида.
Данный интеграл преобразуется и табличному интегралу вида
и к интегралу предыдущего (2.1) вида.
Вычислим производную знаменателя.
Преобразуем числитель таким образом, чтобы в нем «появился» знаменатель
Подставляем это выражение в числитель и разбиваем на два интеграла
Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Для вычисления первого интеграла
сделаем замену переменных .
Подставляем эти выражения в интеграл
Во втором интеграле в числителе стоит число, и решение этого интеграла рассмотрено в предыдущем пункте (2.1).
Пример. Вычислить интеграл.
Вычисляем производную знаменателя.
Преобразуем числитель интеграла, так чтобы там появилось выражение производной и разбиваем интеграл на два.
Вычислим каждый интеграл отдельно. Сначала первый.
Второй интеграл
Подставляем вычисленные интегралы в исходный интеграл – продолжаем формулу (***).
2.3. Рассмотрим интеграл вида.
Для вычисления подобного интеграла необходимо выполнить действия, описанные в пункте 2.1 (т.е. выделить полный квадрат). Но в результате подобных действий получатся другие табличные интегралы
или
2.4. Рассмотрим интеграл вида.
Для вычисления подобного интеграла необходимо выполнить действия, описанные в пункте 2.2. Но в результате этих действий получатся другие табличные интегралы.
#3. Интегрирование по частям.
Из формулы производной произведения следует, что
Проинтегрируем левую и правую части
Учитывая, что
,
Получаем формулу интегрирования по частям
Пример. Вычислить интеграл.
Пример. Вычислить интеграл.