Розрахунки кіл змінного струму символічним методом.
1. Дії з комплексними числами.
2. Вираження синусоїдних величин комплексними числами.
3. Закон Ома. Комплексні значення опорів та провідностей.
4. Визначення повної потужності за комплексами напруги і струму.
5. Розрахунок простих електричних кіл змінного струму символічним методом.
6. Розрахунок складних електричних кіл.
Дом. завд. [1] ст. 273-283 зад. 15.4 повторити стор. 71-92
1. Комплексним числом називають алгебраїчну суму матеріального і уявного чисел.
Геометричне комплексне число зображують у вигляді вектора в системі матеріальній та уявній осей. Комплексне число має три форми запису:
а) алгебраїчну А=А'+jА"; А=-А'+jА''';
б) тригонометричну А== |А|(соs α± jsin α)
в) показову А= |А| е±jα
де А - комплексне число; |А| модуль або
довжина вектора; е - основа натурального логарифму; α - кут між матеріальною віссю та відрізком, який зображує комплексне число.
Відлік кута α ведуть від матеріальної вісі проти годинникової стрілки, виражають у радіанах tg α = A”/A’.
Сполучені комплекси - відрізняються один від одного знаком перед уявною частиною, наприклад 6+j8 та 6-j8, або 20(соs 37°+jsin37°) та 20(соs37°-jsin37°);
10е+j 30° та 10е-j 30°.
Геометрична величина j - поворотний множник на кут π/2 проти стрілки годинника.
Додавання та віднімання двох комплексних чисел виконують тільки у алгебраїчній формі:
А=(6+j8)+(4+j3)=(6+4)+ j(8+3)=10+11j; А=(6-j8)-(4-j3)=(6-4)+j(-8+3)=2-j5
Множення та ділення двох комплексних чисел можливо виконувати як у алгебраїчній, так і у показовій формах.
Нехай А1=12-j16; А2=4+j3; при множенні:
А=(12-j1б)(4+j3)=48-j64+j36+48=96-j28 при діленні
A=(12-j16)/(4-jЗ)= (12-j16)*(4-jЗ)/(4+j3)* (4-j3)= (48-j64-j36+j2 48)/(42+32)=-j100/25=-j4
Нехай А1=20е-j53°; А2=5ej37°
При множенні А=20е—j53°* 5еj37° =20 *5еj(-53°+37°)=100e-j16
При діленні А=20е-53°/5еj37° =(20/5) е -j(-53°+37°)=4e-j 90°
Зміна форми запису комплексного числа
1) Перетворення алгебраїчної форми у показникову
А=5еj37°; ^А=|А|еjarctgα
2) Перетворення показникової форми у алгебраїчну A=10e-j37°
2. Синусоїдну функцію графічно можливо зобразити вектором, який обертається. Комплексне число також можливо зобразити вектором і визначити його модуль і фазу (аргумент - кут α), тобто будь яка синусоїдна функція може бути зображена комплексним числом.
При зображенні електричних величин комплексними числами усі формули, закони і методи розрахунків кіл постійного струму можливо застосувати для кіл змінного струму.
Напруга, виражена у комплексному вигляді, позначається великою літерою з крапкою над нею (), а її модуль тією ж літерою без крапки (U). Модуль комплексної напруги є діючим значенням напруги.
Якщо напруга u=Umsin (ωt+ψ), то вектор цієї напруги має довжину U= Um/, токут нахилу вектора до осі абсцис ψ. Цей вектор можливо виразити комплексним числом з модулем, який дорівнює діючому значенню, а аргументом - начальній фазі:
=Uеjψ Якщо U = Umsin (ωt-ψ) , то =Uе-jψ
Якщо U= Umsin ωt ,то =Uеj0 =U
Переводячи цей вираз у алгебраїчну форму, отримаємо =Uеjψ=U(соsφ+jsinφ)=Uсоsψ+jUsinψ, оскільки Uсоsψ =Uа, Usinψ=Up, то =Uа+ jUp
тобто матеріальна частина комплексного числа - це активна складова напруги, а уявна частина - її реактивна складова. Знак плюс у реактивної складової значить індуктивний, а знак мінус - ємнісний характер кола.
Усі вирази, виведені для напруги, можливо віднести і до струму, де - комплекс струму, І - модуль комплексу струму.
Фаза струму відносно напруги кола залежить від характера навантаження, тобто підключених до кача елементів.
Для rL - кола: u = Umsin ωt; і = Imsin (ωt-ψ); =Uеj0 = U; = Іе-jφ або І = Іa-j Iр
Для rС кола: u = Umsin ωt; і = Imsin (ωt+ψ); =Uеj0 = U; = Іе-jφ =Іa+j Iр
3. Повний опір у комплексній формі позначають великою літерою без крапки z, а його модуль - маленькою літерою z.
Якщо напруга і струм дані, то вираз для опору у комплексному вигляді можливо отримати згідно з законом Ома, що буде вірно при умові, що усі величини виражені комплексними числами.
Комплекс струму прямо пропорційний комплексу напругиі зворотно пропорційний комплексу опору Z: =/Z; z=/
Комплекс опору не залежить від початкової фази напруги та струму, а тільки від зсуву фаз між напругою та струмом. Якщо φ>0, коло має індуктивний характер, якщо φ<0 - ємнісний.
На практиці при розрахунках електричного кола з даними параметрами спочатку складають вираз для комплекса повного струму:
Активний елемент: z=r+jO
Індуктивний елемент: z=0+jXL
Ємнісний елемент: z=0-j Хс
Активний з індуктивним: z=r+jХL
Активний з ємнісним: z=r-jХс
Активний, індуктивний, ємнісний: z=r+j(ХL-Хc)
Приклад: у коло з напругою =10е-j16° підключені активний елемент з опором r=30 Ом та ємнісний з опором Хс=40 Ом. Визначити струм у колі (рівняння для миттєвого значення струму).
Розв'язання: z=r-jXc=30-j40; z= = 50 Ом; φ= агсtg 40/30=53°; Z=5Ое-j53°;
= /Z = 10е-j16°/50е-j53° = 0,20ej37°; і = 0,2* sin(ωt+37°)
провідність у комплексному вигляді позначають великою літерою Y без крапки, а модуль - маленькою у.
Y=1/Z
Для rL-кола: Y=1/Z=1/r+jx=( r-jx)/r2+x2= r/ r2+x2-j(x/ r2+x2)
Оскільки q= ;b = , тоY = q-jb = уе-jφ
Для гС - кола: Y==q+jb= уе-jφ
Приклад: дано r=4 Ом; Хс=3 Ом. Визначити комплекс повної провідності у алгебраїчній та показниковій формах:
Y = q+jb = =0,16+j0,12
Y = =0,2;φ = аrсtg = 37° Y=0,2еj37°
4. Для отримання комплекса повної потужності у якому матеріальна частина є активною потужністю, а уявна - реактивною, необхідно помножити комплекс напруги на сполучений комплекс струму.
Якщо коло має активний r та індуктивний L елементи, та при =U струм =I*e-jφ, то повна потужність =*, де - сполучений комплекс струму.
=*=U- I*ejφ =UI(соsφ+jsinφ )= U*Iсоsφ + j*U*Isinφ=P+jQ
якщо коло має активний r та ємнісний С елементи, та =U; = І* еjφ, то =*
=U*Ie-jφ =UI(cosφ -jsinφ)=U* I cosφ- jUI sinφ =P-jQ
Приклад: визначити потужність кола, якщо = 10 ej67°; =2еj30°
= *= 10ej67°* 2е-j30° =20ej(67-30)= 20еj37° = 20 * cos370 +j20sin 37° = 16+j12
5. Закони Кірхгофа у комплексній формі.
І закон: сума комплексів струмів, спрямованих до вузла, дорівнює сумі комплексів струмів, спрямованих від вузла, тобто алгебраїчна сума комплексів струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює нулю.
II закон: у будь-якому замкненому контурі алгебраїчна сума комплексів е.р.с
дорівнює алгебраїчній сумі комплексів складів напруги у цьому контурі ∑Е = ∑z Послідовне з'єднання приймачів.
=z1+z2+z3 =(z1+z2+z3)= z
z=- комплекс повного опору кола дорівнює сумі комплексів опорів окремих ділянок.
Потужність окремих ділянок та повну потужність можна визначити:
= *;= *;= *;= *;
Повна потужність кола може бути визначена як сума потужностей окремих ділянок:
=++
Приклад: z1=6+j8; z2=2-j10; z3=-j4; = (120+j160) В. Визначити I,
Рішення:
z=z1+z2+z3 =8- j6=ej37°=10e-j37 = ej37°=200ej53
= /z=20e j90 A; =*= 200ej53 * 20е-j 90 = 4000e-j37° = (3200-j2400)В • А
Паралельне з'єднання приймачів
За першим законом Кірхгофа=++,
або , тобтоY=Y1+Y2+Y3;
1/z=1/z1+1/z2+1/z3
Комплекс повної провідності дорівнює сумі комплексів провідностей окремих ланцюгів.
=z1=z1=z1; ;
Комплекси струмів зворотно пропорційні комплексам опорів.
Повна потужність кола = *; Потужності окремих ланцюгів:=*;=*; =*
Змішане з'єднання приймачів
Необхідно, поступово перетворюючи, привести схему до одного вигляду:
послідовного або паралельного.
Розрахунок кіл змінного струму символічним методом повністю збігається з розрахунками кіл постійного струму, тільки усі електричні величини повинні бути виражені у комплексному вигляді і дії над ними повинні бути виконані за, правилами дій над комплексними числами.
6. Метод перетворення трикутника опорів у зірку і навпаки.
zA=; zB=; zC=;
zAB= zA+ zB+zBC= zB+zC+zAC= zA+ zC+
Метод вузлових напругUab=
Струми у ланцюгах=(-)/z1;
=(-)/z2; =( 0-)/z3;
Метод вузлових та контурних рівнянь
Послідовність розрахунку:
1) складне коло умовно розбити на окремі прості контури;
2) для кожного ланцюга задати умовні напрями струму;
3) скласти вузлові рівняння, їхня кількість повинна бути на одиницю менша кількості вузлів;
4) недостатні до кількості невідомих рівняння скласти за другим законом Кірхгофа;
5) розв'язуючи отримані рівняння визначають струми;
Приклад: Визначити струми у ланцюгах методом вузлової напруги, якщо
= 60еj37°; = 90е j37°; = 100е j37°; z1=6+j8; z2=3+j4; z3=6+j8
=;
Y1==0,06-j0,08=0,1e-j 53° См Y2==0,12-j0,16=0,2e-j 53° См
Y3==0,06-j0,08
Y1+Y2+Y3=0,06-j0,08+0,12-j0,16+0,06-j0,08=0,24-j0,32=0,4e-j 53°
==85ej37 ==-2,5e-j16; =1e-j16
==1,5e-j16
I1=-2,5 A;I2=1A; I3=1,5 A
i1=-2,5sin(ωt-16°);
i2=1sin(ωt-16°); i3=1,5sin(ωt-16°);
i1=3,25 sin(ωt-16°); i2=1,4 sin(ωt-16°);
і3=2,12 sin(ωt-16°);
Приклад
Скласти необхідну кількість рівнянь методом вузлових і контурних рівнянь.
++=0 +I2+I3+I4=0
-=z1-z2 -=z1-z2
-=z2-z3 -=z2-z3
=z3-z4
Приклад: електричне коло, яке складається з послідовно з'єднаних резистивного (опором r=160 Ом) та ємнісного (опором Хс=120 Ом) елементів, живиться від мережі напругою U=70,5sin(ωt-740). Визначити струм і потужність кола
Розв'язання:
Комплекс повного опору z = r-jх = 160-j120 = 200е-j37°
Комплекс напруги =Um/еjφ = 70,5/1,41е-j74° = 50е-j74° В
Струму колі = /z== 0,25e-j37° А або =0,25(соs370-jsin370)=0,2-j0,15А .
і=0,25sin(ωt-37°) Повна потужність кола
= * І =50e-j74° *0,25е j37° =12,5*ej37° ВА
= 12,5(cos37°-sin 37°) = 10-j7,5 ВА тобто Р=10 Вт; Qс=7,5 вар; S=12,5 В А
-131-