- •3. Числовые и функциональные ряды
- •3.1. Числовые ряды: основные определения
- •3.2. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости
- •3.3. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
- •3.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •3.5. Функциональные ряды: основные определения
- •3.6. Степенные ряды
- •3.7. Ряды Тейлора
- •4. Основы теории функций комплексного переменного
- •4.1. Комплексные числа: определение, алгебра комплексных чисел, алгебраическая форма записи
- •4.2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- •4.3. Формула Муавра и извлечение корня п-ой степени из комплексного числа
- •4.4. Функции комплексного переменного
- •1. Показательная функция
- •2. Логарифмическая функция
- •3. Тригонометрические функции
- •4. Гиперболические функции
- •5. Обратные тригонометрические функции
- •6. Общая степенная функция
- •4.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции
- •5. Контрольная работа № 8. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 8. Вариант № 0
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
- •Рекомендуемая литература
3. Числовые и функциональные ряды
3.1. Числовые ряды: основные определения
Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)
Определение. Числовым рядом называется выражение вида
(1)
Ряд обозначается: . Числаназываются членами ряда. Ряд (1) задан, если известен его общий член, т.е. указано правило, по которому каждому номеруставится в соответствие определённое значение функции.
Определение. Сумма конечного числа первых членов числового ряда называется- й частичной суммой, т.е.
.
Рассмотрим последовательность частичных сумм числового ряда
Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм, равный, то ряд называется сходящимся, аназывается его суммой:
.
Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Определение. Если в ряде (1) отбросить первые членов, то получится ряд:
,
называемый остатком ряда (1) .
3.2. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости
Свойства:
Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков. Если сходится какой-либо из остатков ряда, то сходится и сам ряд.
Если числовой ряд сходится и его сумма равна, то и ряд, где– произвольное число, также сходится и его сумма равна.
Если ряды исходятся и их суммы равны соответственнои, то рядтакже сходится и его сумма равна.
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то общий член рядастремится к нулю при стремлениик бесконечности, т.е.
.
Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю пристремящемся к бесконечности, т.е. если не выполняется условие
,
то ряд расходится.
Замечание. Условие является необходимым, но недостаточным, т.е. если, то ряд может, как сходится, так и расходится. Например, рядрасходится, хотя.
Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, доказать расходимость ряда .
Решение. Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .
Имеем: .
Найдем :
Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.
3.3. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
Первый признак сравнения
Пусть и- ряды с положительными членами, причёмпри любых, начиная с некоторого, т.е. для всех. Тогда:
если ряд сходится, то сходится и ряд;
Если ряд расходится, то расходится и ряд.
Второй признак сравнения
Пусть и- ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел
,
Тогда ряды исходятся или расходятся одновременно.
Замечание 1. При использовании 1-го и 2-го признаков сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с рядами, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся:
ряд Дирихле – сходится при и расходится при. Приполучаем ряд , называемый гармоническим.
ряд вида
,
члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд сходится, еслии расходится при.
Замечание 2. При отыскании ряда для сравнения по второму признаку, можно в общем члене исследуемого ряда заменять бесконечно малую функцию на эквивалентную ей функцию, используя основные эквивалентности бесконечно малых функций при:
Если в результате замены мы получим ряд, рассмотренный в замечании 1, то его можно взять в качестве ряда , с которым нужно сравнить исследуемый ряд.
Замечание 3. Вопрос о сходимости рядов вида:
,
где и– многочлены степениm и k, решается путем сравнения с рядом Дирихле , где . При этом целесообразно применять второй признак сравнения.
Признак Даламбера
Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел
.
Тогда при , данный ряд сходится; при– расходится.
Радикальный признак Коши
Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел
.
Тогда при , данный ряд сходится; при– расходится.
Замечание 4. Если в признаках Даламбера и Коши предел не существует или равен 1, то ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.
Интегральный признак Коши
Пусть – ряд с положительными членами иположительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежуткефункция такая, что
Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда , используя первый признак сравнения.
Решение. Так как , то,
а ряд , члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, сходится. Тогда на основании первого признака сравнения, рядтакже сходится.
Пример 3. Используя второй признак сравнения, исследовать сходимость ряда: .
Решение. Имеем: .
Аналогично случаю, рассмотренному в замечании 3, данный ряд можно сравнить с рядом , где ;, который сходится, т.к..
Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:
.
Так как ряд сходится, то по второму признаку сравнения сходится и ряд .
Пример 4. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда:
.
Решение. Имеем:
.
Тогда
Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.
Пример 5. С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда
.
Решение. Имеем:
Тогда
Следовательно, по признаку Коши исследуемый ряд расходится.