Лабораторные работы 8-12
.pdfЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 Тема: Дифференцирование функций нескольких переменных.
Экстремум функции двух переменных
Цели работы:
1.Научиться вычислять производные первого и высших порядков для функций нескольких переменных.
2.Научиться находить экстремум функции двух переменных.
8.1. Вычисление частных производных
Производные для функций нескольких переменных, так же как и для функций одной переменной, можно вычислять символьно и численно.
Последовательность действий при вычислении производных первого порядка функции нескольких переменных точно такая же, как и при вычислении производных для функции одной переменной, с тем лишь отличием, что функция теперь содержит не одну, а несколько переменных, и производная по каждому аргументу находится отдельно.
Пример 1. |
Вычислим |
значение частных производных от функции |
|||||
z = 3x2 y + xy 2 в точке (-1; 2). |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x := −1 |
y := 2 |
|
|
|
|
|
|
d (3 x2 y + x y2) = −8 |
d |
(3 x2 y + x y2) = −1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
dx |
|
dy |
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
z |
|
|
Пример 2. Вычислим значение частных производных функции u = |
|
в |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
точке (1; 2; -3).
4
Решение.
x := 1 y := 2 z := −3
u(x,y ,z) := |
x z |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
d u(x,y ,z) = −24 |
d |
u(x,y ,z) = 12 |
d u(x,y ,z) = −5.545 |
|||
|
||||||
dx |
|
|
|
dy |
dz |
Пример 3. Найдем частные производные для функции z = x2 + xy .
Решение.
z(x,y) := x2 + 2 x y
d z(x,y) → |
1 |
|
|
|
|
|
|
(2 x + 2 y) |
|||
|
1 |
|
|||||||||
dx |
|
||||||||||
|
|
2 (x2 + 2 x y) |
2 |
|
|
|
|||||
d |
z(x,y) → |
1 |
|
|
x |
|
|
||||
|
1 |
|
|
||||||||
dy |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(x2 + 2 x y) |
2 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь вычисление производных высших порядков для функции нескольких переменных. Функции нескольких переменных можно дифференцировать несколько раз по одной и той же переменной или по различным переменным. Напомним, что в последнем случае результат дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.
Если необходимо найти производную порядка п по одной и той же переменной, то поступают также, как при нахождении производной порядка п для функции одной переменной.
Если необходимо найти «смешанную» производную, то дифференцирование производят последовательно. При этом шаблоны для производных можно «вкладывать» один в другой (каждый последующий шаблон вызывается в том поле, где должна вводиться функция).
Пример 4. Найдем значения производных второго порядка от функции z = ln(2 y 2 − x2 ) в точке (1; -2).
5
Решение.
x := 1 y := −2
|
|
( |
y |
2 |
− |
2) |
|
|
|
|
z(x,y) := ln 2 |
|
x |
|
|
|
|||||
d2 |
|
|
|
|
|
d2 |
|
|||
|
z(x,y) |
= −0.367 |
|
|
|
z(x,y) |
= −0.735 |
|||
2 |
|
dy |
2 |
|||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d d z(x,y) = −0.327 dxdy
Пример 5. Найдем производные второго порядка для функции:
z = x3 y + xy3 +3xy .
Решение.
|
z(x,y) := x3 y + x y3 + 3 x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
d2 |
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z(x,y) → |
6 x y |
|
|
z(x,y) → 6 |
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
d |
z(x,y) → 3 x2 + 3 y2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d |
|
d z(x,y) → 3 x2 + 3 y2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dy dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 6. Для функции z = xy sin xy убедиться, что |
|
|
∂3 z |
= |
∂3 z |
= |
∂3 z |
. |
|||||||||||||||||
|
∂x2 ∂y |
∂x∂y∂x |
∂y∂x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z(x,y) := x y sin(x y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d2 d |
z(x,y) |
→ 4 cos (x y) y − 5 x |
sin(x y) y |
2 |
− |
2 |
y |
3 |
cos (x y) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx2 dy |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
d |
d z(x,y) |
→ 4 cos (x y) y − 5 x sin(x y) y2 − x2 y3 cos (x y) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dxdy dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
d d2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
z(x,y) |
→ 4 cos (x y) y − 5 x |
sin(x y) y |
|
− |
x |
y |
|
cos (x y) |
|
|
|
||||||||||
|
dy |
dx2 |
|
|
|
|
|
Совпадение результатов дифференцирования позволяет убедиться в справедливости записанного равенства.
6
8.2. Экстремум функции двух переменных
Функция z = f (x, y) имеет максимум (минимум) в точке P0 (x0 , y0 ) , если существует такая окрестность точки Р0 , для всех точек Р(х, у) которой, отличных от точки Р0 , выполняется неравенство f (P0 ) > f (P) (соответственно
f (P0 ) < f (P)). Точки минимума и максимума функции |
z = f (x, y) |
называются |
|||||
точками экстремума этой функции. |
|
|
|
|
|||
Необходимое |
условие экстремума. |
Если дифференцируемая функция |
|||||
z = f (x, y) |
имеет |
экстремум в |
точке |
P0 (x0 , y0 ) , |
то в |
этой |
точке |
f x| (x0 y0 )= 0, f y| (x0 y0 )= 0. |
|
|
|
|
|
||
Т.е. |
если P0 (x0 , y0 ) - точка |
экстремума функции z = f (x, y) , то |
либо |
частные производные в этой точке равны нулю (в этом случае точку P0 (x0 , y0 )
называют стационарной точкой), либо функция z = f (x, y) в этой точке не является дифференцируемой.
Достаточное условие экстремума. Пусть P0 (x0 , y0 ) - стационарная точка функции z = f (x, y) , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Р0 и все ее вторые производные непрерывны в точке Р0. Вычислим
|
|
f '' |
(P ) |
f '' |
(P ) |
|
. |
|
|
|
|||||
|
= |
xx |
0 |
xy |
0 |
|
|
|
f '' |
(P ) |
f '' |
(P ) |
|
||
|
|
xy |
0 |
yy |
0 |
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
- если |
> 0 , то функция z = f (x, y) |
имеет в точке P0 (x0 , y0 ) экстремум: максимум |
|||||
при f xx'' |
(P0 )< 0 (или при f yy'' (P0 )< 0 ), минимум при f xx'' (P0 )> 0 (или при f yy'' (P0 )> 0 ); |
-если < 0 , то в точке P0 (x0 , y0 ) экстремума нет;
-если = 0 , то требуется дополнительное исследование.
Пример 7. Исследуем на экстремум функцию z = x3 + y3 −3xy .
Решение. Найдем частные производные первого порядка:
7
|
|
|
|
|
|
z(x,y) := x3 + y3 − 3 x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
d z(x,y) → 3 x2 − 3 y |
|
d |
z(x,y) → 3 y2 − 3 x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|||
Решив систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3y = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3x = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3y |
|
|
|||||||
найдем две стационарные точки P1 (0;0), P2 (1;1). |
|
||||||||||||||||||||
Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим |
в |
||||||||||||||||||||
точке P1 (0;0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x := 0 |
y := 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d2 |
|
z(x,y) = 0 |
|
|
d2 |
|
z(x,y) = 0 |
|
d d |
|
|
z(x,y) = −3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx2 |
|
|
dy2 |
|
dxdy |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
:= |
|
|
0 |
−3 |
|
|
|
= −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.к. в точке P1 (0;0) |
|
< 0 , то экстремума в этой точке нет. |
|
||||||||||||||||||
Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим |
в |
||||||||||||||||||||
точке P2 (1;1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x := 1 |
y := 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d2 |
|
z(x,y) = 6 |
|
|
d2 |
|
z(x,y) = 6 |
d d |
z(x,y) → −3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx2 |
|
|
dy2 |
dxdy |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
:= |
|
|
6 |
−3 |
|
|
|
= 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т.к. в точке P2 (1;1) |
|
> 0 и |
f xx'' = 6 > 0 , то в точке P2 (1;1) функция имеет минимум, |
||||||||||||||||||
равный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z(1,1) = −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
8.3. Условный экстремум функции двух переменных
Кроме экстремума в точке, для функции двух переменных рассматривается условный экстремум, т. е. экстремум функции z = f (x, y) ,
найденный в предположении, что переменные х и у связаны соотношением ϕ(x, y)= 0 , которое называется уравнением связи.
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции Лагранжа L(x, y, λ)= f (x, y)+ λ ϕ(x, y).
Необходимое условие условного экстремума выражается системой
∂∂Lx =0,
∂∂Ly =0,
ϕ(x, y)=0.
Пусть P0 (x0 , y0 ) , λ0 - некоторое решение этой системы.
Достаточное условие условного экстремума. Вычислим определитель
0
=−ϕx' (P0 )
ϕy' (P0 )
ϕx' (P0 ) L'xx' (P0 , λ0 ) L'xy' (P0 , λ0 )
ϕy' (P0 ) L'xy' (P0 , λ0 ). L'yy' (P0 , λ0 )
Если > 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) условный минимум; если < 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) условный максимум.
Пример 8. Найдем условный экстремум функции z = x + 2 y при условии
x2 + y 2 = 5 .
Решение. Составим функцию Лагранжа и найдем частные производные первого порядка:
9
L(x,y ,λ) := x + 2 y + λ (x2 + y2 − 5) |
φ(x,y) := x2 + y2 − 5 |
|
d L(x,y ,λ) → 1 + 2 λ x |
|
|
dx |
|
|
d |
L(x,y ,λ) → 2 + 2 λ y |
|
|
|
|
dy |
|
Система уравнений
1 + 2λx = 0,1 + 2λy = 0,
x2 + y 2 −5 = 0
имеет два решения: P1 (−1;−2), λ1 = 12 и P2 (1;2), λ1 = − 12 .
Вычислим |
|
для каждого решения. |
|||||||||||||||||
P1 (−1;−2), λ1 = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x := −1 |
y := −2 |
|
|
λ := |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d φ(x,y) = −2 |
|
|
|
|
d |
φ(x,y) = −4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d2 |
L(x,y ,λ) = 1 |
|
|
|
d2 |
|
L(x,y ,λ) = 1 |
d |
d |
L(x,y ,λ) = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
dy2 |
|
|||||||||||||
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
−2 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
:= − |
|
−2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
= 20 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
−4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. > 0 , то в точке P1 (−1;−2) функция имеет условный минимум, равный z(−1;−2)= −1 + 2 (− 2)= −5 .
P2 (1;2),λ1 = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x := 1 |
|
y := 2 |
λ := |
−1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
d φ(x,y) = 2 |
d |
φ(x,y) = 4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
dx |
|
|
dy |
|
|
|
|
|||
|
d2 |
L(x,y ,λ) = −1 |
d2 |
|
L(x,y ,λ) = −1 |
d |
d |
L(x,y ,λ) = 0 |
|||
|
|
dy2 |
|
||||||||
|
dx2 |
|
|
|
dxdy |
10
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
:= − |
|
2 |
−1 |
0 |
|
= −20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
−1 |
|
Т.к. < 0 , то в точке P2 (1;2) функция имеет условный минимум, равный z(1;2)=1 + 2 2 = 5 .
8.4.Задания для самостоятельного решения
1.Найти частные производные первого и второго порядков:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
а) |
z = arcsin(3xy) |
11. |
а) |
z = xу2 y − ye2 x |
|
||||||||||||
б) |
u = |
x2 |
+ y 2 + z 2 |
б) u = |
x + |
y + |
z + xyz |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
z = ln tg |
x |
|
|
а) |
z = arctg |
x2 − y 2 |
||||||||||
2. |
2 y |
12. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
б) u = sin(x2 |
|
|
+ z 2 ) |
|||||||||||
|
u = sin 2 (2x + y)−sin 2 z |
+ y 2 |
||||||||||||||||
|
б) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) |
z = |
2xy −8 |
|
а) z = xy ln(x + y) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
13. |
б) u = xy − |
z |
|
|||||
б) u = xy + xz + yz + xyz |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
xy + z |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) |
z = |
sin(x2 + y 2 ) |
|
а) |
z = |
1 |
1 |
|
|||||||||
4. |
б) u = ln(x + y 2 + z 3 ) |
14. |
x + |
|
y |
|
||||||||||||
б) u = arcsin(xyz +1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) |
z = arcsin |
|
x |
|
|
а) |
z = |
xy |
|
|
|
||||||
5. |
|
y |
15. |
x2 + y 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) u = x2 y 2 − xz 4 − yz3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
б) u = x + 2 y 2 +3z3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
а) |
z = arcsin |
|
|
|
|
x2 − y |
16. |
а) |
z = |
x + y + |
x − y |
||||||
б) u = ln(x + y + e xyz ) |
б) u = xyz sin(x + y + z) |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
а) z = ln(x + ln y) |
17. |
а) |
z = |
x − |
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) u = e |
x |
|
|
z |
б) u = x y + y z + z x |
|||||||||||||
|
y |
+ e |
y |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
а) |
z = sin |
|
|
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) z = |
|
1 − x2 |
|
− y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) u = xyz ln(x + y + z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) u = x yz |
+ y xz |
|
+ z xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) |
z = arctg |
|
y −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) z = (x + y)e−xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) |
u = |
|
ex |
(y − z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) u = z tg |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
|
а) |
z = (1 + x + y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
а) z = e x ln y +sin y ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) u = |
|
|
|
x2 + xy3 + yz 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) u = x2 y 2 z 2 |
−ln(xyz) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Найти указанные производные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
|
z = arctg |
|
|
|
|
xy , |
|
|
|
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
∂5 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
z = sin(2x −3y), |
|
|
|
∂3 z |
|
|
, |
|
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y∂x |
|
|
|
∂x∂y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
∂y |
|
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
z = e |
y |
ln x |
+sin x ln y, |
|
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
|
, |
|
|
|
∂4 z |
|
12. |
z = |
|
|
x + e |
|
y |
, |
|
|
∂3 z |
, |
|
|
|
|
|
∂5 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x∂y |
2 |
|
|
|
|
∂x |
3 |
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂y |
3 |
|
|
|
|
∂x∂y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
|
z = |
|
|
|
xy |
|
, |
|
∂3 z |
|
|
, |
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
z = ln(y |
2 |
− 4x), |
|
∂3 z |
, |
|
|
|
|
|
∂5 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
+ y |
|
∂x3 |
|
|
|
|
∂x |
2 ∂y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
3 |
|
|
|
∂x |
3 |
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
|
z = sin |
2 |
x + cos |
2 |
|
|
y, |
|
|
|
|
∂3 z |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
∂5 z |
|
|
|
14. |
z = |
|
|
x2 |
|
|
, |
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
∂y |
|
|
∂x |
3 |
∂y |
2 |
|
|
1 |
− xy |
|
|
∂x∂y |
2 |
|
|
|
|
∂x |
3 |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
|
z = xy sin(x + y), |
|
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
|
15. |
z = arctg |
|
x + y , |
|
|
∂3 z |
, |
|
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x∂y |
3 |
|
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂x |
3 |
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
3 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
z = ln(e x + e y ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
16. |
z = e |
x |
+ |
|
|
|
y , |
|
|
|
|
z3 , |
|
|
|
|
|
4 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y∂x∂y |
|
|
∂x |
3 |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7. |
|
z = x |
y |
, |
|
|
|
∂3 z |
, |
|
|
|
|
∂5 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
z = arctg |
|
y |
, |
|
|
∂3 z |
|
|
, |
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
3 |
|
∂x∂y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
∂x∂y |
2 |
|
|
∂x∂y |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂4 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
z = x2 y3 + |
|
|
y |
|
|
|
∂4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z = arcsin |
|
|
|
|
xy , |
|
∂x∂y |
2 |
, |
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
|
∂x |
3 z |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9. |
|
z = |
|
|
|
x + y , |
|
|
|
∂4 z |
|
|
, |
|
|
|
∂5 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
z = arcsin |
|
|
x + y , |
|
|
|
|
|
∂3 z |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
∂4 z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|
∂x |
4 |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
2 |
|
|
|
∂x |
2 |
∂y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
3 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
4 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. |
|
z = x2 sin |
2 |
y, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
z = xe y |
+ yex , |
|
|
|
z3 , |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x∂y |
2 |
|
|
|
∂x∂y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
3. Исследовать функцию на экстремум:
1. |
|
z = 2x4 |
+ y 4 |
− x2 |
− 2 y 2 |
11. |
z = e2 x+3 y (8x2 |
−6xy +3y 2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
z = xy ln(x2 |
|
+ y 2 ) |
|
|
|
|
|
|
12. |
z = e x2 −y (5 − 2x + y) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
z = x2 + xy + y 2 + x − y +1 |
13. |
z = (5x + 7 y − 25)e−(x2 +xy+y2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
z = x4 + y 4 − 2x2 − 4xy − 2 y 2 |
14. |
z = x + y + 4sin x sin y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
|
z = x3 + y 2 |
|
−6xy −39x +18y + 20 |
15. |
z = (x2 |
|
+ y 2 )e−(x2 +y2 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
z =1 − |
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
z = |
x + y +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + y 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
|
z = x2 y3 (6 − x − y) |
|
|
|
17. |
z = xy |
|
1 − x2 |
− y 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
z = x4 |
+ y 4 |
|
− x2 − 2xy − y 2 |
18. |
z = (x − y +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
|
z = x2 − xy + y 2 − 2x + y |
19. |
z = x2 −(y −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
|
z = x2 |
+ xy + y 2 − 4 ln x −10 ln y |
20. |
z = 2xy −3x2 |
− 2 y 2 |
+10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. Найти условный экстремум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
z = cos2 x + cos2 |
|
y, |
|
x − y = π |
2. |
z = x 2 |
+ y 2 , |
|
|
|
х |
− |
y |
=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
z = |
x |
+ |
|
y |
|
, |
|
|
x2 + y 2 |
=1 |
12. |
z = x4 |
+ y 4 , |
|
x + y = 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
|
z = x2 |
+12xy + 2 y 2 , |
|
4x2 + y 2 = 25 |
13. |
z = −x2 + 4xy +3y 2 , |
x2 |
+ y 2 =1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
|
z = x2 |
+ y 2 , |
|
|
x + |
|
y |
=1 |
|
|
|
14. |
z = x 2 |
+ y 2 , |
|
x |
+ |
|
y |
=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
|
z = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
15. |
z = |
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
x |
|
+ y |
|
=1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
x2 |
|
y 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
z = x3 + y3 , |
|
|
x + y = 2 |
16. |
z = xy, |
|
|
x + y =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
z = xy, |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ y 2 = 2 |
|
|
|
17. |
z = x2 |
− y 2 , |
|
x2 + y 2 |
= 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
z = 2x2 |
+ 6xy + 4 y 2 , |
|
x2 + y 2 =1 |
18. |
z = x5 + y5 , |
|
x + y = 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
19. |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z = |
|
|
|
|
− |
|
|
|
, |
|
|
x |
|
+ y |
|
=1 |
|
|
|
z = |
|
+ |
|
, |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
x2 |
|
y 2 |
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||
|
z = |
|
|
+ |
|
, |
|
|
|
|
+ |
|
=1 |
z = cos2 x + 2 cos2 |
y, |
y − |
х = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
|
|
x2 |
|
y 2 |
4 |
13