Post-Reading Activity.

Ex. 7. Match the English words and word combinations with the Russian equivalents.

a double infinity of points the locus of a point two degrees of freedom to impose a condition a variable point a missing variable the resulting equation a real proper analytic surface with respect to to vanish identically to reserve the right under suitable conditions to reduce to a curve a linear homogeneous partial differential equation vice versa arbitrary functions

тождественно обращаться в нуль две степени свободы геометрическое место точки сохранять право линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных двойная бесконечность точек отсутствующая переменная налагать условие полученное уравнение переменная точка сводиться к кривой при подходящих условиях наоборот, обратно произвольные функции действительная собственная аналитическая поверхность относительно

Ex. 8. Find out whether the statements are true or false. Use introductory phrases.

Exactly. Quite so. I fully agree to it. I don’t think this is the case.

Quite the contrary. Not quite. It’s unlikely. Just the reverse.

1. To represent a surface analytically, we establish a polar coordinate system. 2. The equation f (x, y, z) = 0is called an implicit equation of the surface. 3. The simplest surface of all types of surfaces is a cone. 4. In the parametric equations of the surfacex = x (u, v); y = y (u, v); z =z (u, v) the lettersx, y, z denote the parameters. 5. A surface or a portion of a surface, which is free of singular points may be called singular. 6. A surface is proper if it does not reduce to a curve. 7. If the equationf (x, y, z) = 0 is homogeneous inx, y, z, it represents a plane. 8. The explicit equation of the surfaceZ = f (x, y) is a special case of the implicit equation of the formF (x, y, z) = 0 if we transposezto the right member.

Ex. 9. Translate the sentences, point out the meaning of the words.

1. order (n) 2. in order that in order to

порядок, последовательность исправность, хорошее состояние, приказ, распоряжение для того, чтобы

1. The names in this list are placed in alphabetical order. 2. Get your ideas in some kind of order before beginning to write. 3. The device has been repaired and it is now in perfect order. 4. It is the business of the police to keep order. 5. He ordered that the work should be started at once. 6. Phone him in order that he should arrive in time. 7. In order to understand the procedures, consider the following analogy.

Ex. 10. Complete the sentences using the given word-groups:

at the origin, the variables, the implicit equation of the surface, a plane, the parametric equations of the surface, arbitrary, a curve, singular, nonsingular, vanish simultaneously.

1. The equation F (x, y, z) = 0 is called … 2. If this equation is linear in the variablesx, y, z, the surface which it represents is …, and if it is homogeneous inx, y, z, it represents a cone which vertex is … 3. A surface is proper if it does not reduce to … 4. The function F in the equationθ = F (t (u, v)) is … 5. Any point of a real proper analytic surface at which the jacobians … is called … 6.  A surface, or a portion of a surface, which is free of singular points may be called …7. Equationsx = x (u, v); y = y (u, v), z = z (u, v)are called …, whose parameters are …

Ex. 11. Complete the sentences using the right meaning of the word.

1. to mean (meant, meant) 2. means 3. mean 4. by no means 5. by means of

1. (v) значить, предназначаться для, подразумевать под; 2. (n) средство; 3. (а) средний, (n) середина; 4. никоим образом 5. при помощи, посредством

1. Your friendship … a great deal to me, I value it highly.

2. A dictionary tries to tell you what words …

3. What do you … by saying that? What have you in mind?

4. Is this figure … to be a 1 or a 7?

5. Does the end always justify the…?

6. Thoughts are expressed by … of words.

7. These results are by … satisfactory.

8. The … of 3, 5 and 7 is 5.

9. The happy or golden … is a moderate course of action.

Ex. 12. Translate the sentences from Russian into English, use the Subjunctive Mood.

1. Проверьте решение этой задачи, чтобы не получить неверный результат. 2. Он предложил, чтобы они рассмотрели многоугольники, т.к. этот тип геометрических фигур очень важен при изучении геометрии. 3. Жаль, что мы не исключили неизвестные, мы смогли бы решить эту систему уравнений. 4. Чтобы составить уравнение данной кривой, определим геометрическое место точек. 5. Пора ввести однопараметрическое семейство кривых на поверхности S. 6. Нам следует представить данные кривые аналитически с помощью системы уравнений. 7. Необходимо, чтобы часть поверхности не содержала особых точек. 8. Нам бы хотелось, чтобы в этом случае якобиан стремился к нулю. 9. Было бы лучше, если бы один из параметров менялся, в то время как другой оставался постоянным.

Ex .13. Answer the questions:

1. What does this text consider? 2. What must be established in order to represent a surface analytically? 3. What types of surfaces do you know? 4. A plane and a sphere are the simplest types of surfaces, aren’t they? 5. Is the equation F (x, y, z) = 0 an implicit or an explicit equation of a surface? 6. When does the equation F (x, y, z) = 0 represent a plane, a cone and a cylinder? 7. What can you say about the equation x = x (u, v); y = y (u, v);

z = z (u, v)? 8. What does it mean to say that a surface is proper? 9. What is a jacobian? 10. What do we call any point of a real proper analytic surface at which the jacobians vanish simultaneously? 11. What surface is called nonsingular?

Ex.14. Topics for discussion.

1. Speak on the definition of a surface given in this text and the definitions given in the lectures on differential geometry.

2. Discuss implicit and explicit equations of a surface.

3. Speak about thecases ,when a surface represented by the equations

x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v) reduces to a point or to a curve.

Ex. 15. Say it in English.

1. В этом тексте даётся определение поверхности и ее аналитическое представление. 2. Установим левостороннюю ортогональную декартову систему координат для того, чтобы представить поверхность аналитически. 3. Эта система координат имеет масштаб измерения для всех трех осей. 4. Затем мы налагаем одно условие на точку Р (x, y, z) уравнением вида F (x, y, z) = 0. 5. Это уравнение называется неявным уравнением поверхности. 6. Плоскость, сфера, цилиндр, конус известны как простые типы поверхностей. 7. Они могут быть представлены уравнением (x, y, z) = 0 при определенных условиях. 8. Уравнения х (u, v), y=y (u, v), z=z (u, v) с переменными v, u называются параметрическими уравнениями поверхности. 9. Любая точка поверхности, в которой якобианы одновременно равны нулю, называется вырожденной, а поверхность, не имеющая вырожденных точек, называется невырожденной. 10. Поверхность является собственной поверхностью, если она не превращается в кривую.

Ex. 16. Read the text and find the answers to the following questions.

1. What is a surface in mathematics? 2. Where does the concept of a surface find application? 3. What is a topological surface? 4. What is a coordinate chart? 5. What is known as the boundary of the surface?