Глава 2
.pdfГлава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Функция, определенная на множестве натуральных чисел ¥ и при- нимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последова-
тельность x1 , x2 ,..., xn ,... обозначается символом {xn} . Если x1, x2 ,..., xn ,... – некоторая последовательность, а
n1 < n2 < ... < nk < ... –
возрастающая последовательность натуральных чисел, то последо-
вательность xn1 , xn2 ,..., xnk ,... называется подпоследовательностью
последовательности {xn} .
Арифметические операции для последовательностей определим сле- дующим образом:
df
{xn + yn} = x1 + y1, x2 + y2 , ..., xn + yn , ...;
df
{xn - yn} = x1 - y1 , x2 - y2 , ..., xn - yn , ...;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{xn yn} = {xn × yn} = x1 × y1, x2 |
× y2 , ..., xn × yn , ... ; |
|||||||||||||||||||
ì ü df |
x1 |
|
x2 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
í |
xn |
ý = |
|
, |
, ..., |
, ..., если "n yn ¹ 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
î yn þ |
y1 |
y2 |
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Последовательность {xn } называется: |
||||||||||||||
– ограниченной сверху, если |
|
– неограниченной сверху, если |
||||||||||||||||||
$c Ρ "n Î¥ xn £ c; |
|
"cÎ ¡ $nÎ ¥ xn > c ; |
||||||||||||||||||
– ограниченной cнизу, если |
|
– неограниченной снизу, если |
||||||||||||||||||
$c Î ¡ "n Î ¥ xn ³ c ; |
|
"c Î ¡ $nÎ ¥ xn < c ; |
||||||||||||||||||
– ограниченной, если |
|
– неограниченной, если |
||||||||||||||||||
$c Î ¡ "n Î¥ |
xn |
£ c ; |
|
"c Î ¡ $nÎ ¥ |
xn |
> c; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
– бесконечно большой (ББП), |
– не является бесконечно большой, |
|||||||||||||||||||
если "E > 0 |
$n0 Υ |
|
|
|
|
если $E > 0 "n0 Î¥ |
||||||||||||||
"n Î ¥,n ³ n0 |
xn |
> E ; |
|
$n Î ¥, n ³ n0 |
xn |
|
£ E ; |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
– бесконечно малой (БМП), |
– не является бесконечно малой, |
|||||||||||||||||||
если "e > 0 |
$n0 Υ |
< e; |
|
если $e > 0 "n0 Î¥ |
||||||||||||||||
"n Î¥,n ³ n0 |
xn |
|
$n Î¥,n ³ n0 |
xn |
³ e |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
Точные грани последовательностей
Если {xn } ограниченная последовательность, то
|
|
ì |
1) n ¥ xn £ s ; |
|
|
|
ï |
|
|
s = sup xn = sup xn |
íï |
2) "e > 0 $n Υ xn |
> s - e |
|
|
n |
ï |
или "s′ < s |
$n s′ < xn . |
|
|
ï |
||
|
|
î |
|
|
|
|
ïì |
1) n ¥ i £ xn ; |
|
i = inf xn |
= inf xn |
íï |
2) ε > 0 n ¥ xn |
< i + ε |
|
n |
ï |
или "i′ > i |
$n xn < i′ . |
|
|
ï |
||
|
|
î |
|
|
Если {xn } неограничена сверху, то sup xn = +¥.
Если {xn } неограничена снизу, то inf xn = −∞ .
Последовательность {xn } называется:
– возрастающей, если |
– убывающей, если |
|
"n Î ¥ xn |
< xn+1; |
"n Î ¥ xn > xn+1 ; |
– неубывающей, если |
– невозрастающей, если |
|
"n Î ¥ xn |
£ xn+1; |
"n Î ¥ xn ³ xn+1 |
Неубывающие, невозрастающие, убывающие и возрастающие
последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности; убывающие и возрастающие после-
довательности называют также строго монотонными
Лемма 2.1. Добавление и удаление конечного числа элементов последовательности не влияет на ее ограниченность (неограни- ченность).
35
2.2.СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть {xn } |
– БМП, тогда по определению нера- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. БМП ограничена |
|
|
венству |
|
xn |
|
³ 1 удовлетворяет лишь конечное число |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ее членов. Обозначим через S сумму модулей таких |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членов, тогда "n |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
< S +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
Если |
|
{xn } |
БМП, |
то |
Доказательство следует непосредственно из оп- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
xn |
|
} |
БМП, |
|
и наоборот |
|
ределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Из условия (по определению БМП) имеем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"e > 0 |
$n "n ³ n |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
< e |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
{xn } |
и {yn} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Если |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"e > 0 |
$n |
|
|
"n ³ n |
|
|
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|
|
< e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
БМП, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= max{n1, n2 } , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) {xn ± yn } – БМП; |
|
|
Полагая n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) "c Î ¡ {cxn} |
– БМП. |
|
|
|
|
|
|
|
"n³n0 |
|
|
|
|
|
xn± yn |
|
£ |
|
|
xn |
|
+ |
|
|
|
yn |
|
<e 2+ e 2=e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Следствие. |
Алгебраиче- |
б) Для c = 0 утверждение очевидно. Пусть c ¹ 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
тогда |
по |
условию |
|
|
|
|
|
"e > 0 |
|
|
|
$n |
|
|
"n ³ n |
|
|
x |
|
|
|
< e |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ская сумма |
|
любого конеч- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||
ного числа БМП есть БМП. |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"e > 0 $n "n ³ n |
|
cx |
|
= |
|
c |
|
× |
|
x |
|
< |
|
c |
|
× |
|
c |
|
= e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4. Произведение БМП на |
Пусть {yn } |
– ограниченная последовательность, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограниченную |
последова- |
тогда |
$c > 0 |
"n |
|
|
yn |
|
|
£ c . |
|
|
|
|
Так |
|
|
|
|
как |
|
|
|
{xn } |
|
БМП, |
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельность есть БМП. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Следствие. |
Произведе- |
"e > 0 |
$n |
"n ³ n |
|
|
x |
|
|
|
c |
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние любого числа БМП есть |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
"e > 0 $n0 "n ³ n0 |
|
|
|
|
|
|
xn yn |
|
|
= |
|
xn |
|
× |
|
yn |
|
|
|
£ |
|
xn |
|
c< c× e |
|
|
|
=e |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
БМП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
Если |
|
все |
элементы |
Допустим, |
что |
c ¹ 0 . |
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
e = |
|
c |
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
БМП {xn } равны одному и |
$n0 |
|
= n(e) "n ³ n0 |
|
|
xn |
|
|
|
< e . |
|
|
|
|
|
|
Так |
|
|
|
|
|
|
|
как |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
= c , |
|
|
а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тому же числуc , то c = 0 |
|
e = |
|
c |
|
|
, то |
|
c |
|
< |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
, то есть 1 < |
1 |
|
|
|
|
|
. Противоречие |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
|
|
Если |
|
{xn} |
ББП |
и |
Доказательство сразу вытекает из определения, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"n xn ¹ 0 , |
то {1/ xn } |
БМП, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если учесть равносильность неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и наоборот, если {xn } |
БМП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
xn |
|
|
³ e и |
|
|
|
xn |
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и "n |
xn ¹ 0 , то {1/ xn } |
ББП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
|
|
Если |
|
{xn } |
БМП |
и |
Так как {xn } БМП, |
|
то |
|
|
|
|
"e > 0 |
|
$n0 "n³ n0 |
|
|
|
xn |
|
<e, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
"e > 0 |
|
$n0 |
|
|
|
|
"n ³ n0 |
|
|
yn |
|
£ |
|
xn |
|
|
< e, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"n |
|
yn |
|
£ |
|
xn |
|
, то {yn } БМП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
то есть {yn } |
|
БМП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
2.3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Последовательность {xn } называется сходящейся, если сущест- вует такое число a , называемое пределом последовательности {xn } ,
что выполняется любое из следующих утверждений:
1) для каждого ε > 0 существует такое натуральное n0 , что для любого n ³ n0 выполняется неравенство xn - a < e. Символи-
ческая запись этого утверждения имеет вид
ε > 0 $n0 = n0 (e)Î ¥ "n Î ¥ n ³ n0 Þ xn - a < e;
2)последовательность {xn - a} является бесконечно малой;
3)в любой ε-окрестности числа a находятся все элементы по- следовательности {xn } , начиная с некоторого номера.
Если последовательность {xn } сходится и ее предел есть число a , то символически это записывают следующим образом:
lim x = a |
или x ® a при n → ∞ . |
n→∞ n |
n |
Основное свойство последовательностей. Конечное число элементов (их добавление или удаление) не влияет на сходимость последовательности, причем значение предела сходящейся последо- вательности остается неизменным.
4Утверждение следует из определения предела.3
Число a не является пределом последовательности {xn } , ес-
ли существует такое ε > 0, что для любого натурального n0 найдет-
ся номер n ³ n0 такой, что xn - a ³ e.
В символической записи. Число a не является пределом последовательности {xn } , если
ε > 0 "n0 Î ¥ $n Î ¥ n ³ n0 и xn - a ³ e.
На языке окрестностей. Число a не является пределом после-
довательности {xn } , если существует окрестность числа a , вне которой находится бесконечно много членов последовательности.
Если нельзя подобрать число a , удовлетворяющее одному из определений предела, то есть
a ¡ ε > 0 "n0 Î ¥ $n Î ¥ n ³ n0 и xn - a ³ e,
то последовательность называют расходящейся.
37
З ам е ч а н и е . Все неограниченные последовательности расхо- дятся. Кроме того, существуют ограниченные последовательности,
не имеющие предела, например, {(-1)n }.
Бесконечно большие последовательности иногда называют по-
следовательностями, сходящимися к бесконечности (или последовательностями, имеющими бесконечный предел):
lim xn |
= ¥ |
Û ε > 0 |
$n0 = n0 (e) "n n ³ n0 |
Þ |
|
xn |
|
> e ; |
|
|
|
||||||||
n→∞ |
|
Û ε > 0 |
$n0 |
= n0 (e) "n n ³ n0 |
Þ xn |
> e ; |
|||
lim xn |
= +¥ |
||||||||
n→∞ |
|
|
|
= n0 (e) "n n ³ n0 |
|
|
|
|
< -e. |
lim xn = -¥ |
Û ε > 0 |
$n0 |
Þ xn |
||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зам е ч а н и е 1 . ББП к сходящимся последовательностям не от- носят, то есть всякая ББП расходится.
Зам е ч а н и е 2 . Утверждение «последовательность не стре-
мится к бесконечности» в позитивной форме имеет вид:
|
|
|
|
|
lim xn ¹ ¥ Û ε > 0 "n0 |
$n n ³ n0 и |
|
xn |
|
£ e; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
Û ε > 0 "n0 |
$n |
|
n ³ n0 |
и xn |
£ e; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim xn |
¹ +¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и xn |
³ -e. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
lim xn |
¹ -¥ |
|
ε > 0 "n0 |
$n n ³ n0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
З ам е ч а н и е |
3 . |
|
Во всех определениях неравенство n ³ n0 |
можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заменить на неравенство n > n0 . |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
П р им е р 2.1. Докажем, что lim |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4По теореме Архимеда ε > 0 |
$n |
|
|
0 < |
|
< e . Тогда "n |
n ³ n , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим 0 < |
£ |
|
< e.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n +1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
П р им е р 2.2. Докажем, что lim |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3n + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4Пусть ε – произвольное положительное число. Найдем такое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
натуральное n0 , что "n |
n ³ n0 будет выполняться неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n +1 2 |
|
|
|
|
|
3 |
( |
2n +1 - 2 |
( |
3n +2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<n. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
- |
|
|
< e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< e |
|
|
<e |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3n+ 2 |
3 |
|
|
|
|
3(3n + 2) |
|
|
9(n +2/ 3) |
9e |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
ε > 0 |
$n |
= |
é |
|
1 |
- |
|
2 |
|
|
ù +1 "n n ³ n |
|
|
|
2n +1 |
- |
2 |
|
|
< e, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ê |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
9e |
|
|
3 |
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3n + 2 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
что и требовалось доказать.3 |
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р им е р 2.3. Докажем, что 1 не является пределом последова- тельности {xn} , где xn = (-1)n .
|
|
4ε = 1 "n0 |
$n n = 2n0 + 1> n0 и |
|
(-1)n -1 |
|
= |
|
-1-1 |
|
= 2 ³1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
n |
2 |
+ 2n - 5 |
ü |
||||||||||||||
|
|
П р им е р 2.4. Докажем, что последовательность |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
í |
|
|
|
ý яв- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n - 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляется бесконечно большой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4Так |
как |
|
|
|
n2 + 2n - 5 |
= n |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
, |
|
то |
|
|
при |
|
|
|
|
n2 + 2n - 5 |
|
n - 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- n2 - 3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n - 3 |
n - 3 |
|
|
|
|
|
n |
+ 5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n > 3 |
xn |
= xn > n + 5, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 5n - 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
"E > 0 |
$n0 = [E]+ 4 "n ³ n0 |
|
|
n + 2n - 5 > E .3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n -15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
П р им е р 2.5. Докажем, что последовательность {2(−1)n n } не явля- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется бесконечно большой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4ε = 1 "n0 |
|
|
$n n = 2n0 +1> n0 и |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(−1) |
n |
= |
2(−1) |
|
+1 |
(2n0 +1) |
= |
|
|
|
<1 = e.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n0 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
П р им е р 2.6. Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim qn |
|
= |
ì0, при |
|
q |
|
< 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
î¥,при |
|
>1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
41) Если q = 0, равенство очевидно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) Пусть 0 < |
|
q |
|
< 1 и ε > 0 – произвольно. Тогда, используя нера- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
венство Бернулли |
|
|
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
æ |
|
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ö |
ön |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
1 |
|
|
|
ö |
|
|
|
|
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
qn |
|
= |
|
q |
|
n< |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
< e. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ç1+ ç |
|
-1÷ |
÷ ³ 1+ n |
ç |
|
|
|
-1÷ |
> nç |
|
|
-1÷ Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(1- |
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
q |
n |
ç |
|
ç |
|
q |
|
|
|
|
|
|
÷ |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
q |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
q |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Следовательно, ε > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
< e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
$n |
|
|
= |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú +1 "n |
> n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
êe(1 |
- |
q |
)ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
q |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3) Пусть |
|
q |
|
|
|
>1 и E > 0 – произвольно. Тогда из |
неравенства |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
n |
|
|
|
( |
( |
q |
|
|
)) |
n ³1 + n |
( |
q |
|
|
) |
> n |
|
( |
q |
|
|
) |
> E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1- |
|
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
E |
ù |
|
|
|
|
||||||||
находим, что |
q |
|
|
|
> E "n > |
|
|
|
|
|
|
|
(то есть можно взять n0 = ê |
|
|
|
|
|
|
|
ú +1).3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
- |
1 |
|
q |
|
-1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
|
Свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общие свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Докажем от противного. Пусть последовательность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
{xn} сходится и имеет пределы |
|
|
p1 и p2 , p1 ¹ p2 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
последовательности |
|
an |
= xn - p1 и |
|
|
|
|
bn = xn - p2 |
|
|
беско- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Сходящаяся |
по- |
нечно малы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{an - bn} . Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательность имеет |
Рассмотрим последовательность |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
только один предел |
|
{an } и {bn} – БМП, |
|
то и {an - bn} |
|
|
тоже БМП. Учиты- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
вая, что "n an - bn = p2 - p1 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim(an - bn ) = 0 = lim( p2 - p1 ) = p2 - p1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
p2 = p1 |
n |
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Сходящаяся |
по- |
Пусть |
последовательность { xn} |
сходится, тогда су- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательность огра- |
ществует такое число p , |
|
|
что an |
|
|
= xn |
|
|
- p БМП, и, следо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ничена. |
|
|
вательно, по свойству 1 для БМП, последовательность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. |
Это |
{an } ограничена, то есть $c > 0 |
|
|
"n |
|
|
|
an |
|
|
|
|
< c . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
свойство является |
не- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда $c1 = c + |
|
|
p |
|
|
|
"n |
|
|
xn |
|
|
< c1 , так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обходимым |
условием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходимости |
последова- |
|
|
|
"n |
|
xn |
|
= |
|
p + an |
|
£ |
|
p |
|
+ |
|
|
an |
|
< |
|
p |
|
|
+ c = c1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Так как lim xn = p , то последовательность an |
= xn - p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
является бесконечно малой. Тогда вне |
|
|
|
/ 2 - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
окрестности нуля лежит лишь конечное число |
|
членов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
последовательности {an} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть n0 – самое большое |
|
|
значение номера таких |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
членов, а |
|
M = min |
|
xn |
|
|
|
(в конечном множестве всегда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Если |
lim xn |
= p , |
|
|
|
|
|
|
|
|
1≤n ≤n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
есть минимальный элемент). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"n > n0 |
|
an |
|
< |
|
p |
|
/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p ¹ 0 |
и "n x ¹ 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
Отсюда при этих n получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{1/ xn} |
ограничена |
|
|
p |
|
= |
|
xn - an |
|
£ |
|
xn |
|
|
|
|
+ |
|
-an |
|
= |
|
xn |
|
|
|
|
+ |
|
an |
|
< |
|
xn |
|
+ |
|
p |
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
> |
|
|
|
p |
|
|
, |
|
|
< |
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Таким образом, "n |
|
|
|
|
|
|
£ max í |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
ý |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
p |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Арифметические операции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
условия имеем, |
|
что |
|
an |
= xn |
- a |
|
|
|
и |
bn |
|
= yn - b |
– |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
lim xn |
= a Î ¡ , |
|
|
|
|
БМП. Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а), б) (xn ± yn ) - (a ± b) = an ± bn – БМП; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim yn |
= b Î ¡ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) xn yn |
- ab = (an+ a)(bn + b) - ab = anbn+ anb + abn – |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(xn+ yn ) = a + b ; |
|
БМП; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ |
( |
x - y |
n ) |
|
= a - b ; |
|
|
|
г) так как последовательность { |
1 |
|
|
} ограничена по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
yn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
× y |
|
|
= a × b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n →∞ |
( |
|
n |
|
n ) |
|
|
|
|
|
|
|
свойству 3, а |
í(xn - a) - |
|
|
( yn - b) |
ý |
– БМП (как разность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
если |
|
"n yn ¹ 0 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
бесконечно малых последовательностей), то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
xn |
|
ö |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
æ |
|
|
a |
|
|
|
ö |
1 |
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
1 |
|
|
|||||||||||
b ¹ 0 , то limç |
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
n |
- |
|
|
= ç xn |
- |
|
|
yn ÷ |
|
= |
ç(xn- a) |
- |
|
|
|
( yn |
- b)÷ |
|
|
|
– БМП |
|||||||||||||||||||||||||
|
yn |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yn |
b |
b |
|
|
b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n →∞ è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø yn |
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø yn |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельный переход в неравенствах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Если lim xn |
= p и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
Так |
как |
|
lim x |
n |
= p , |
|
то |
a |
n |
= x - p |
– |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||
а) |
"n xn³c , то |
|
p ³ c ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
БМП, |
|
причем |
|
a |
n |
= x |
|
- p ³ c - p . |
Предполо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
"n xn£c , то |
p ≤ c ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
жим, |
что |
c > p , |
тогда |
|
|
|
c - p > 0; |
следова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) "n xn Î[a,b], то p Î[a,b]; |
|
|
|
тельно, |
$e = |
|
c - p |
> 0 "n |
|
|
an |
|
> e, но это про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) "n xn Î(a,b), то p Î[a,b]. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Замечание. Отметим, что даже |
|
тиворечит тому, что {an } БМП. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если все элементы сходящейся по- |
|
|
б) Доказывается аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательности {xn} |
будут удов- |
|
|
в), г) Следуют из а), б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
покажем |
на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
летворять |
|
|
строгому |
неравенству |
|
|
Справедливость |
замечания |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
примере |
|
|
последовательности |
|
|
|
|
xn = 1/ n : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xn > c |
( xn |
< c ), |
|
предел |
|
p |
может |
|
"n xn |
> 0, однако, lim xn |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оказаться равным c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6. |
Пусть |
lim xn |
= a , |
lim yn |
= b . |
|
|
Пусть zn = yn - xn . Тогда "n ³ n0 |
|
zn >0 (или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если, начиная с некоторого номера, |
zn³0 ). Так как {xn} и {yn} |
|
сходятся, то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементы последовательностей {xn} |
|
lim z |
|
|
= lim |
( |
y |
- x |
|
= lim y |
|
|
- lim x |
|
= b - a . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и {yn } |
удовлетворяют неравенству |
n |
|
n |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
n |
|
n ) |
|
|
n→ ∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xn < yn (или xn |
|
£ yn ), то a ≤ b |
|
|
|
|
Тогда из свойства 5 получаем, что b - a ³ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Теорема о трех последова- |
|
|
xn £ zn |
£ yn |
|
|
0 £ zn - xn |
|
£ yn - xn . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельностях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
( |
y |
|
- x |
|
|
= lim y |
- lim x |
|
= a - a = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
|
lim x |
|
= a , |
|
lim y |
= a , |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
n ) |
|
|
n |
→∞ |
|
n |
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно |
{yn - xn} |
|
|
– |
|
|
БМП, |
|
а |
значит, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
a ¡ . Если, начиная с некоторого |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
номера, элементы последователь- |
|
{zn - xn } также БМП |
(см. свойство 7 для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ности {zn } |
|
удовлетворяют |
нера- |
|
БМП). |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
венству xn |
£ zn |
|
£ yn , то lim zn = a |
|
|
|
|
zn = (zn - xn ) + xn ® 0 + a = a при n→∞ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
41 |
2.5. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1. |
lim x |
= ¥ тогда и только тогда, когда lim |
|
x |
|
= +¥ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть c > 0. Если, начиная с некоторого номера, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
а) lim y |
n |
= +¥ и $n |
"n ³ n |
|
x |
³ cy |
n |
, то lim x |
= +¥ ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
= -¥ и |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
= -¥ ; |
|
|
||||||||||||
|
б) lim y |
n |
$n |
"n ³ n |
|
x |
£ cy |
n |
, то lim x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) lim yn |
= +¥ и |
|
$n0 "n ³ n0 |
|
|
xn |
|
³ cyn , то lim xn = +¥ . |
||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Пусть lim xn = s , s Î{+¥,-¥}. Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) $n |
n→∞ |
y |
|
³ c > 0 , то lim x y |
|
|
= s ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
"n ³ n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n |
= -s. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) $n |
"n ³ n |
y |
n |
£ c < 0, то lim x y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Если lim x = ¥ и $n "n ³ n |
|
|
y |
|
|
³ c > 0, то lim x y |
|
|
= ¥ . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
n |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Если {yn } ограничена |
|
|
|
|
|
(xn + yn ) = +¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) снизу и lim xn |
|
= +¥ , то lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
(xn |
+ yn ) = -¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б) свеху и lim xn |
|
= -¥ , то lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 2.1* (теорема Штольца о пределе частного). Пусть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) последовательность {xn } строго монотонна; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
б) последовательности {xn } |
и {yn } |
являются одновременно либо |
|||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно малыми, либо бесконечно большими; |
|
|
|
|
yn - yn−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
в) существует конечный или бесконечный предел lim |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn - yn−1 |
|
|
|
|
|
n→∞ xn - xn−1 |
|||||||
Тогда существует предел lim |
|
= lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ x |
|
|
|
n→∞ x |
- x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
З ам е ч а н и е . Теорема остается справедливой, если последова- тельность {xn } строго монотонна, начиная с некоторого номера.
П р им е р 2.7*. Используя теорему Штольца, вычислим пределы:
|
|
1) lim n2 , 2) |
lim |
1k |
+ 2k +...+ nk |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n→∞ 2n |
n→∞ |
nk +1 |
|
|
|
|
|
||
41) Положив в теореме yn = n2 , xn = 2n , получим |
|
|
|
|||||||||
lim |
n2 |
= lim |
n2 - (n -1)2 |
= lim |
2n -1 |
= lim |
2n -1 |
. |
||||
2n |
2n - 2n−1 |
2n−1 (2 -1) |
2n−1 |
|
||||||||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|||||||
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
Применим теорему еще раз. Пусть yn=2n-1, xn=2n−1 , тогда
lim |
2n-1 |
= lim |
2n-1-( |
2(n-1)-1) |
|
|
= lim |
|
2 |
|
|
= lim |
1 |
|
|
= 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−2 |
|
|
2n−3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
2n−1-2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, lim |
n2 |
|
= lim |
2n -1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2n |
|
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) Положив в теореме yn |
= 1k |
+ 2k + ...+ nk , xn = nk +1 , получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim1k |
+ 2k + ...+ nk |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ nk +1 - (n - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ (n - (n -1))ånl (n -1)k −l |
|
|
|
n→∞ |
å |
n |
(n -1)k −l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=0 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
.3 |
||||||||
|
nl (n -1)k |
|
|
|
æ |
|
|
|
1 ök −l |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ök −l |
|
k |
+ |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ k |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åç1 |
- |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
åç1- lim |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n |
k |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
l =0 |
|
|
(n -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
l=0 è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
l=0 |
è |
|
|
|
n→∞ n |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
П р им е р 2.8*. Докажем, что если lim(y |
n+1 |
- y |
n |
|
)=a , |
a ¹ 0, aΡ, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
yn |
|
=a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4Пусть a > 0 . Так как lim |
(yn+1 - yn )=aΡ, то, начиная с неко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ a > 0. Поэтому последо- |
|||||||||||||||||||||||
торого номера n , выполняется |
|
|
|
y |
|
|
+1 |
- y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вательность { yn} будет монотонно возрастать, |
|
начиная с номера n0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При этом последовательность неограничена сверху, так как |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"C > 0 |
$n = |
éc - y |
|
ù |
|
"m > n |
|
yn |
|
> C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
a |
1 |
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Все условия теоремы Штольца выполнены. |
|
Положив в теореме |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Штольца xn = n , получим |
|
|
|
|
yn+1 − yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
yn |
|
= lim |
yn+1 |
= lim |
|
|
= lim( yn+1 - yn ) = a . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
n |
n→∞ n +1 |
|
n→∞ (n +1)- n |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
В случае, если |
a < 0, аналогично получаем, что последователь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность { yn} |
монотонно убывает, |
|
начиная с некоторого номера и не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограничена снизу.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Невозрастающие и убывающие (неубывающие и возрастающие) последовательности ограничены сверху (снизу) своим первым эле- ментом. Поэтому невозрастающая (неубывающая) последователь- ность будет ограниченной, если она ограничена снизу (сверху).
Теорема 2.2. (теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности). Если последовательность монотонна и огра- ничена, то она имеет конечный предел.
4Докажем сначала, что если |
{xn } не убывает и ограничена |
||
сверху, то она сходится и lim xn = sup |
{xn } . |
||
Так как {xn } |
n→∞ |
|
то $a Î ¡ a = sup{xn } . Пока- |
ограничена сверху, |
|||
жем, что αn = xn |
− a – БМП: |
|
|
1) Так как a = sup{xn } , то n |
xn |
≤ a ; следовательно, |
n αn = xn − a ≤ 0 .
2) sup{an} = sup{xn} - a = 0; следовательно,
ε > 0 k − ε < αk ≤ 0.
Так как xn не убывает, то
n > k − ε < αk ≤ αn ≤ 0 или an £ ak < e,
то есть αn – БМП; следовательно, lim xn = a = sup{xn} .
n→∞
Докажем теперь, что невозрастающая, ограниченная снизу по- следовательность имеет предел, равный inf {xn } . Для последова-
тельности {-xn } можно записать:
-lim xn = lim(-xn ) = sup{-xn } = -inf {xn} .3 |
||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
З ам е ч а н и е . Теорема остается справедливой, если {xn } моно- |
||||||||
тонна, начиная с некоторого номера. |
|
|
|
|
|
|
||
Постоянная Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 ön |
|||||
Теорема 2.3. Последовательность xn = ç1+ |
|
|
÷ |
сходится. |
||||
|
|
|||||||
|
|
è |
n ø |
|
||||
4Рассмотрим последовательность yn |
æ |
|
1 |
|
ön+1 |
|||
= ç1+ |
|
|
|
÷ . |
||||
n |
||||||||
1. { yn } ограничена снизу нулем. |
è |
|
ø |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
44 |
|
|
|
|
|
|
2. Покажем, что {yn } убывающая. Пусть n ³ 2, тогда
|
|
|
|
|
æ |
+ |
|
1 |
|
|
ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
ç1 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
n |
2n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 ö |
n |
|
|
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n−1 |
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= ç1+ |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
× |
|
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
yn |
|
|
|
æ |
|
|
1 ö |
+ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
è |
|
|
n -1ø n +1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç1+ |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
éНеравенство ù |
æ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
ö |
|
|
n |
|
|
æ |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
ê |
|
Бернулли |
|
|
ú |
> ç1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
× |
|
|
|
> |
ç1 |
+ |
|
|
÷ |
× |
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
2 |
-1 |
n |
+ |
1 |
n |
|
n |
+ |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
По теореме Вейерштрасса из 1) и 2) следует, что последователь-
æ |
|
1 |
ön+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ность yn = ç1 |
+ |
|
÷ |
|
сходящаяся. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
è |
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
æ |
1+ |
1 |
ön |
|
|
|
|
|
æ |
æ |
1+ |
1 |
ön+1 æ |
1+ |
1 ö−1 ö |
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
= limç |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
→∞ è |
|
ø |
|
|
|
|
→∞ è |
è |
|
|
|
n ø è |
|
|
n ø |
ø |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
ön+1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
ön+1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
= limç1 |
+ |
|
÷ |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
ç1 |
+ |
|
÷ |
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ è |
|
ø |
|
|
|
n→∞ |
1+ |
|
|
|
n→∞ |
è |
|
ø |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
+ |
|
1 |
ön |
|
имеет предел.3 |
|
||||||||||||||
значит, последовательность xn = ç1 |
|
n |
÷ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
З ам е ч а н и е . |
Предел последовательности x |
= |
æ1+ |
1 ön |
называют |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
÷ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
ç |
|
|||
постоянной Эйлера и обозначают буквой e : |
|
|
|
è |
n ø |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e ≈ 2.718281828459045. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Теорема 2.4. n ¥ справедливо неравенство |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
1 ön |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
1 ön+1 |
. |
|
|
|
|
|
(2.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç1+ |
|
|
|
÷ |
< e < |
ç1 |
+ |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
1 ön+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
41. Так |
как |
yn |
= ç1 |
+ |
|
÷ |
|
убывающая |
последовательность, а |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
n ø |
|
|
|
|
|
1 ön+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
число e – ее предел, то e < yn = ç1+ |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Последовательность xn |
|
æ |
|
+ |
1 |
ön |
возрастающая, так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ç1 |
n |
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ1+ |
|
|
1 |
|
ön+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ n + |
2 |
|
|
n ö |
|
+ |
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
n +1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ç |
|
|
|
× |
|
|
÷ |
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
æ |
|
|
1 |
ö |
n |
|
|
|
+1 |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
è n |
|
+1ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç1 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
æ |
|
|
|
1 |
|
|
ön+1 |
|
n +1 |
|
|
éНеравенство ù |
æ |
|
|
|
1 |
ö |
|
n +1 |
|
||||||||||||||||||||||||
= ç1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
× |
|
|
|
|
|
|
|
= |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
> ç1 |
- |
|
|
|
÷ |
× |
|
|
|
|
=1. |
|||||
|
(n |
+1) |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||
èç |
|
|
ø÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
Бернулли û |
è |
|
|
n +1ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
При этом lim xn |
|
= lim |
æ |
|
|
1 |
ön |
= e; следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ç1+ |
n |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
1 ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"n |
ç1+ |
|
|
÷ |
< e.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
n ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие 1. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
1 |
ö |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
< ln |
ç1+ |
|
|
÷ |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n + |
1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4Прологарифмировав левую часть неравенства (2.2), получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
æ |
|
|
1 |
ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
1 |
ö |
|
1 |
|
. |
||||
ln |
ç1+ |
|
|
÷ < ln e Þ |
|
n lnç |
1+ |
|
÷ |
< 1 Þ ln |
ç1 |
+ |
|
÷ |
< |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
n |
n |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
Прологарифмировав правую часть неравенства (2.2), получим:
æ |
|
1 ön+1 |
æ |
|
1 ö |
|
1 |
|
æ |
|
1 ö |
|
|
ln e < ln ç1 |
+ |
÷ |
Þ 1 < (n +1)ln ç1 |
+ |
÷ |
Þ |
|
|
< lnç1 |
+ |
÷ |
.3 |
|
n +1 |
|||||||||||||
è |
|
n ø |
è |
|
n ø |
|
è |
|
n ø |
|
|
|
|
|
æ |
|
1 |
|
ön |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 2. 0 < e -ç1 |
+ |
|
|
÷ |
< |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
1 ön |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ön+1 |
||||||
4Из (2.2) следует, что |
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
æ |
+ |
1 |
||||||||||||
0 < e - ç1+ |
|
÷ |
и |
e < ç1 |
n |
÷ |
, а значит, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
n ø |
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
||||
|
|
æ |
|
1 ön |
|
|
æ |
+ |
1 |
ön+1 |
- |
æ |
+ |
1 |
ön |
|
|
|
||||||||
|
0 < e - ç1+ |
|
÷ |
|
< ç1 |
n |
÷ |
|
ç1 |
n |
÷ < |
|
||||||||||||||
|
|
è |
|
n ø |
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
||||||
|
æ |
1 ön ææ |
|
|
1 ö |
|
ö |
|
|
æ |
|
1 |
ön |
1 |
|
e |
.3 |
|||||||||
< |
ç1+ |
|
÷ |
çç |
1+ |
|
|
÷ |
-1÷ |
= |
ç1 |
+ |
|
|
÷ |
|
|
< |
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|||||||||||||||||||
|
è |
n ø |
èè |
|
|
n ø |
|
ø |
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
Следствие 3. |
æ n ön |
æ n |
ön |
|
ç ÷ |
< n!< eç |
2 |
÷ . |
|
|
è e ø |
è |
ø |
41. Докажем неравенство |
|
æ n |
ön |
|
|
|
|
|
методом математической |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ < n! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
индукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è e |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При n = 1 неравенство справедливо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
æ k |
ök |
< k!, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
è e |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ k |
ök |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç ÷ |
|
(k +1) |
æ k +1ö |
|
|||||||||||||
( |
k +1 != |
( |
k +1 k!> æ |
ö |
|
( |
k +1 = |
è e |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
ç |
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
) |
ç ÷ |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
æ k |
+1ö |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è e ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è e |
ø |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
e |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
kk ek+1 (k +1)æ k +1ök +1 |
= |
|
|
|
kke |
|
|
|
æ k +1ök +1 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ek |
+ è e |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
k + |
|
|
è e |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
æ k +1ök +1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
æ k +1ök +1 |
æ k +1ök +1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
> |
ç |
|
|
|
÷ . |
|
|||||||||||
|
æ k + |
1ö |
k |
æ |
|
|
|
1 ö |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è e |
ø |
|
|
|
|
1+ |
|
|
è e |
|
|
ø |
|
|
è e |
ø |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
k ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Докажем теперь неравенство n! £ æç n +1ö÷n .
è2 ø
Так как среднее геометрическое положительных чисел не пре- вышает их среднего арифметического (см. пример 1.3), то
n n! = n 1× 2×3Ln £ 1+ 2 + 3 + ...+ n = n
Тогда, учитывая (2.2), получим
|
|
|
|
|
|
æ n +1ön |
|
|
|
|
æ |
+ |
1 |
ön |
||||
|
æ n +1 |
ö |
n |
|
ç |
|
|
÷ |
æ n |
ö |
n ç1 |
|
÷ |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
è 2 |
ø |
|
è |
|
n ø |
||||||||||
n!£ |
ç |
|
÷ |
|
= |
|
|
|
|
|
eç |
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
æ n |
ö |
n |
|
|
e |
|
|||||||||
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
eç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n +1) = n +1 . |
|||||
2n |
2 |
|
|||
æ n |
ön |
æ n |
ön |
||
eç |
|
÷ |
< eç |
|
÷ .3 |
|
|
||||
è 2 |
ø |
è 2 |
ø |
46 |
47 |
2.7.ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ИЧАСТИЧНЫЙ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если {xnk } – подпоследовательность последовательности {xn } и
lim xn = S , где S – число или одна из бесконечностей +∞ , −∞ , то
k ®¥ k
S называют частичным пределом последовательности {xn } .
Число i = liminf xk ( s = limsup xk ) называется нижним (верхним) |
|||||||||
n®¥ k ³n |
n®¥ k ³n |
|
|
|
|
|
|
|
|
пределом последовательности {xn} |
и обозначается lim xk |
( |
|
xk ) |
|||||
lim |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
k®¥ |
k ®¥ |
||
|
|
df |
|
|
|
df |
|
|
|
lim x |
= liminf x , |
|
lim |
x |
= limsup x . |
|
|
|
|
k®¥ |
k |
n®¥ k ³n k |
k ®¥ k |
n®¥ k ³n k |
|
|
|
||
З ам е ч а н и е . |
В общем случае, числа lim xn и inf {xn } , а также |
||||||||
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
lim xn и sup{xn } не совпадают.
n®¥
Лемма 2.2 (лемма Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности). Каждая ограниченная последовательность действительных чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.
4Пусть E – множество значений элементов ограниченной по- следовательности {xn } .
Если E конечно, то существуют, по крайней мере, одна точка x E и последовательность номеров n1 < n2 < ... <nk < ... таких, что xn1 = xn2 =...= x.
Подпоследовательность {xnk } постоянна, а значит, сходится.
Если E бесконечно, то по принципу Больцано-Вейерштрасса оно содержит, по крайней мере, одну предельную точку x . Поскольку
x – предельная точка E , можно выбрать n1 так, что |
|
xn |
− x |
< 1. Ес- |
||||||||||||||||
ли nk ¥ уже выбрано так, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
< 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
nk |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то, учитывая, что x – предельная точка E , найдем nk +1 |
так, что |
|
|
|||||||||||||||||
n |
< n |
и |
|
x − x |
|
< |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k |
k +1 |
|
|
nk+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Так как lim 1 = 0, то построенная последовательность x |
n |
, x ,..., x |
n |
,... |
||||||||||||||||
k®¥ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится к x.3
48
Лемма 2.3 (о неограниченной последовательности). Всякая неограниченная последовательность имеет частичный предел, рав- ный либо +∞ , либо −∞ .
4Неограниченная последовательность обязательно не ограни- чена либо сверху, либо снизу.
Пусть последовательность {xn } не ограничена сверху. Это озна- чает, что для любого ε > 0 найдется член последовательности xn такой, что xn > ε.
Для ε = 1 найдется член последовательности xn1 такой, что xn1 > 1. Его и примем за первый член последовательности.
Возьмем теперь ε = 2. Последовательность, образованная из ис- ходной удалением первых n1 членов, не ограничена сверху, соглас-
но лемме 2.1, а значит, найдется член xn2 такой, что
xn2 > 2, n2 > n1 .
Примем xn2 за второй член подпоследовательности.
Аналогично будем находить члены подпоследовательности xn3 , xn4 , … Этот процесс не оборвется ввиду неограниченности {xn } .
Таким образом, существует подпоследовательность {xnk } такая,
что k x |
nk |
> k , а значит, lim x = +∞ .3 |
|
k ®¥ nk |
Следствие. Из каждой последовательности действительных чи- сел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или под- последовательность, стремящуюся к бесконечности.
З ам е ч а н и е . В этих леммах говорится лишь о подпоследова- тельностях, а не о самих последовательностях. Последовательность может быть ограниченной (а значит, иметь сходящуюся подпосле- довательность), но не иметь предела (см. пример 2.15). Наличие частичного бесконечного предела не означает, что последователь- ность является бесконечно большой (см. пример 2.16).
Теорема 2.5. Нижний и верхний пределы последовательности являются соответственно наибольшим и наименьшим из ее частич- ных пределов. Другими словами, если L – множество всех частич-
ных пределов последовательности {xn } (наряду с числами L может содержать +∞ и −∞ ), то
lim x = inf L, |
lim |
x = sup L . |
|
k®¥ |
k |
k ®¥ k |
|
|
|
|
Отметим, что L ¹ Æ , поэтому нижний и верхний пределы всегда существуют.
49
Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремится к +∞ или −∞ в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают, или, что то же самое, когда все частичные пределы совпадают. Таким образом, если в последо-
вательности можно выделить две подпоследовательности, сходя- щиеся к разным пределам, то последовательность расходится.
Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность, то есть если в по-
следовательности можно выделить хотя бы одну расходящуюся подпоследовательность, то последовательность расходится.
Следствие 3. Всякая монотонная последовательность имеет
только один частичный предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Свойства нижних и верхних пределов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. Для любых последовательностей { xk } и { yk } : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim xk |
+ lim yk £ lim(xk + yk |
) £ |
|
|
|
|
|
(xk + yk ) £ |
|
|
|
|
xk + |
|
|
|
|
yk . |
|||||||||||||||||||||||||
lim |
lim |
lim |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k ®¥ |
k ®¥ |
|
|
|
k ®¥ |
|
|
|
|
|
k ®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
k ®¥ |
|
|
|
k ®¥ |
||||||||||||||||||||
2. Для любых последовательностей {xk } |
и {yk } |
с неотрицатель- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ными членами: |
|
|
|
£ lim(xk × yk |
|
|
) £ |
|
|
|
|
(xk × yk |
) £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim xk × lim yk |
|
lim |
|
lim |
|
xk |
× |
lim |
yk . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
k ®¥ |
k ®¥ |
|
|
|
|
k ®¥ |
|
|
|
k ®¥ |
|
|
|
|
|
k |
®¥ |
|
|
|
k®¥ |
||||||||||||||||||||||
3. Для произвольной последовательности {xk } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
inf x |
£ lim x |
|
£ |
|
x £ sup x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k ®¥ k |
|
k ®¥ |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Если k x |
> 0, то lim |
xk +1 |
£ lim k |
|
£ |
|
k |
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
xk +1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
lim |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k ®¥ x |
|
k ®¥ |
|
k |
k ®¥ |
|
|
|
k |
|
k®¥ x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
||
П р им е р 2.9♦. |
|
k |
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
= |
|
-1 k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
lim xk |
|
= liminf (-1)k |
= lim |
(-1) = -1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k ®¥ |
|
|
|
|
n®¥ k ³n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= limsup(-1)k |
|
|
|
|
|
(+1) = +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
xk |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
k ®¥ |
|
|
|
|
n®¥ k ³n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П р им е р 2.10. |
x |
= k(-1)k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
= liminf k(-1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lim x |
= lim0 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k ®¥ |
|
k |
n®¥ k |
³n |
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
xk |
= limsupk(-1)k |
= lim(+¥) = +¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k®¥ |
|
|
|
n®¥ k ³n |
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♦ Примеры 2.9–2.13 взяты из [4].
50
П р им е р 2.11. xk |
= k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xk = liminf k = lim n = +∞ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k ®¥ |
|
n®¥ k ³n |
|
|
|
|
n |
®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(+¥) = +¥ . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
= limsup k = lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k ®¥ |
|
|
n |
®¥ k ³n |
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П р им е р 2.12. xk |
= -k 2 . |
|
(-k 2 ) = lim |
(-¥) = -¥, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim xk |
= liminf |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k®¥ |
|
|
|
|
n®¥ k³n |
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
xk |
= limsup(-k2 ) = lim |
(-n2 ) = -¥. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k®¥ |
|
|
|
|
n®¥ |
k ³n |
|
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П р им е р 2.13. xk |
= (-1)k k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
lim xk |
= liminf (-1)k k = lim |
(-¥) = -¥ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k®¥ |
|
|
|
|
n®¥ k³n |
( |
|
|
|
|
|
|
n®¥ |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
= limsup |
-1 k k = lim |
+¥ |
= +¥ . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k®¥ |
k |
|
|
n®¥ |
k ³n |
) |
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
П р им е р 2.14. xk |
= |
(-1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если n = 2m +1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)k |
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
lim xk = liminf |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
= lim |
í |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|||||||||||||||||||
|
k®¥ |
|
|
n®¥ k ³n |
|
|
|
n®¥ |
ï |
|
|
|
|
|
, если n = 2m |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)k |
|
|
ì |
|
|
1 |
, если n |
= 2m |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim |
= limsup |
|
k |
= lim |
í |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
||||||||||||||
k ®¥ |
|
|
n®¥ k ³n |
|
|
n®¥ |
ï |
|
|
|
, если n |
= 2m +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
în +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
П р им е р |
2.15. Последовательность {x |
} , |
x |
|
= cos |
æ |
pn |
ö, ограни- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
ç |
|
÷ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
4 ø |
чена, но не имеет предела.
4Последовательность {xn } ограничена числом 1. Но она не яв- ляется сходящейся (см. теорему 2.5 следствие 5), так как
n x8n =1, x8n+4 = −1,
то есть существует две подпоследовательности {x8n } и {x8n+4} , схо- дящихся к разным пределам.3
51
П р им е р 2.16. Последовательность {x |
} , |
x |
n |
= ncos |
æ pn ö |
, не ог- |
||
|
n |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
раничена и не бесконечно большая. |
|
|
|
|
|
è 4 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Последовательность не ограничена, так как |
|
|
|
|||||
æ |
8p[c] ö |
|
|
|
|
|||
"c > 0 $n = 8[c] xn = 8[c]cosç |
|
|
÷ |
= 8[c] > c . |
|
|
||
|
4 |
|
|
|||||
è |
|
ø |
|
|
|
|
Последовательность не является бесконечно большой, так как в ней можно выделить подпоследовательность {x4n+2} сходящуюся к 0 .3
П р им е р 2.17. Для последовательности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
xn |
= (2sin(pn /2) -1)n + 3 , n Î ¥, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
найдем |
множество |
частичных |
пределов, |
lim x |
|
, |
|
|
x |
|
|
, |
а |
также |
|||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
inf {xn } , sup{xn }. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
41) Если n = 2k, |
|
k ¥, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
= −n + 3 = - |
1 + |
|
5 |
|
|
|
|
, |
|
lim x |
|
= - |
1 |
, |
- 1 |
|
< x |
|
|
£ |
1 . |
|
||||||||||||||||
2(2n -1) |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
2n -1 |
2 |
|
|
|
|
k →∞ |
2k |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2k |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||
2) Если n = 4k − 3, k ¥, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
= |
n + 3 |
= |
1 |
+ |
|
|
|
|
7 |
|
|
, |
|
|
lim x |
|
= |
1 , |
1 |
< x |
|
|
£ 4 , x |
= 4. |
||||||||||||||
|
|
|
2(2n -1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
2n -1 2 |
|
|
|
|
|
k →∞ |
4k |
−3 |
|
|
2 2 |
|
4k −3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
3) Если n = 4k −1, k ¥, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
= −3n + 3 = - |
3 |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
, |
lim x |
|
|
= - |
3 |
, - |
3 < x |
|
|
|
£ - 6 . |
||||||||||||||||||
2 |
2(2n -1) |
|
−1 |
2 |
4k −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
2n -1 |
|
|
|
|
k |
→∞ |
4k |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||
Таким образом, числа - |
1 |
, |
|
1 |
, |
|
- |
3 |
являются частичными предела- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ми данной последовательности. Рассмотренные три подпоследова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельности {x2k } , {x4k −3} , |
{x4k −1} |
составляют вместе всю данную по- |
следовательность. Отсюда следует, что других частичных пределов
данная последовательность не имеет, поэтому lim x |
= - |
3 |
, |
|
x |
= |
1 |
. |
||||
lim |
||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
n→∞ |
n |
|
n→∞ n |
|
|
|||||
Из полученных выше неравенств для элементов подпоследовательно- |
||||||||||||
стей следует, что inf {xn} = - |
3 |
, sup{xn } = 4.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
При выяснении вопроса о сходимости последовательности {xn } по определению сходимости приходится оценивать разность xn - a .
Иными словами, приходится предугадывать, чему равен предел a этой последовательности. Для многих последовательностей, напри- мер, для последовательности, сходящейся к постоянной Эйлера (см. теорему 2.3) сделать это невозможно. Поэтому важно иметь «внут- ренний» критерий сходимости последовательности, позволяющий выяснить вопрос о ее сходимости лишь по величине ее элементов.
Последовательность {xn } называется фундаментальной (или
последовательностью Коши), если
"e > 0 |
$n0 "n ³ n0 "m ³ n0 |
|
xn - xm |
|
< e |
|
|
или, что то же самое, |
$n0 "n ³ n0 "k xn+k - xn < e . |
"e > 0 |
З ам е ч а н и е . Неравенства n ³ n0 , m ³ n0 можно заменить нера- венствами n > n0 , m > n0 .
Свойства фундаментальных последовательностей
1. Всякая фундаментальная последовательность {xn } ограничена. 4Пусть {xn } – фундаментальная последовательность, тогда
ε > 0 |
$n0 "m ³ n0 "n ³ n0 |
|
xn - xm |
|
< e. |
|
|
Взяв, например, ε = 1, получим, что
$n1 "m ³ n1 "n ³ n1 xn -xm <1.
Так, при m = n1 и n ³ n1 получаем, что xn1 -1< xn< xn1 +1, то есть под- последовательность xn1 , xn1 +1, xn1 +2 ,... ограничена, а значит, ограничена и
вся последовательность {xn } , так как она получается из ограниченной последовательности добавлением конечного числа членов. 3
2. Всякая сходящаяся последовательность {xn } фундаментальна.
4Пусть lim xn = A , тогда
n→∞
ε > 0 $n0 "n ³ n0 xn - A < e/ 2.
Следовательно, ε > 0 $n0 "m ³ n0 "n ³ n0
xn - xm = (xn - A) -(xm - A) £ xn - A + xm - A < e / 2 + e / 2 = e,
то есть сходящаяся последовательность фундаментальна.3
53