- •Вычислительная практика. 2 курс Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Методы решения слау
- •2.2.1. Прямые методы решения слау
- •1. Правило Крамера
- •2. Метод обратных матриц
- •3. Метод Гаусса
- •4. Модифицированный метод Гаусса
- •5. Метод прогонки
- •6. Метод квадратного корня
- •2.2.2. Итерационные методы решения слау
- •1. Метод простой итерации
- •2. Метод Зейделя
- •2.3. Вычисление определителей высоких порядков
- •2.4. Вычисление обратных матриц
- •2. Другой подход к определению обратной матрицы а–1
- •3. Обращение матрицы а посредством треугольных матриц
- •2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы
–
Вычислительная практика. 2 курс Решение систем линейных алгебраических уравнений
Преподаватель Толоконников И.Г.
2.1. Основные понятия и определения
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются важной математической моделью линейной алгебры. На их базе ставятся такие практические математические задачи, как:
– непосредственное решение линейных систем;
– вычисление определителей матриц;
– вычисление элементов обратных матриц;
– определение собственных значений и собственных векторов матриц.
Решение линейных систем является одной из самых распространенных задач вычислительной математики. К их решению сводятся многочисленные практические задачи нелинейного характера, решения дифференциальных уравнений и др.
Вторая и третья задачи являются также и компонентами технологии решения самих линейных систем.
Обычно СЛАУ n-го порядка записывается в виде
или в развернутой форме
(1)
или в векторной форме
, (2)
где
;;.
В соотношениях (2):
Аназывается основной матрицей системы сn2элементами;
= (x1,x2, ... ,xn)Т– вектор-столбец неизвестных;
= (b1,b2, ... ,bn)Т– вектор-столбец свободных членов.
Определителем (детерминантом – det) матрицыА n-го порядка называется числоD(det A), равное
.
Здесь индексы ,, ...,пробегают все возможныеn! перестановок номеров 1, 2, ...,n;k– число инверсий в данной перестановке.
Первоначальным при решении СЛАУ (1) является анализ вида исходной матрицы Аи вектора-столбца свободных членовв (2).
Если все свободные члены равны нулю, т.е. = 0, то системаназываетсяоднородной. Если же0, или хотя бы одноbi0 (), то система (2) называетсянеоднородной.
Квадратная матрица Аназываетсяневырожденной, илинеособенной, если ее определитель |A|0. При этом система (1) имеет единственное решение.
При |A| = 0 матрицаАназываетсявырожденной, илиособенной, а система (1) не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Если |A|0 система (1) называетсяплохо обусловленной, т.е. решение очень чувствительно к изменению коэффициентов системы.
В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов: диагональные, трехдиагональные (частный случай ленточных), симметричные (аij=aji), единичные (частный случай диагональной), треугольные и др.
Решение системы (2) заключается в отыскании вектора-столбца = (x1,x2, ... ,xn)Т, который обращает каждое уравнение системы в тождество.
Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного, которые появляются в связи с округлением и ограниченностью разрядной сетки ЭВМ, – погрешность и «невязка»r:
(3)
где – вектор решения. Как правило, значения вектора– неизвестны.
Доказано, что если 0, то иr = 0. Обратное утверждение не всегда верно. Однако если система не плохо обусловлена, для оценки точности решения используют невязкуr.
2.2. Методы решения слау
Методы решения СЛАУ делятся на две группы:
– прямые (точные) методы;
– итерационные (приближенные) методы.
К прямымметодам относятся такие методы, которые, в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить точные значения неизвестных. Они просты, универсальны и используются для широкого класса систем. Однако они не применимы к системам больших порядков (n < 200) и к плохо обусловленным системам из-за возникновения больших погрешностей. К ним можно отнести:правило Крамера, методыобратных матриц,Гаусса,прогонки,квадратного корняи др.
К приближеннымотносятся методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы лишь с заданной точностью. Это итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. К ним относятся методыпростой итерации,Зейделя.