5. Метод анализа иерархий т. Саати

До сих пор мы рассматривали решение многокритериальной задачи в условиях определённости как формирование паретооптимального множества М_п и его последующее сужение одним из методов: указания нижних границ критериев, субоптимизации, лексикографической оптимизации, линейной свёртки.

Рассмотрим другой подход к решению многокритериальной задачи в условиях определённости — метод анализа иерархий Т. Саати. Так же как и при сужении множества М_п, в данном методе необходима дополнительная информация о задаче.

Ограничение: задача должна иметь небольшое число критериев и альтернатив.

Рассмотрим графическую интерпретацию метода (рисунок 5.1).

Иерархия имеет три уровня. На первом уровне иерархии расположена цель выбора. На втором уровне находятся критерии, каждый из которых вносит свой вклад в цель. На третьем (нижнем) уровне иерархии находятся альтернативы, которые оцениваются в терминах данных критериев.

Рисунок 5.1 – Графическая интерпретация метода иерархий

Обозначено:

X — множество допустимых альтернатив, X = {A, B, C}, X = n =3;

{f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆} — критерии;

k — число критериев, k = 6.

Предполагается, что ЛПР может отвечать на вопросы типа: «Во сколько раз критерий f_i превосходит критерий f_j по важности?» и «Во сколько раз альтернатива x_i превосходит альтернативу x_j по важности относительно критерия f_t?».

В подобных процедурах целесообразно использовать так называемые «транзитивные» шкалы (таблица 5.1):

Таблица 5.1 – Коэффициенты превосходства
Смысловая интерпретация	a = 1.5	a = 2
критерии эквивалентны	1	1
слабое превосходство: a	1.5	2
сильное превосходство: aa	2.25	4
очень сильное превосходство: aaa	3.38	8
абсолютное превосходство:aaaa	5.06 и более	16 и более

Комбинация двух слабых превосходств дает сильное превосходство, два сильных превосходства дают абсолютное превосходство и т. д.

Получаемые по этой шкале результаты имеют понятную смысловую интерпретацию. Конкретное значение a для данной шкалы можно положить равным a = 1.5 или a = 2.

При этом, если f_i/f_j=a, тоf_j/f_i= 1/a.

Рассмотрим проблему выбора научного руководителя студентом-дипломником. Глобальный показатель «качества», характеризующий правильность выбора, будем связывать с общим «удовлетворением работой» в конкретной научной группе. Этот показатель является достаточно расплывчатым и неопределённым, поэтому используются соответствующие критерии-заместители и задача трансформируется к некоторой многокритериальной задаче. Будем рассматривать следующие частные критерии оптимальности, характеризующие в совокупности исходный глобальный показатель. Расположим критерии по важности.

1. Перспективность проводимых в группе исследований с позиций последующего трудоустройства (f₁).

2. Личный интерес студента к проводимым исследованиям (f₂).

4. Связь научной группы с конкретными фирмами, принимающими на работу молодых специалистов (f₃).

5. Профессионализм, характер и человеческие качества научного руководителя (f₄).

3. Возможность дополнительного заработка в процессе обучения (f₅).

6. Состав научной группы и отношения в коллективе (f₆).

Предполагается, что все частные показатели необходимо максимизировать, то есть большему значению каждого показателя будет соответствовать более желаемое состояние студента.

Для решения задачи используем метод анализа иерархий Т. Саати.

Построим вектор весов для сформулированных частных критериев. Для этого зададим ЛПР k – 1 = 6 – 1 = 5 вопросов, и определим вектор превосходства. Пусть в результате диалога были получены следующие данные (a = 2).

a₁₂ = f₁/f₂ = 2 a₂₃ = f₂/f₃ = 1 a₃₄ = f₃/f₄ = 1 a₄₅ = f₄/f₅ = 4

a₅₆ = f₅/f₆ = 1

Получив от ЛПР ответы на пять вопросов, построим матрицу попарных сравнений критериев (таблица 5.2).

Таблица 5.2 – Матрица попарных сравнений критериев
	f1	f2	f3	f4	f5	f6
f1	1	2	2	2	8	8
f2		1	1	1	4	4
f3		1	1	1	4	4
f4		1	1	1	4	4
f5					1	1
f6					1	1

При заполнении матрицы использовалось свойство транзитивности выбранной шкалы. Если критерий f₁ по важности в 2 раза превосходит критерий f₂, а критерий f₂ превосходит в 1 раз критерий f₃, то есть a₁₂ = 2 и a₂₃ = 1, то превосходство критерия f₁ над критерием f₃ составит:

a₁₃ = a₁₂a₂₃ = 21 = 2.

Аналогично:

a₁₄ = a₁₃a₃₄ = 21 = 2; a₁₅ = a₁₄a₄₅ = 24 = 8;

a₁₆ = a₁₅a₅₆ = 81 = 8.

Симметрично главной диагонали получим:

a₃₁ = ½; a₄₁ = ½; a₅₁ = 1/8; a₆₁ = 1/8.

Заполняем вторую строку таблицы:

a₂₄ = a₂₃a₃₄ = 11 = 1; a₂₅ = a₂₄a₄₅ = 14 = 4; a₂₆ = a₂₅a₅₆ = 41 = 4.

Симметрично главной диагонали получим:

a₄₂ = 1; a₅₂ = ¼; a₆₂ = ¼.

Заполняем третью строку таблицы:

a₃₅ = a₃₄a₄₅ = 14 = 4; a₃₆ = a₃₅a₅₆ = 41 = 4.

Симметрично главной диагонали получим:

a₅₃ = ¼; a₆₃ = ¼.

Заполняем четвертую строку таблицы:

a₄₆ = a₄₅a₅₆ = 41 = 4.

Симметрично главной диагонали получим:

a₆₄ = ¼; a₆₅ = 1.

Подсчитаем вклад каждого критерия в общую цель. При этом должно выполняться условие нормированности вектора a: .

Для критерия f₁ просуммируем значения первого столбца матрицы с учетом нормированности:

a₁ + a₁/2 + a₁/2 + a₁/2 + a₁/8 + a₁/8 = 1 a₁ = 0.364

Получили, что «доля важности» критерия f₁ среди всех критериев составляет 0.364.

Аналогично подсчитаем вклады в общую цель остальных критериев.

Для критерия критерия f₂:

2a₂ + a₂ + a₂ + a₂ + a₂/4 + a₂/4 = 1 a₂ = 0.182

Для критерия критерия f₃:

2a₃ + a₃ + a₃ + a₃ + a₃/4 + a₃/4 = 1 a₃ = 0.182

Для критерия критерия f₄:

2a₄ + a₄ + a₄ + a₄ + a₄/4 + a₄/4 = 1 a₄ = 0.182

Для критерия критерия f₅:

8a₅ + 4a₅ + 4a₅ + 4a₅ + a₅ + a₅ = 1 a₅ = 0.045

Для критерия критерия f₆:

8a₆ + 4a₆ + 4a₆ + 4a₆ + a₆ + a₆ = 1 a₆ = 0.045

Таким образом, вектор весов a для шести критериев имеет вид:

a = (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆) = (0.364, 0.182, 0.182, 0.182, 0.045, 0.045).

В качестве альтернатив рассмотрим три руководителя: A, B и C.

Теперь выполним парные сравнения альтернатив A, B, C относительно каждого критерия оптимальности f₁, f₂, f₃, f₄, f₅, f₆. Получим шесть матриц размерностью 3 ´ 3.

Пусть перспективность исследований у альтернативы A такая же, как у альтернативы B, а у альтернативы B ниже, чем у альтернативы C.

Пусть для критерия f₁ ЛПР указало следующие коэффициенты превосходства: a¹_AB = a¹₁₂ = 1, a¹_BC = a¹₂₃ = ½.

Тогда матрица сравнения альтернатив относительно критерия f₁ имеет вид (таблица 5.3):

Таблица 5.3 – Альтернативы
f1	A	B	C
A	1	1
B	1	1
C	2	2	1

Для альтернативы A:

a¹₁ + a¹₂ + a¹₃ = a¹₁ + a¹₁ + 2a¹₁ = 1 4a¹₁ = 1 a¹₁ = ¼ = 0.250

Для альтернативы B:

a¹₁ + a¹₂ + a¹₃ = a¹₂ + a¹₂ + 2a¹₂ = 1 4a¹₂ = 1 a¹₂ = ¼ = 0.250

Для альтернативы C:

a¹₁ + a¹₂ + a¹₃ = a¹₃/2 + a¹₃/2 + a¹₃ = 1 2a¹₃ = 1 a¹₃ = ½ = 0.500

Вектор весов a¹ содержит компоненты:

a¹ = (a¹₁, a¹₂, a¹₃) = (0.250, 0.250, 0.500).

Они интерпретируются как значения критерия f₁ для трёх альтернатив A, B, C: f₁(A) = 0.250 f₁(B) = 0.250 f₁(C) = 0.500

Аналогично ранжируем варианты A, B и C по остальным критериям.

Пусть личный интерес студента к альтернативе A выше, чем к альтернативе B, и к альтернативе B выше, чем к альтернативе C.

Пусть для критерия f₂ ЛПР указало следующие коэффициенты превосходства: a²_AB = a²₁₂ = 2, a²_BC = a²₂₃ = 2.

Тогда матрица сравнения альтернатив относительно критерия f₂ имеет вид (таблица 5.4):

Таблица 5.4 – Альтернативы
f2	A	B	C
A	1	2	4
B		1	2
C			1

Для альтернативы A:

a²₁ + a²₂ + a²₃ = a²₁ + a²₁/2 + a²₁/4 = 1 7a²₁ = 4 a²₁ = 4/7 = 0.571

Для альтернативы B:

a²₁ + a²₂ + a²₃ = 2a²₂ + a²₂ + a²₂/2 = 1 7a²₂ = 2 a²₂ = 2/7 = 0.286

Для альтернативы C:

a²₁ + a²₂ + a²₃ = 4a²₃ + 2a²₃ + a²₃ = 1 7a²₃ = 1 a²₃ = 1/7 = 0.143

Вектор весов a² содержит компоненты:

a² = (a²₁, a²₂, a²₃) = (0.571, 0.286, 0.143).

Они интерпретируются как значения критерия f₂ для трёх альтернатив A, B, C: f₂(A) = 0.571 f₂(B) = 0.286 f₂(C) = 0.143

Пусть связь с фирмами у альтернативы A ниже, чем у альтернативы B, и у альтернативы B намного ниже, чем у альтернативы C.

Пусть для критерия f₃ ЛПР указало следующие коэффициенты превосходства: a³_AB = a³₁₂ = ½, a³_BC = a³₂₃ = ¼.

Тогда матрица сравнения альтернатив относительно критерия f₄ имеет вид (таблица 5.5):

Таблица 5.5 – Альтернативы
f3	A	B	C
A	1
B	2	1
C	8	4	1

Для альтернативы A:

a³₁ + a³₂ + a³₃ = a³₁ + 2a³₁ + 8a³₁ = 1 11a³₁ = 1 a³₁ = 1/11 = 0.091

Для альтернативы B:

a³₁ + a³₂ + a³₃ = a³₂/2 + a³₂ + 4a³₂ = 1 11a³₂ = 2 a³₂ = 2/11 = 0.182

Для альтернативы C:

a³₁ + a³₂ + a³₃ = a³₃/8 + a³₃/4 + a³₃ = 1 11a³₃ = 8 a³₃ = 8/11 = 0.727

Вектор весов a³ содержит компоненты:

a³ = (a³₁, a³₂, a³₃) = (0.091, 0.182, 0.727).

Они интерпретируются как значения критерия f₄ для трёх альтернатив A, B, C: f₃(A) = 0.091 f₃(B) = 0.182 f₃(C) = 0.727

Пусть профессионализм руководителя альтернативы A намного выше, чем у альтернативы B, и у альтернативы B выше, чем у альтернативы C.

Пусть для критерия f₄ ЛПР указало следующие коэффициенты превосходства: a⁴_AB = a⁴₁₂ = 4, a⁴_BC = a⁴₂₃ = 2.

Тогда матрица сравнения альтернатив относительно критерия f₄ имеет вид (таблица 5.6):

Таблица 5.6 – Альтернативы
f4	A	B	C
A	1	4	8
B		1	2
C			1

Для альтернативы A:

a⁴₁ + a⁴₂ + a⁴₃ = a⁴₁ + a⁴₁/4 + a⁴₁/8 = 1 11a⁴₁ = 8 a⁴₁ = 8/11 = 0.727

Для альтернативы B:

a⁴₁ + a⁴₂ + a⁴₃ = 4a⁴₂ + a⁴₂ + a⁴₂/2 = 1 11a⁴₂ = 2 a⁴₂ = 2/11 = 0.182

Для альтернативы C:

a⁴₁ + a⁴₂ + a⁴₃ = 8a⁴₃ + 2a⁴₃ + a⁴₃ = 1 11a⁴₃ = 1 a⁴₃ = 1/11 = 0.091

Вектор весов a⁴ содержит компоненты:

a⁴ = (a⁴₁, a⁴₂, a⁴₃) = (0.727, 0.182, 0.091).

Они интерпретируются как значения критерия f₅ для трёх альтернатив A, B, C: f₄(A) = 0.727 f₄(B) = 0.182 f₄(C) = 0.091

Пусть возможность дополнительного заработка у альтернатив A, B, C одинаковы.

Пусть для критерия f₅ ЛПР указало следующие коэффициенты превосходства: a⁵_AB = a⁵₁₂ = 1, a⁵_BC = a⁵₂₃ = 1.

Тогда матрица сравнения альтернатив относительно критерия f₅ имеет вид (таблица 5.7):

Таблица 5.7 – Альтернативы
f5	A	B	C
A	1	1	1
B	1	1	1
C	1	1	1

Для альтернативы A:

a⁵₁ + a⁵₂ + a⁵₃ = a⁵₁ + a⁵₁ + a⁵₁ = 1 3a⁵₁ = 1 a⁵₁ = 1/3 = 0.333

Для альтернативы B:

a⁵₁ + a⁵₂ + a⁵₃ = a⁵₂ + a⁵₂ + a⁵₂ = 1 3a⁵₂ = 1 a⁵₂ = 1/3 = 0.333

Для альтернативы C:

a⁵₁ + a⁵₂ + a⁵₃ = a⁵₃ + a⁵₃ + a⁵₃ = 1 3a⁵₃ = 1 a⁵₃ = 1/3 = 0.333

Вектор весов a⁵ содержит компоненты:

a⁵ = (a⁵₁, a⁵₂, a⁵₃) = (0.333, 0.333, 0.333).

Они интерпретируются как значения критерия f₃ для трёх альтернатив A, B, C: f₅(A) = 0.333 f₅(B) = 0.333 f₅(C) = 0.333

Пусть отношения в коллективе у альтернативы A хуже, чем у альтернативы B, а у альтернативы B лучше, чем у альтернативы C.

Пусть для критерия f₆ ЛПР указало следующие коэффициенты превосходства: a⁶_AB = a⁶₁₂ = ½ , a⁶_BC = a⁶₂₃ = 2.

Тогда матрица сравнения альтернатив относительно критерия f₆ имеет вид (таблица 5.8):

Таблица 5.8– Альтернативы
f6	A	B	C
A	1		1
B	2	1	2
C	1		1

Для альтернативы A:

a⁶₁ + a⁶₂ + a⁶₃ = a⁶₁ + 2a⁶₁ + a⁶₁ = 1 4a⁶₁ = 1 a⁶₁ = ¼ = 0.250

Для альтернативы B:

a⁶₁ + a⁶₂ + a⁶₃ = a⁶₂/2 + a⁶₂ + a⁶₂/2 = 1 4a⁶₂ = 2 a⁶₂ = 2/4 = 0.500

Для альтернативы C:

a⁶₁ + a⁶₂ + a⁶₃ = a⁶₃ + 2 a⁶₃ + a⁶₃ = 1 4a⁶₃ = 1 a⁶₃ = ¼ = 0.250

Вектор весов a⁶ содержит компоненты:

a⁶ = (a⁶₁, a⁶₂, a⁶₃) = (0.250, 0.500, 0.250).

Они интерпретируются как значения критерия f₆ для трёх альтернатив A, B, C: f₆(A) = 0.250 f₆(B) = 0.500 f₆(C) = 0.250

Полученные по каждому критерию локальные приоритеты рассматриваемых альтернатив занесём в таблицу 5.9:

Таблица 5.9 – Синтез глобальных критериев альтернатив
Веса критериев Альтернативы	f1 (0.364)	f2 (0.182)	f3 (0.182)	f4 (0.182)	f5 (0.045)	f6 (0.045)
A	0.250	0.571	0.091	0.727	0.333	0.250
B	0.250	0.286	0.182	0.182	0.333	0.500
C	0.500	0.143	0.727	0.091	0.333	0.250

Для определения глобальных приоритетов альтернатив умножим значение каждого критерия по данной альтернативе на вес критерия и просуммируем полученные произведения.

Воспользуемся методом линейной свёртки:

U(i) = , i = A, B, C, и получим значения обобщённого критерия для трех вариантов A, B, C.

U(A) = 0.364´0.250 + 0.182´0.571 + 0.182´0.091 + + 0.182´0.727 +

+ 0.045´0.333 + 0.045´0.250 = 0.370

U(B) = 0.364´0.250 + 0.182´0.286 + 0.182´0.182 + 0.182´0.182 +

+ 0.045´0.333 + + 0.045´0.500 = 0.247

U(C) = 0.364´0.500 + 0.182´0.143 + 0.182´0.727 + 0.182´0.091 +

+ 0.045´0.333 + 0.045´0.250 = 0.383

0.370 + 0.247 + 0.383 = 1

Таким образом, с точки зрения применяемого метода наиболее перспективен вариант C. Однако вариант A не намного хуже.

Следует отметить, что в данном примере альтернативы A, B, С были обезличены. Когда же в качестве альтернатив берутся конкретные объекты, то следует учитывать реальное положение вещей.

Например, пусть целью является покупка квартиры, а в качестве альтернатив взяты следующие города: A — Москва, B — Екатеринбург, C — Нижний Тагил. Если критерием является цена квартиры, то коэффициенты превосходства должны быть выбраны, например, следующим образом:

a¹_AB = a¹₁₂ = ½, a¹_BC = a¹₂₃ = ¼.

Действительно, цена — это негативный критерий, а цены за жильё в Москве выше, чем в Екатеринбурге, а в Екатеринбурге существенно выше, чем в Нижнем Тагиле.

Если же целью является возможность получения высшего образования, а критерием является число высших учебных заведений в данном городе, то для тех же альтернатив коэффициенты превосходства могут быть выбраны, например, таким образом:

a¹_AB = a¹₁₂ = 2, a¹_BC = a¹₂₃ = 4.

В данном случае критерий позитивный, а число высших учебных заведений в Москве выше, чем в Екатеринбурге, а в Екатеринбурге существенно выше, чем в Нижнем Тагиле.