- •1.Числовая последовательности и ее предел.
- •2.Способы задания функции.
- •1. Аналитический способ
- •2. Табличный способ
- •3. Графический способ
- •3.Предел функции. Односторонние пределы.
- •Левый и правый пределы функции
- •4.Первый замечательный предел.
- •7.Производная. Геометрический и механический смысл производной
- •8.Таблица производных и правила дифференцирования
- •9.Возрастание и убывание функции
- •Точки экстремума, экстремумы функции.
- •Достаточные условия возрастания и убывания функции.
- •Достаточные условия экстремума функции.
- •Первое достаточное условие экстремума.
- •Второй признак экстремума функции.
- •Третье достаточное условие экстремума функции.
- •10. Экстремумы функции Определение экстремума
- •Точки экстремума
- •Задачи на нахождения экстремума функции
- •11.Производные высших порядков. Формула Тейлора
- •Формула Тейлора
- •Определённый интеграл
- •13. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •14.Определение числового ряда. Сходимость ряда.
- •15.Признак сходимости Даламбера и Коши
- •17.Понятие суммы степенного ряда. Ряд Тейлора
- •Определение
- •Формула Тейлора для большого числа переменных
- •19.Частная производная
- •Обозначение
- •Геометрическая интерпретация
- •Примеры
- •21.Дифференциальное уравнение
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Порядок дифференциального уравнения
- •Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения в частных производных
- •Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения
- •Примеры
1.Числовая последовательности и ее предел.
Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
(1)
следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .
Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут
Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:
если .
Пример 1.
Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …
Р е ш е н и е : нетрудно видеть, что
и т.д.
Следовательно
Пример 2.
Найти общий член последовательности
Р е ш е н и е : не трудно видеть, что
,
, и т.д.
Следовательно:
Пример 3.
Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный нулю.
Р е ш е н и е : запишем ряд членов последовательности
и положим . Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется равенство
Действительно
и т.д.
В данном случае N (см. определение предела последовательности) можно принять равным трем (или любому числу, больше трех), так как, если порядковый номер члена последовательности n больше трех, то выполняется неравенство
.
Положим теперь . Ясно, что для всех членов последовательности начиная с седьмого,
.
Теперь за N можно принять шесть (или любое число, большее шести). Если , то и т.д.
В данном случае можно найти общее выражение для числа N в зависимости от . Общий член данной последовательности . Задавшись произвольным положительным числом , мы должны в соответствии с определением предела, потребовать, чтобы при n > N выполнялось неравенство , если .
Решая неравенство относительно n, получаем . Итак, за N можно принять число (или любое большее число). Таким образом, мы показали, что для любого существует такое , чтопри , выполняется неравенство , а это и доказывает, что пределом последовательности является нуль.
Отметим, что в этой задаче члены последовательности приближались к своему пределу, оставаясь больше этого предела, как говорят, справа.
2.Способы задания функции.
1. Аналитический способ
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определения функции у = f (х) совпадает с областью определения выражения f (х), т. е. с множеством тех значений х, при которых выражение f (х) имеет смысл.