Задание 6
Функция распределения случайной величины X задана выражением:
Найти:
1) плотность вероятности f(x);
2) математическое ожидание Mx ;
3) среднее квадратическое отклонение σx;
4) вероятность попадания в интервал ( 0 ; 4 ),
Решение:
Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
Используем форму
Задание 7
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 мм и 2 мм. Найти вероятность того, что:
1) В результате испытания случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (6;12);
2) Величина X примет значение меньше, чем 12 .
Решение:
Согласно свойствам нормально распределенной случайной величины вероятность попадания ее значений в промежуток (α; β) вычисляется по формуле:
,
где т – математическое ожидание случайной величины,
σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины,
-
интегральная функция Лапласа, ее значения
определяют по таблице.
Учитывая данные условия задачи
,
вычисляем искомую вероятность:
Согласно свойствам нормально распределенной случайной величины вероятность того, что случайная величина примет значение меньше указанного значения, вычисляется по формуле:
.
Следовательно:
Ответ.
1)
;
2)
.
Задание 8
Для случайного вектора:
,
образующего
систему случайных величин, известна
ковариационная матрица
,
элементы которой каждому студенту
следует сформировать на основе матрицыK, вычеркнув из нее i-ю
строку и i-й столбец
(i ≈ номер варианта).
1. Определить, чему равны средние квадратические отклонения случайных величин XI , входящих в систему.
2. Установить, какие случайные величины XI системы коррелированны, а какие не коррелированы.
3. Получить матрицу коэффициентов корреляции вектора x91.
Решение:
Удалим 1-ый столбец и строку получим следующую таблицу
|
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
X9 |
|
X1 |
4 |
-0,5 |
0 |
0 |
1,2 |
-1,3 |
0,7 |
0 |
1,6 |
|
X2 |
-0,5 |
9 |
-1,5 |
0,3 |
0 |
1,7 |
0 |
-2,6 |
0,8 |
|
X3 |
0 |
-1,5 |
16 |
0,5 |
-2,8 |
3,6 |
0,8 |
0 |
1,1 |
|
X4 |
0 |
0,3 |
0,5 |
4 |
3,8 |
2,1 |
-0,9 |
0 |
0 |
|
X5 |
1,2 |
0 |
-2,8 |
3,8 |
25 |
-0,4 |
0 |
0 |
1,8 |
|
X6 |
-0,3 |
1,7 |
3,6 |
2,1 |
-0,4 |
16 |
-1,2 |
0 |
0 |
|
X7 |
0,7 |
0 |
0,8 |
-0,9 |
0 |
-1,2 |
9 |
0 |
1,1 |
|
X8 |
0 |
-2,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25 |
0 |
|
X9 |
1,6 |
0,8 |
1,1 |
0 |
1,8 |
0 |
1,1 |
0 |
16 |
По диагонали стоят К(Хi,Xi)=M(Xi^2)-M(Xi)^2=D(Xi), т.е. квадраты среднеквадратических отклонений.
К(Хi,Xi)=D(Xi)=s(Xi)^2
Коррелированы могут быть две величины (это означает, что они неким образом зависят друг от друга)
Там, где К=0 - некоррелированные величин.
Некоррелированные величины:
X1 и Х3, Х1 И Х4, Х1 И Х8
X2 и Х5, Х2 и Х7
X3 и Х1, Х3 и Х8
Х4 иХ1, Х4 и Х8, Х4 и Х9
Х5 и Х2,Х5 и Х7, Х5 и Х8
Х6 и Х8, Х6 и Х9
Х7 и Х2, Х7 и Х5, Х7и Х8
Х8 иХ1, Х8 иХ3, Х8 и Х4, Х8 и Х5, Х8 и Х6, Х8 и Х7, Х8 и Х9
Х9 иХ4, Х9 и Х6, Х9 и Х8.
Коэффициент корреляции равен К(Хi, Xj)/(s(Xi)*s(Xj), где s(Xi) - среднеквадратическое отклонение
Матрица коэффициентов корреляции имеет вид
|
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
X8 |
X9 |
|
X1 |
1,000 |
-0,042 |
0,000 |
0,000 |
0,100 |
-0,144 |
0,117 |
0,000 |
0,133 |
|
X2 |
-0,042 |
1,000 |
-0,188 |
0,015 |
0,000 |
0,142 |
0,000 |
-0,130 |
0,050 |
|
X3 |
0,000 |
-0,188 |
4,000 |
0,050 |
-0,350 |
0,600 |
0,200 |
0,000 |
0,138 |
|
X4 |
0,000 |
0,015 |
0,050 |
0,160 |
0,190 |
0,140 |
-0,090 |
0,000 |
0,000 |
|
X5 |
0,100 |
0,000 |
-0,350 |
0,190 |
1,563 |
-0,033 |
0,000 |
0,000 |
0,113 |
|
X6 |
0,000 |
0,142 |
0,900 |
0,140 |
-0,033 |
1,778 |
-0,200 |
0,000 |
0,000 |
|
X7 |
0,000 |
0,000 |
0,080 |
-0,090 |
0,000 |
-0,200 |
2,250 |
0,000 |
0,138 |
|
X8 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,000 |
0,000 |
|
X9 |
0,133 |
0,050 |
0,138 |
0,000 |
0,113 |
0,000 |
0,138 |
0,000 |
1,000 |