Sbornik_zadach_po_matematicheskomu_analizu
.pdfФинансовый университет при Правительстве Российской Федерации
кафедра «Математика-2»
Математический анализ
сборник задач
1
Глава 1. Числовые множества. Функции
Для данных множеств А и В найти A |
B , A |
B , A \ B и B \ A . |
|||
1.1. |
A 1;0;2;3 , B 1;2;4 . |
1.2. |
A 0;1;2;4 , B 1;3;4;5 . |
||
1.3. |
A 1;2;4 , B 1;3;4 . |
1.4. |
A 2; 1;1;4 , B 0;1;3 . |
||
1.5. |
A 0;3 , B 3;6 . |
1.6. |
A 2;2 , B 1;2 . |
||
1.7. |
A 2;1;4 , B 1;4 . |
1.8. |
A 3;5 , |
B 0;1;3 . |
|
1.9. |
A 2;7 , B 1;5 . |
1.10. |
A 0;4 , |
B 3;6 . |
|
1.11. |
A 1;5 , B 2;6 . |
1.12. |
A 1;6 , |
B 1;3 . |
Найти область определения функции.
1.13.y x 2 1x .
1.15.y x 1 6 x .
1.17.y x2 5x 4 .
1.19. y |
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
x2 |
x 2 |
|||||
|
|
|
|
1.21.y x2 2x 3 .
x3
1.23. y |
|
1 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1.25.y sin x 1.
1.27.y cos2 2x 1 .
1.29.y lgsin x .
1.31. y 2 x 1 . ln x 2
1.33. y arccos 1 2x .
|
y |
|
x2 4x |
|||||
1.14. |
|
|
|
|
|
. |
||
x2 |
2x 24 |
|||||||
|
y |
|
|
|
x |
|
||
1.16. |
|
|
. |
|||||
x2 |
4x 8 |
1.18.y x2 3x 10 x 3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.20. |
y |
|
|
x 1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 x |
6 |
|
||||||||||
1.22. |
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
|
|
x |
|
|
||||||||||
1.24. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.26.y tg 16 x2 .
1.28.y logx 2x 1 .
1.30. |
y |
|
2 |
lg x3 |
x . |
|
|
||||
|
x2 |
||||
|
4 |
|
|
1.32.y x 3 ln 2 4x .
1.34. y 3x2 6 x .
2
1.35.y arcsin 4x .
|
|
|
3 2x |
. |
|
1.37. y |
3 x arcsin |
||||
5 |
|||||
|
|
|
|
1.36. y 2arcsin x 1x .
|
1 |
|
|
|
|
|
x . |
||||
1.38. |
y e |
x |
Найти множество значений функции.
1.39.y x2 8x 20 .
1.41.y 4 x 3.
1.43.y 2 x x2 .
1.45. |
y |
1 |
. |
|
|||
2x x2 3 |
1.47.y 2sin x 6.
1.49. |
y |
2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
1.51. |
y |
2 |
|
|
. |
|||
|
||||||||
3 sin x |
1.53.y 3 x2 1 .
1.55.y 22sin x 1 .
1.57.y log3 sin x 2 .
1.59.y 4 arctgx .
1.40.y 12 x x2 .
1.42. |
y |
|
2x |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
1 |
||
1.44. |
y |
|
2 |
. |
||
|
|
|||||
x2 |
5x 6 |
1.46.y x 52x 1 1 2x .
1.48.y 3cos2x 4.
1.50.y sin x sin x .
1.52. y |
5 |
. |
|
||
2 cos3x |
1.54. y 3cos x .
1.56.y log3 1 2cos x .
1.58.y 3sin 2x e x .
1.60. y 12 arccos3x .
Исследовать четность или нечетность функции.
1.61.y x6 2x4 2.
1.63.y x2 1 sin 2x .
1.65. y |
1 |
|
1 |
. |
|
|
|||
x 4 3 |
x 4 3 |
x 2
1.67.y ln x 2 .
1.62. |
y x3 5x2 5 . |
||||||
|
y |
|
4x |
|
|||
1.64. |
|
. |
|||||
x2 16 |
|||||||
1.66. |
y e 2 x |
e2 x . |
|||||
1.68. |
y x |
3x 1 |
. |
||||
|
|
|
|||||
3x |
1 |
||||||
|
|
|
|
3
1.69.y 2x4 sin2 x 1.
1.71.y sin3 x cos3 x .
1.73.y x 4 x2 .
|
y |
5x |
|
1.75. |
|
. |
|
5x 1 |
1.70. y 1 x x2 1 x x2 .
1.72. y x3 3 x .
1.74.y 2x 1 x .
2
1.76. y arcsin 1 2xx2 .
Исследовать, является ли данная функция ограниченной.
1.77.y 4 x2 .
|
1 |
|
|
1.79. |
y |
|
. |
x2 3x 5 |
1.81.y x3 2 .
x2 x
1.83.y x x .
1.85.y 1 cos 2x .
1.87.y 3x 4 .
1.89.y 2sin2 x 6 .
|
|
|
1 |
|
|
1.91. |
y arcsin |
|
. |
||
x2 3x 4 |
|||||
|
|
1 |
ln x |
||
1.93. |
y |
|
. |
||
|
|||||
|
|
2 |
|
1.78. y 2 . x2 4
1.80.y x1 9x2 .
1.82.y x2 x 1 .
x2 1
1.84.y xx .
1.86.y 2 x2 .
1.88.y 4cos3x 5.
1.90.y ln x2 x 1 .
1.92.y log2 cos 1x .
1.94. y 2cos x 3sin 2x .
Найти основной период функции.
|
y sin 3x 2 . |
|
y 2cos |
x |
|
|
|
|||||||||||
1.95. |
1.96. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|||
1.97. |
y cos2 5x . |
1.98. |
y |
|
sin 2x |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.99. |
y |
cos |
|
. |
1.100. |
y tg |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Для данной функции найти обратную функцию.
1.101. |
y 2 4x . |
|
|||||||||
1.103. |
y x2 |
2x 4 , D [1; ) . |
|||||||||
1.105. |
y x2 |
4x 5, D ;2 . |
|||||||||
1.107. |
y x3 |
2 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ;0 . |
|
1.109. |
y 3 x2 1 , |
||||||||||
1.111. |
y |
1 x |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
1 x |
|
||||||||
|
y |
|
|
ex |
|
||||||
1.113. |
|
|
. |
|
|
||||||
1 ex |
|
||||||||||
1.115. |
y arcsin |
x |
. |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1.102. |
y 2x 1. |
|
||||||
1.104. |
y 3 6x x2 , |
|
||||||
D [ 3; ) . |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||
1.106. |
y |
|
|
|
. |
|
|
|
1 x |
|
|||||||
1.108. |
y |
|
x 2 |
. |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|||
1.110. |
y ex 1 . |
|
||||||
1.112. |
y lg(x 2) 1. |
|
||||||
1.114. |
y 2sin 3x. |
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|||
1.116. |
y |
|
, D [1; |
) . |
||||
1 x2 |
Составить сложные функции f x и f x , если |
|
|
||||||||||||||||||||
|
f x ex , x |
|
|
|
f x |
|
1 |
, x x2 |
|
|
||||||||||||
1.117. |
x 3 . |
1.118. |
2 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
1.119. |
f x ln 2x, x x2 |
x 3 . |
1.120. |
f x tgx, x ex 1. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
1.121. |
f x |
x, x x4 4 . |
1.122. |
f x |
|
|
|
, x 2x 3. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.123. |
f x ln x2 3 , x ex . |
1.124. |
f x |
|
|
1 |
, x |
|
1 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x2 1 |
|||||||
Построить графики функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.125. |
y 2 x 1 2 . |
|
|
1.126. |
y 3 x 1 2 . |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.127. |
y |
|
. |
|
|
1.128. |
y 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.129. |
y 2x 3 . |
|
|
|
|
|
1.130. |
y 1 3x 1 . |
|
|
||||||||||||
1.131. |
y 2 x 2 |
3. |
|
|
1.132. |
y log2 x 1 . |
|
|
5
1.133. y 1 log3 2x .
1.135. y 2x 1.
1.137. y 2 x 3 .
1.139. y 3cos2x 2.
x |
|
|
|
1.141. y tg |
|
|
. |
|
|||
|
2 |
|
4 |
1.143. y 2 x 1 . 1.145. y 2x 1 2x . 1.147. y x x 2 .
1.149. y xx .
1.134. y log4 1 x .
1.136. y 3 x .
|
|
1. |
1.138. y sin x |
|
|
|
2 |
|
1.140. y sin 2 x 1.
1.142. y x 2 3.
1.144. y x2 3 2. 1.146. y 3x x . 1.148. y x x .
1.150. y sin x sin x .
Глава 2. Теория пределов
Используя определение предела, доказать, что:
2.1. |
lim |
2 |
|
0 . |
2.2. |
lim |
3n 1 |
3. |
||||||
|
|
n 1 |
|
|||||||||||
|
n n 3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||
2.3. |
lim |
|
4n 1 |
|
2 . |
2.4. |
lim |
4n2 1 |
4 . |
|||||
|
2n 1 |
n2 |
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
Найти предел числовой последовательности.
2.5. |
lim |
3n2 |
4n 1 |
. |
||||
n2 |
n 5 |
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
|||
2.7. |
lim |
5n 2 |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
2n2 |
3n |
4 |
||||||
|
n |
|
|
lim |
2n 1 2 |
2.9. |
. |
|
|
n |
n2 3n |
|
lim |
n 4 3 n2 |
2.11. |
. |
|
|
n |
2n3 n |
2.6. |
lim |
2 3n n2 |
|
|
. |
|
1 5n 2n2 |
||||||
|
n |
|
||||
2.8. |
lim |
6n2 n 4 |
. |
|
||
2 3n |
|
|||||
|
n |
|
|
|
||
2.10. |
lim |
3n2 1 |
|
|
. |
|
4n 1 2 1 |
||||||
|
n |
|
||||
|
lim |
n 3 2 n 2 2 |
||||
2.12. |
4n 1 |
. |
||||
|
n |
|
6
2.13. |
lim |
n 2 3 n 1 3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n2 4n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2.15. |
lim |
|
|
|
|
n2 4n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.17. |
lim |
3 |
|
|
|
n3 2n2 n 4 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.19. |
lim |
3 |
|
|
|
4n5 n2 2n |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.21. |
lim |
|
|
|
|
4n4 5n2 2n |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
|
|
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3 |
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4 |
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2.23. |
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. |
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2n 5 |
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n |
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|
n |
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4 |
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lim |
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3n 2 |
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4n |
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2.25. |
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. |
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3n 1 |
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n |
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n |
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2 |
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lim |
n 5 |
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n |
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2.27. |
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. |
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n |
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2n |
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n |
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3 |
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2 |
1 |
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3n |
2 |
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1 |
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2.29. |
lim |
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n |
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. |
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6n 1 |
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n |
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2n 1 |
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2.31. |
lim |
n |
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2n2 |
n |
. |
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|||||||||||||||||||
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n 1 |
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n |
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2.33. |
lim |
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2 |
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n |
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n 4n |
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4n2 n |
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||||||||||||||||||||||||||
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|
. |
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||||||||||||||||||||||||||
2.35. |
lim |
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n2 9n n |
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|
n |
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lim 3 |
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n2 . |
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2.37. |
n6 |
2n3 n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
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2.39. |
lim |
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5n 1 |
|
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|
. |
|
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|
n 2n |
|
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|
n2 |
6n |
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lim |
n 1 2 n 3 2 |
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2.14. |
|
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|
2n3 5 |
|
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|
|
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. |
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
2.16. |
lim |
|
|
|
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|
n2 8 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||
2n2 n |
|
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
2.18. |
lim |
|
|
|
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|
3 4n |
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|
. |
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||||
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|
8n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n |
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|||||||
2.20. |
lim |
|
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|
3 5n |
|
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|
. |
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|
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||||||||||||||
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|||||||
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n |
3 |
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27n |
4 |
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9 |
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||||||||||||
2.22. |
lim |
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9n3 |
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2n2 2 |
. |
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|
n |
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|
n 4 |
|
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||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
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|
3 |
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|||||||||||||||||||||
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lim |
|
2n 1 |
|
|
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|
|
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|
3 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||
2.24. |
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||||||||||
|
n |
n |
5 2n 4 |
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2 |
|
1 |
|
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2n |
2 |
|
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3 |
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|||||||||||||||||||||
2.26. |
lim |
|
|
n |
|
|
|
|
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|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
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|
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2n 1 |
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n |
n 3 |
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|
n3 |
|
|
|
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|
3n2 |
|
|
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|||||||||||||||||
2.28. |
lim |
|
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. |
|||||
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2 |
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3n 1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
2n 3 98 n 1 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.30. |
|
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|
2n |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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100 |
|
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|||||||||
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||||||||||||||
2.32. |
lim |
n |
|
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|
n2 n |
. |
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
4 |
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n |
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||||
|
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|
2n . |
||||||||||||||||||||||||||||||
2.34. |
lim |
|
|
4n2 n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
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|
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|
3 |
|
|
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|
|
n . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2.36. |
lim |
n3 |
|
4n2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
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|||||||||||||||||||||
2.38. |
lim |
2n |
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n4 4 |
. |
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|||||||||||||||||||||||
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|
n |
|
3 |
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|||||||||||||||||
|
n |
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2 |
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2.40. |
lim |
n2 |
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n3 2n |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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n 1 |
2 |
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||||||||||||||||||
|
n |
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7
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|
n |
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2 3n n2 |
|
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2.41. |
lim |
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|
. |
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|
n |
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|
5n |
||
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2.43. |
lim |
2 |
n 3 |
. |
||||||
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|||||||
|
n |
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n 2 2 |
||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.45. |
lim |
|
2n 2n 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2n 1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.47. |
lim |
|
2n 5n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3n 6n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
3 2n |
|
|
|
|
|||||||||||||
2.49. |
lim |
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
5n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
2n |
|
3 n |
|
|
|
|
|||||||||||||
2.51. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
2n 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim |
n 3 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.53. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
n 4 |
3n |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.55. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.57. |
lim |
|
n |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти предел функции. |
||||||||||||||||||||||
2.59. |
lim |
|
2x2 4x 1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 3x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.61. |
lim |
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x x2 |
2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2.63. |
lim |
x2 x 1 |
x2 x |
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.65. |
lim |
|
x2 6x 2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
2x2 3x 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.67. |
lim |
x 3 |
2x 1 x 1 3 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.42. |
|
n |
|
n |
n |
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.44. |
lim |
2n n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
2n 1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.46. |
lim |
2 8n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
3 8n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.48. |
lim |
3n 2n 1 |
|
. |
|
|
|
|||||||||
2n 3n 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3n 1 |
|
|
|||||||
2.50. |
lim |
1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
2n |
|
|
||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
n |
|
|
1 n |
|
|
|||||||
2.52. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 3n 2
2.54. lim . n n 4
2n 1 3n
2.56. lim . n n 3
n2 2 n2 1
2.58. lim . n n2 4
2.60. |
lim |
|
x3 2x2 1 |
. |
|
|
|||
|
4x3 3x |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
2.62. |
lim |
|
3x3 1 |
. |
|
|
|||
|
2x2 x 2 |
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
x |
|
||||||
2.64. |
lim |
x2 2x 3 |
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.66. |
lim |
|
x2 7x 2 |
. |
|
|
|||
|
2x 5 |
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
2.68. |
lim |
6 x 1 x 2 x 3 |
. |
||||||
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
x2 |
|
|
|
8
2.69. |
lim |
|
|
5x2 24x 5 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.71. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
x2 2x |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.73. |
lim |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 9 |
|
|
|
|
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.75. |
lim |
2 |
|
|
x 2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
3x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.77. |
lim |
|
|
|
x3 |
8 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 |
|
x2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
||||||||||||||
2.79. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
x 2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x sin |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.81. |
lim |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.83. |
lim |
sin 6x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.85. |
lim |
|
|
|
tg7x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.87. |
lim |
|
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.89. |
lim tg3x ctg8x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.91. |
lim |
sin2 x 2 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x2 4x 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.93. |
lim |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 x2 x
2.95. lim . x 0 2 2x2
2.70. |
lim |
|
|
x2 4x 2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2.72. |
lim |
|
2x2 5x 12 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
64 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2.74. |
lim |
2x |
18 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 9 3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2.76. |
lim |
|
x3 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
2.78. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 1 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x cos |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.80. |
lim |
|
|
|
|
|
|
2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2.82. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
2.84. |
lim |
|
sin2 4x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
2.86. |
lim |
|
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|
|
tg5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.88. |
lim |
ctg 4x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
x 0 |
|
ctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.90. |
lim |
|
|
|
|
|
tg4x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
x2ctg5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2.92. |
lim |
|
|
sin2 x 1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||
|
x 1 x2 2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.94. |
lim |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.96. |
lim |
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
2
1 x x
2.97. lim . x 0 1 2x
2.99. |
lim |
|
x |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
1 3x 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.101. |
lim |
|
1 3x2 |
1 |
. |
||||
|
|
2x3 x2 |
|
||||||
|
x 0 |
|
|
2.103. lim 1 4x 1 . x 0 ln 1 3x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.105. |
lim |
|
|
|
|
3x 1 1 |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x 4 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.107. |
lim |
|
|
ln 1 6x |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.109. |
lim |
|
|
1 cos 2x |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 x |
|
1 x |
1 |
|
|
|
||||||||||||
2.111. |
lim |
arcsin x 3 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
x2 3x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln 1 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.113. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
sin2 2x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.115. |
lim |
|
1 xsin x 1 |
. |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x3 2x2 |
|
|
|
3
4x 1 x
2.98. lim . x 0 3x 1
2.100. |
lim |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 4x |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.102. |
lim |
|
6x3 3x2 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 3x |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.104. |
lim |
1 |
1 5x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
e3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.106. |
lim |
1 |
|
5x2 |
|
|
1 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||
2.108. |
lim |
|
|
|
e3x 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
ln 1 5x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.110. |
lim |
|
|
cos3x 1 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
1 7x |
2 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.112. |
lim |
|
2x2 2x |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
arctg x 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
2.114. |
lim |
cos5x 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
x3 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.116. |
lim |
|
ex 1 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3. Непрерывность функции
Исследовать функцию на непрерывность. Если имеются точки разрыва, указать их тип. Для точек разрыва первого рода найти величину скачка функции.
|
4 |
|
|
|
x |
||
3.1. |
f (x) |
|
. |
3.2. |
f (x) |
|
. |
x2 2x 1 |
x2 x 6 |
10