- •Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Красноярский юридический техникум
- •Пояснительная записка
- •Функция Понятие функции. Способы задания и свойства
- •Решение типовых заданий
- •Упражнения и задания для самостоятельной работы
- •Предел функции. Методы вычисления пределов функции.
- •Основные теоремы о пределах
- •Решение типовых заданий
- •Упражнения и задания для самостоятельной работы
- •Непрерывность функции
- •Односторонние пределы Скачок функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Решение типовых заданий
- •Упражнения и задания для самостоятельной работы Теоретические вопросы
- •Задание 1. Доказать, что функция непрерывна в точке (найти ).
- •Задание 3. Вычислить пределы функции.
- •Задача 5. Вычислить пределы функций.
- •Задача 6. Вычислить пределы функций.
- •Список рекомендуемой литературы
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Красноярский юридический техникум
Сборник задач и упражнений
по математике
Учебно-методическое пособие для специальности:
080114 Земельно–имущественные отношения
(базовый курс ПСО)
2010 г.
Содержание
Министерство образования и науки Российской Федерации 1
Сборник задач и упражнений 1
по математике 1
Учебно-методическое пособие для специальности: 1
080114 Земельно–имущественные отношения 1
(базовый курс ПСО) 1
2010 г. 1
Содержание 2
Пояснительная записка 3
I.Функция 4
Понятие функции. Способы задания и свойства 4
Решение типовых заданий 6
Упражнения и задания для самостоятельной работы 8
II. Предел функции. 11
Методы вычисления пределов функции. 11
Основные теоремы о пределах 12
Решение типовых заданий 13
Упражнения и задания для самостоятельной работы 19
III.Непрерывность функции 25
Решение типовых заданий 26
Упражнения и задания для самостоятельной работы 28
Список рекомендуемой литературы 33
Пояснительная записка
Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для организации практических занятий и процесса самоподготовки студентов второго курса, обучающихся по специальности 080114 земельно-имущественное хозяйство, изучающих раздел «Функции. Пределы функции. Непрерывность функции». Цель данного методического пособия оказать студентам помощь в овладении методикой решений практических задач по математике.
По данному разделу предусматривается 4 практических занятий, в том числе выполнение студентами на последнем занятии аудиторной контрольной работы.
Каждое практическое занятие содержит следующие структурные элементы:
1).10-минутная проверочная работа по учебному материалу предыдущего занятия;
2). Теоретическое введение по теме занятия, решение типовых задач;
3). Самостоятельная работа студентов;
4). Методические указания и задания для подготовки к следующему занятию.
На 10-минутную проверочную работу и теоретическое введение с решением типовых задач отводится 1 академический час. Второй час отводится на самостоятельную работу и выдачу домашнего задания и указаний для самоподготовки студентов к следующему занятию.
Предлагаемые типовые задачи, и задачи для самостоятельного решения составляют набор «обязательных» задач для всех студентов. Дополнительные задачи могут быть предложены наиболее подготовленным студентам.
-
Функция Понятие функции. Способы задания и свойства
Определение функции: Если каждому элементу х множество Х (х € Х) ставиться в соответствие вполне определенный элемент у множества y (y € Y), то говорят, что множестве, Х задана функция у=f(х).
При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у- зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствие.
Множество Х называется областью определения (или существования) функции, а множество Y - областью значений функции.
Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у =f(х) вообще имеет смысл.
Например, область определения функции есть полуинтервал , так как 10–х> если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок [0; 10].
Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции.
а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида у=f(х). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически.
Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция
имеет два аналитических выражения: х2 (при х< 0) и х + 3 (при х 0).
б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(х), например таблица логарифмов.
в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты — соответствующие им значения функции у=f(х).
г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(х)=1, если х рационально; f(х) = 0, если х иррационально.
Рассмотрим основные свойства функций.
1. Четность и нечетность. функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)=f(x) и нечетной, если f(-х)=-f(х). В противном случае функция у =f(х) называется функцией общего вида.
Например, функция у=х2 является четной (так как f(-х)=(-х)2 =x2 и f(-х)=f(х), а функция у = х3 - нечетной (так как f(-х)=(-х)3 =-х3 и f(-х)=-f(x)
В то же время, например, функция у = х2 + х3 является функцией общего вида, так как f(-х)= (-х)2 + (-х)3 = х2 -х3 f(-х)f(х) и f(-х)-f(х).
График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции у=х2 на рис.1.), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции у=х3 на рис.2.)
Рисунок 1 Рисунок 2
2. Монотонность. Функция f=f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему (меньшему) значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть х1, х2 € Х и х2> х1. Тогда функция возрастает на промежутке Х, если Х, если
f(х2) >f(х1), и убывает, если f(х2) <f(х1) (см. рис. 3).
Рисунок 3.
Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.
3. Ограниченность. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число M>0, что для любого х € Х. В противном случае функция называется неограниченной.
Например, функция у=sinх ограничена на всей числовой оси, так как либо для любого х € R.
4. Периодичность. Функция у=f(х) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(х +Т)=f(х).
Например, функция у=sinх имеет период Т=2π, так как для любых х sin(х+2π)=sinx