- •Вопрос 20 Расстояние м/у двумя точками. Площадь треугольника.
- •Вопрос 15
- •Вопрос 17.Правило Крамера.
- •Вопрос 21. Деление отрезка в данном отношении.
- •Вопрос 22. Полярная система координат.
- •Вопрос 23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Вопрос 24. Уравнение прямой , проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Вопрос 25. Угол между прямыми . Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 26. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •Вопрос 27. Нормально уравнение прямой. Расстояние от точки для прямой.
- •Вопрос 28. Окружность
- •Вопрос 29. Эллипс.
- •Вопрос 30. Гипербола.
- •Вопрос 31.Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Вопрос 32.Парабола.
- •Вопрос 18 Метод Гаусса.
- •Вопрос 19. Односторонние системы линейных уравнений.
1 вопрос Векторы на плоскости и в пространстве.
Вектором АВ называется направленный отрезок прямой на которых заданы начало и направление. Длиной вектора АВ называется величина равная длине отрезка, изображающего вектор. Вектор, у которого начало и коне совпадают наз-ся нулевым. Вектор, лежащий на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными. Т.к. нулевой вектор не имеет направления, то считается, сто он коллинеарен любому вектору.
Произведением вектора а на число λ называет вектор в, равный λ*а, модуль которого
|b|=|a|*|a|
Направление которого совпадет с вектором а, если λ >0, и противоположна ему если λ <0
Суммой двух векторов а и в называется вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец совпадает с концом вектора в.
Разность векторов а и в наз-ся вектор а+(-в).
2 вопрос. Арифметические векторы пространства Rn .
Арифметическим n-мерным вектором наз-ся любая последовательность из n-действительных чисел.
а=(а1,а2,…,аn)
Числа а1, а2, …. и т.д. наз-я координатами вектора.
Суммой двух векторов а и в с одинаковым числом координат наз-ся вектор
а+в=(а1+в1,…аn+вn)
Произведение вектора а на К наз-ся вектор Ка=(а1К,..,аnK)
Справедливы следующие свойства сложения и умножения векторов
Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором введены операция сложения и умножения вектора на число называют n-мерным арифметическим пространством Rn. Геометрический смысл имеют лишь R, R2, R3. Пространства Rn, где n>3-это чисто мат. Объект, удобный для описания различных процессов, в том числе и экономических.
Вопрос 20 Расстояние м/у двумя точками. Площадь треугольника.
Для любых двух точек М(х1;у1), М2(х2;у2). Расстояние: d=√x2-x1)2+(y2-y1)2 (1)
Док-во:
Опустим из точек M1 и M2 на оси Ox и Oy. Обозначим через K точку их пересечения. Легко видеть, что длина |M1K|=|x2-x1| |M2K|=|y2-y1|
Отсюда, по теореме Пифагора
d=√(M1K)2+(M2K)2=√(x2-x1)2+(y2-y1)2
Площадь треугольника
Для любых точек А(х1;у1) В(х2;у2) С(х3;у3), не лежащие на одной прямой площадь треугольника выч-ся по формуле
S=1/2((x2-x1)(y2-y1)-(x3-x1)(y3-y1)) (2)
Док-во:
Площадь ABC:
SABC=SADEC+SBCEF-SABFD (3)
Площадь трапеции SADEC= |DE|*(|AD|+|EC|)∕2= (x3-x1)(y3+y1)/2
SBCEF=|EF|*(|EC|+|BF|)/2=(x2-x3)(y2+y3)/2
SABFD=|DF|*(|AD|+|BF|)/2=(x2-x1)(y1+y2)/2
Подставляя эти значения в (3) получим формулу (2)
S= 0.5/ |-(x2-x1)*(y2+y1)+(x2-x3)*(y2+y3)+(x3-x1)*(y3+y1)]| => (2)
Вопрос 15
Системы линейных уравнений с n-переменными.
Системы m-линейных уравнений с n-независимыми имеет вид
Где aij-это коэффициент при неизвестных, а bi-это свободные члены или равные части уравнения
Систему (1) можно кратко записать в виде
ijxj= bi, i= (2)
Решением системы (1) наз-ся совокупность n-чисел x1,x2,…, xn при подстановке которой в систему (1) каждое уравнение обращается в верное равенство. Система уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если не имеет решений.
Совместная система наз-ся определенной, если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет более одного решения.
совместная и определенная, т.к. имеет ед. решение (10;0)
несовместимая
совместная, но не определенная
Две системы ур-ний равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.
Запишем систему (1) в матричной форме.
, B= ()
Где A-матрица коэф. при неизвестных
В-матрица столбец свободных членов.
Тогда систему (1) можно записать Ax=B (3)
Система m-линейных уравнений с n-переменными. Там же, метод обратной матрицы Вопрос 16. Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных m=n, тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель ∆=|A|называется определителем системы.
Рассмотрим решение системы двух уравнений с двумя неизвестными.
(4) | исключим переменную x2, умножив 1 ур-е на а22 второе-на (-а21) и сложить.
Исключим переменную х1, умножив 1ур-е ( -а21), 2 ур-е-на а11 и сложить
В результате получим систему
(5)
Выражение в скобках есть определитель
∆1=a11a22-a21a12=_+
∆2=a11b2-a21b1=_+
(6)
Из полученной системы следует, что если определитель системы ∆ отличен от нуля, то система (4) имеет единственное решение опред-е по формуле x1= , x2=
Частные случаи:
1)Если ∆=0, ∆1≠0, или ∆2≠0, то система (4) несовместная
2)Если ∆=∆1=∆2=0, то система (4) неопределенная, имеет бесчисленное множество решений.
Для получения решения системы (1) при m=n в общем виде методом обратной матрицы предположим, что квадратная матрица системы –невырожденная, т.е. ее определитель |A|≠0. В этом случае сущ-т обратная матрица А-1. Умножая обе части матрицы равенства АХ=В на А-1 получим А-1(АХ)=А-1В. Т.к. по определению обратной матрицы
А-1(АХ)= АА-1Х=ЕХ=Е, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица столбец
Х=А-1В (7)