- •6. Законы композиции
- •6.1. Композиция объектов. Таблица Кэли.
- •6.2. Законы композиции на множестве.
- •6.3. Свойства внутреннего закона композиции.
- •6.4. Регулярный, нейтральный и симметричный элементы.
- •6.5. Аддитивные и мультипликативные обозначения.
- •6.6. Алгебраические системы.
- •6.7. Подсистемы.
- •6.8. Делители нуля.
6. Законы композиции
6.1. Композиция объектов. Таблица Кэли.
В математике и ее приложениях большое значение имеют отношения, ставящие в соответствие паре каких-либо объектов (а, b) третий объект с. Примерами таких отношений являются действия над числами. В общем случае отношение может представлять собой некоторую операцию не только между числами, но и между объектами любой природы. Запись a┬b=c (a┴b=c) означает, что а в композиции c b дает с. Символ ┬ (┴) обозначает операцию, объекты а и b называют операндами, а объект с – результатом операции или композицией объектов а и b.
Обозначим множества операндов соответственно через А и В (aA, bB), а множество результатов операции — через С (сС). Так как множество всех пар (а, b) есть прямое произведение , то операцию определяют как отображение множества в С, т. е. , и часто называют законом композиции.
Любой закон композиции над конечными множествами можно задавать прямоугольной матрицей (таблицей Кэли). Строки таблицы соответствуют элементам множества А, столбцы - элементам множества В. На пересечении строки и столбца, соответствующих паре (а, b), располагается элемент с= a┬b. Хорошо известными примерами являются таблицы сложения и умножения одноразрядных чисел. В общем случае таблица, определяющая бинарную операцию, имеет вид:
-
┬
…
…
…
…
…
…
…
…
…
6.2. Законы композиции на множестве.
Множества А, В, С, участвующие в композиции , не обязательно должны быть различными. Если , то говорят, что закон композиции определен на множестве S.
Различают внутренний закон композиции и внешний закон композиции , где Ω и S - различные множества. В случае внутреннего закона говорят, что множество образует группоид относительно операции ┬. В случае внешнего закона композиции элементы называют операторами, а Ω - множеством операторов на множестве S.
Примерами внутреннего закона композиции являются сложение и умножение на множестве действительных чисел, а также геометрическое суммирование векторов на плоскости или в пространстве. Умножение вектора на скаляр может служить примером внешнего закона композиции на множестве векторов, причем операторами являются скаляры - элементы множества действительных чисел.