МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
Лабораторная работа
на тему: «Нелинейная парная регрессия»
по дисциплине «Эконометрика»
Вариант 9
Выполнил студент гр. 061800-31 |
Нуриева Г. Р. |
Проверил Ассистент кафедры «Математических методов экономике» |
Неустроев Г.В. |
Ижевск, 2011 г.
Содержание
Постановка задачи 3
Решение задачи 4
Вывод 9
Приложение 1 10
Приложение 2 12
Приложение 3 22
Приложение 4 29
Приложение 5 37
Приложение 6 55
Приложение 7 69
Постановка задачи
Определить регрессию пенсий на заработную плату за 2006 г. по данным, приведенным в приложении 1.
-
Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи (необходимо построить график распределения зависимой переменной от независимой).
-
Рассчитайте параметры уравнений степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной и гиперболической парной регрессии.
-
Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
-
Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
-
Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
-
Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера.
-
По значениям характеристик, полученных в предыдущих заданиях, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Решение задачи
-
Построим поле корреляции:
Рис. 1. Поле корреляции (график рассеивания исходных данных)
По графику можно сделать вывод, что представленную зависимость можно описать с помощью модели линейной парной регрессии, а также рассмотрим следующие модели парной регрессии: степенную, экспоненциальную, полулогарифмическую и гиперболическую парные регрессии.
-
Рассчитаем параметры данных уравнений парной регрессии
а) Для начала рассмотрим степенную парную регрессию: Она приводится к линейному виду путем логарифмирования:
Для удобства вычислений составим таблицу (Приложение 2). Итоговые вычисления представлены в таблице 1.
Так, получаем следующее уравнение: которое после преобразований примет следующий вид:
б) следующая модель — гиперболическая: Сделаем замену , и приведем модель к линейному виду:
Вычисления представлены в приложении 3, а итоговые результаты в таблице 1.
Получаем следующее уравнение:
в) Для полулогарифмической модели характерно уравнение: делаем замену: .
Итоговые оценки параметров представлены в таблице 1, промежуточные вычисления в приложении 4. В результате вычислений получаем уравнение: .
г) обратная модель имеет следующий вид: Сделаем замену и приведем модель к линейному виду: Вычисления представлены в приложении 5, а итоговые результаты в таблице 1.
д) экспоненциальная модель: Приведем данную модель к линейному виду: Вычисления представлены в приложении 6, а итоговые результаты в таблице 1.
Так, получается следующее уравнение: которое после преобразований примет вид: .
Таблица 1
Параметры уравнений парной регрессии
Функции |
Степенная |
Гиперболическая |
Полулогарифмическая |
Обратная |
Экспоненциальная |
— |
|||||
5,71 |
2883,856 |
2883,856 |
— |
5,71 |
|
— |
— |
||||
6,32 |
— |
— |
9516,823 |
9516,823 |
|
— |
— |
||||
— |
0,00012 |
6,32 |
0,0003549 |
— |
|
0,3867 |
-11204048,102 |
1267,805 |
-0,00000001052 |
0,000034 |
|
— |
— |
— |
|||
4,4369 |
— |
— |
— |
7,629 |
|
— |
|||||
1,49 |
4207,505 |
-8647,791 |
0,000455 |
— |
-
Оценим тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации. Расчеты приведены в таблице 2.
Таблица 2
Оценка тесноты связи
Параметры |
Степенная модель |
Гиперболическая модель |
Полулогарифмическая модель |
Обратная модель |
Экспоненциальная модель |
260687,6 |
260687,6 |
260687,6 |
260687,6 |
260687,6 |
|
66360,26 |
106134,12 |
73775,82 |
66820,22 |
58396,11 |
|
0,8634 |
0,77 |
0,8468 |
0,8624 |
0,8809 |
|
0,7454 |
0,5929 |
0,717 |
0,7437 |
0,776 |
Индекс корреляции показывает значительность связи. После проведения оценки тесноты связи, можно сказать, что он выше у экспоненциальной модели и равен 88,09%. Самый низкий из приведенных моделей — у гиперболической модели (77%). Индекс детерминации характеризует долю дисперсии, объясненную моделью. У экспоненциальной модели этот показатель также выше по сравнению с другими и равен 0,776. Он показывает, что уравнение регрессии объясняется на 77,6% дисперсией результативного признака, на долю же прочих факторов приходится 22,4%. Оба этих индекса не превышают значений коэффициентов корреляции и детерминации линейной модели парной регрессии. Эти показатели равны 88,27% и 77,91% соответственно.
-
Найдем средний коэффициент эластичности
Для расчетов среднего коэффициента эластичности приведена таблица 3. Он вычисляется по формуле:
Таблица 3
Средние коэффициенты эластичности
Модель |
Степенная |
Гиперболическая |
Полулогарифмическая |
Обратная |
Экспоненциальная |
Формула |
|||||
Значение |
0,386695 |
0,388516 |
0,427397 |
0,288771 |
0,324769 |
Таким образом, для степенной модели и при увеличении заработной платы на 1% от ее среднего значения размер пенсий увеличивается на 0,3867% от своего среднего значения. При гиперболической, полулогарифмической, обратной и экспоненциальной моделях увеличение размера пенсий составляет 0,3885%, 0,4274%, 0,2888% и 0,3248% соответственно.
-
Определим среднюю ошибку аппроксимации:
Она вычисляется по формуле:
вычисления представлены в приложении 7, а итоговые значения в таблице 4.
Таблица 4
Средние ошибки аппроксимации
Модель |
Степенная |
Гиперболическая |
Полулогарифмическая |
Обратная |
Экспоненциальная |
Значение |
0,055 |
0,076 |
0,065 |
0,047 |
0,048 |
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%. В данных моделях она не превышает эту величину. Следовательно, исследуемые данные близки к эмпирическим: модели построены качественно.
-
Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основании F-критерия Фишера. Величина F-критерия связана с индексом детерминации и ее можно рассчитать по следующей формуле:
Фактическое значение величины F-критерия Фишера приведено в таблице 5 для каждой исследуемых моделей.
Таблица 5
Величина F-критерия Фишера
Модель |
Степенная |
Гиперболическая |
Полулогарифмическая |
Обратная |
Экспоненциальная |
Значение |
225,4844 |
112,1281 |
195,0802 |
223,4022 |
266,7377 |
Табличное значение F(0,05;1;77) = 3,97. Так как для каждой из модели , то признается статистическая значимость уравнений в целом.
Вывод
В данной работе была определена регрессия пенсий на заработную плату за 2006 год. Для описания регрессии были построены 4 модели: степенная, экспоненциальная, полулогарифмическая, и гиперболическая. Сравним построенные модели по показателям детерминации и средней ошибке аппроксимации, включая данные по линейной модели, взятым из лабораторной работы №1. Данные представлены в таблице 6.
Таблица 6
Сравнение моделей уравнений парных регрессий
Модель |
Показатель детерминации |
Средняя ошибка аппроксимации |
Степенная |
0,7454 |
0,055 |
Гиперболическая |
0,5929 |
0,076 |
Полулогарифмическая |
0,7170 |
0,065 |
Экспоненциальная |
0,7760 |
0,048 |
Обратная |
0,7437 |
0,047 |
Линейная |
0,7791 |
0,051 |
Наиболее хорошо исходные данные аппроксимирует обратная модель, однако и другие модели не превышают уровня 8-10%. Следовательно, каждую из приведенных, можно считать построенной качественно. Индекс детерминации характеризует долю дисперсии, объясненную моделью. У обратной модели этот показатель равен 0,7437. Он показывает, что уравнение регрессии объясняется на 74,37% дисперсией результативного признака, на долю же прочих факторов приходится 25,63%. Однако, у линейной модели этот показатель равен 0,7791. Следовательно, наиболее приемлемыми моделями для данной регрессии будут: линейная и обратная. Так как линейная модель строится проще, то стоит выбрать ее для описания данной регрессии.