6.2 Адаптація зі зворотним зв’язком і без зворотного зв’язку

У літературі запропоновано кілька способів класифікації адаптивних систем. Найкраще її почати з поділу на адаптацію без зворотного зв’язку і зі зворотним зв’язком. Процес адаптації без зворотного зв’язку складається з вимірювань характеристик вхідного сигналу або навколишнього середовища, введення цієї інформації у формулу або обчислювальний алгоритм і використання результатів для регулювання адаптивної системи. При адаптації зі зворотним зв’язком, крім того, автоматично вносяться корекції і з метою оптимізації параметрів функціонування системи визначається їхній вплив на вихідний сигнал. Цей процес можна назвати адаптацією з функціональним зворотним зв’язком.

Принципи адаптації без зворотного зв’язку і зі зворотним зв’язком проілюстровані на рис. 6.1 і 6.2. В обох випадках зручно розглядати адаптивний процес так, ніби його проводив вручну оператор або «спостерігач».

Рисунок 6.1 – Адаптація без зворотного зв’язку

Рисунок 6.2 – Адаптація зі зворотним зв’язком

На рис. 6.1,а і 6.2,а показано, як спостерігач коректує органи керування пристрою обробки, спостерігаючи за дисплеєм, що реєструє параметри за заздалегідь обраним критерієм функціонування. У системі без зворотного зв’язку таким критерієм є деякі характеристики вхідного сигналу та, можливо, інші дані, а в системі зі зворотним зв’язком – крім того, функція вихідного сигналу.

Переваги та недоліки алгоритмів адаптації зі зворотнім зв’язком. Області застосування алгоритмів адаптації зі зворотнім зв’язком.

Корекція в системі на рисунку 6.2 здійснюється навіть у випадку, коли оператор не знає, що перебуває усередині пристрою обробки або які функції органів керування. Оператор не обробляє вхідний сигнал, він тільки управляє корекціями пристрою обробки для того, щоб підтримувати функціонування оптимізованим відповідно до заздалегідь обраного критерію. Таким чином, функція оператора – тільки спостереження, а в реальних автоматичних адаптивних системах оператора заміняють обчислювальні або «адаптивні» алгоритми, як показано на рисунках 6.1,б і 6.2,б. «Іншими даними» для адаптивної системи на цих рисунках можуть бути дані про навколишнє середовище або для системи зі зворотним зв’язком – необхідний вид вихідного сигналу.

У процесі розробки адаптивного алгоритму вибір адаптації без зворотного зв’язку або зі зворотним зв’язком визначається багатьма факторами. Насамперед, ураховується вид вхідних сигналів і сигналів, що відбивають параметри функціонування. Крім того, кількість обчислень і тип ЕОМ, необхідні для реалізації алгоритмів адаптації без зворотного зв’язку або зі зворотним зв’язком, як правило, різні. Для деяких алгоритмів необхідно використовувати універсальну цифрову ЕОМ, у той час як реалізація інших алгоритмів є набагато економічнішою на спеціалізованих обчислювачах або інших пристроях. Загальні принципи вибору розробити важко, але можна виділити ряд достоїнств і недоліків алгоритмів адаптації зі зворотним зв’язком.

Достоїнства алгоритмів адаптації зі зворотним зв’язком:

1) працездатність у багатьох задачах, де аналітичних методів синтезу або не існує, або вони невідомі; наприклад, де крім середньоквадратичних критеріїв використовують критерії помилки, де системи є нелінійними або змінюються в часі, де сигнали є нестаціонарними і т.д.;

2) адаптацію зі зворотним зв’язком можна ефективно використовувати у випадках, коли фізичні величини компонентів системи є змінними або відомі неточно. У цьому випадку адаптація зі зворотним зв’язком забезпечить вибір найкращих величин компонентів;

3) при частковому ушкодженні системи механізм адаптації, що постійно стежить за функціонуванням, оптимізує її функціонування за допомогою корекції і переоптимізації неушкодженої частини. У результаті при використанні функціонального зворотного зв’язку найчастіше можна підвищити надійність системи.

Однак процесу адаптації зі зворотним зв’язком властиві й недоліки:

1) у деяких випадках немає одного оптимуму, і тоді автоматична оптимізація стає невизначеним процесом;

2) у системі керування зі зворотним зв’язком процес адаптації може бути нестійким, тобто розбіжним, а не збіжним.

Незважаючи на це, функціональний зворотний зв’язок є потужним, широко застосовуваним методом реалізації адаптації.

Адаптивний лінійний суматор. Критерій адаптації (цільова функція).

Адаптивний лінійний суматор, або нерекурсивний адаптивний фільтр, є фундаментальним поняттям в адаптивній обробці сигналів. У тому або іншому вигляді він присутній у більшості адаптивних фільтрів і систем і є єдиним найбільш важливим елементом «навчання» систем і пристроїв адаптивної обробки в цілому. Таким чином, даний підрозділ присвячений докладному опису властивостей, функціонування, способів і швидкості адаптації і ефективних застосувань адаптивного лінійного суматора.

Оскільки структура адаптивного лінійного суматора є нерекурсивною, його порівняно легко вивчати та аналізувати. По суті він являє собою нерекурсивний фільтр із параметрами, що змінюються в часі, так що принцип його дії дуже простий, а функціонування, способи адаптації, а також реалізація в різних схемах цілком доступні для розуміння. Більше того, є такі задачі, у яких функціонування адаптивного лінійного суматора є в деякому смислі «найкращим».

Рисунок 6.3 – Загальний вид адаптивного лінійного суматора

Схема адаптивного лінійного суматора в загальному вигляді показана на рис. 6.3. У цій схемі є вектор вхідного сигналу з компонентами х₀, х₁, ..., х_L, відповідна множина регульованих вагових коефіцієнтів w_о, w₁, ..., w_L, пристрій підсумовування і вихідний сигнал y. Процес регулювання або адаптації вагових коефіцієнтів називають «ваговою корекцією», корекцією коефіцієнта передачі або процесом адаптації. Суматор називають лінійним, оскільки для деякого заданого набору вагових коефіцієнтів вихідний сигнал являє собою лінійну комбінацію компонентів вхідного сигналу. Однак у процесі корекції вагових коефіцієнтів останні також є функціями компонентів вхідного сигналу і вихідний сигнал уже не є лінійною функцією вхідного.

Існують дві важливі фізичні інтерпретації елементів вектора вхідного сигналу х₀, х₁, ..., х_L. У першій їх можна розглядати як одночасно діючі вхідні сигнали від L+1 різних джерел. Прикладами такої інтерпретації можуть служити адаптивна антена і адаптивна акустична система виявлення, у яких кожний вхід з’єднаний з окремим чутливим елементом.

Крім того, елементи х₀, … ,x_L можна розглядати як L+1 послідовних відліків сигналу одного джерела.

Будемо називати ці дві інтерпретації системою з багатьма входами і системою з одним входом. Для обох випадків прийнято позначати вхідні вектори по-різному, а саме:

для багатьох входів , (6.1)

для одного входу . (6.2)

У цих виразах Т – знак транспонування, тому в обох випадках X(n) – фактично вектор-стовпчик. Індекс n використовується для позначення часу. Таким чином, у системі з багатьма входами всі елементи отримані на n-му часовому відліку, тоді як у системі з одним входом елементи є послідовними відліками, узятими в моменти

У системі з одним входом пристрій адаптивної обробки можна реалізувати у вигляді адаптивного лінійного суматора з елементами затримки (рис. 6.4). Таку структуру називають адаптивним трансверсальним фільтром. Помітимо, що вагові коефіцієнти мають другий індекс k, який додано для того, щоб показати їхню залежність від часу в явному виді.

Рисунок 6.4 – Схема адаптивного лінійного суматора у вигляді

адаптивного трансверсального фільтра з одним входом

Адаптивний трансверсальний фільтр є часовою (на противагу просторовій) формою нерекурсивного адаптивного фільтра і широко застосовується в адаптивному моделюванні та адаптивній обробці сигналів. Більшість адаптивних систем, що мають практичне застосування, засновані на використанні адаптивного трансверсального фільтра.

У деяких системах з багатьма входами необхідно вводити ваговий коефіцієнт зсуву, тоді до суми y(n) додається змінний зсув. При необхідності його зручно вводити, припускаючи що перший вхідний елемент x₀(n) в (6.1) постійний і дорівнює одиниці (або якій-небудь іншій постійній величині), як показано на рис. 6.5. У системах з одним входом, як правило, не потрібно вводити ваговий коефіцієнт зсуву.

Рисунок 6.5 – Схема адаптивного лінійного суматора з багатьма входами та з ваговим коефіцієнтом зсуву w₀(n)

Використовуючи позначення вхідного сигналу (6.1) і (6.2), одержуємо такі вирази для вихідних сигналів у схемах на рис. 6.4 і 6.5:

для одного входу , (6.3)

для багатьох входів . (6.4)

Якщо в (6.4) x₀(n) тотожно дорівнює одиниці, то, як відзначено вище, w₀ стає ваговим коефіцієнтом зсуву.

За аналогією з (6.1) і (6.2) вектор вагових коефіцієнтів

. (6.5)

Тоді, використовуючи векторні позначення, можна записати (6.3) і (6.4) одним співвідношенням

. (6.6)

Тепер можна розглянути принцип роботи адаптивного лінійного суматора і вивчити вплив залежності вектора W від індексу часу n.

Адаптивний лінійний суматор можна використовувати в системах як зі зворотним зв’язком, так і без зворотного зв’язку. Як відзначалося при розгляді рис. 6.1, процес корекції вектора вагових коефіцієнтів у системі без зворотного зв’язку в явному вигляді не залежить від вихідного сигналу і визначається тільки вхідним сигналом і станом навколишнього середовища.

Однак у системі зі зворотним зв’язком, показаній на рис. 6.2, вектор вагових коефіцієнтів залежить від вихідного сигналу, а також від інших даних. Взагалі в адаптивному лінійному суматорі іншими даними є корисний відгук або навчальний сигнал.

У процесі адаптації з функціональним зворотним зв’язком вектор вагових коефіцієнтів лінійного суматора коректується таким чином, щоб вихідний сигнал y(n) мав найкраще наближення до корисного відгуку. Для цього вихідний сигнал порівнюється з корисним відгуком, формується сигнал помилки і потім коректується або оптимізується вектор вагових коефіцієнтів, щоб мінімізувати сигнал помилки. У більшості практичних випадків процес адаптації спрямований на мінімізацію середньоквадра­тичного значення, або середньої потужності сигналу помилки. Оптимізація за цим критерієм як в адаптивних, так і в неадаптивних системах давно і широко застосовується і має багато достоїнств.

На рис. 6.6 показаний спосіб одержання сигналу помилки в системі з багатьма входами за рахунок введення корисного відгуку. Для формування сигналу помилки вихідний сигнал y(n) просто віднімається від корисного сигналу y^*(n).

Джерело сигналу корисного відгуку y^*(n) визначається конкретним застосуванням адаптивного суматора. Поки будемо вважати, що такий сигнал уже є. Однак відзначимо, що найчастіше для того, щоб знайти підходящий сигнал, потрібна значна винахідливість, оскільки якби в дійсності корисний сигнал був, то адаптивна система була б не потрібна.

Рисунок 6.6 – Формування сигналу помилки

Розглянемо тепер тільки що уведений критерій.

З рис. 6.6 випливає, що сигнал помилки

. (6.7)

Підставляючи (6.6) у цей вираз, одержуємо

. (6.8)

Тут для зручності у вектора вагових коефіцієнтів опущено індекс n, оскільки в цьому випадку корекція вагових коефіцієнтів не розглядається. Щоб одержати миттєве квадратичне значення сигналу помилки, піднесемо до квадрата вираз (6.8):

Покладемо, що , і x(n) стаціонарні в статистичному смислі, і знайдемо математичне сподівання функції (6.9) по n:

. (6.10)

Відзначимо, що математичне сподівання суми дорівнює сумі математичних сподівань, але математичне сподівання добутків дорівнює добутку математичних сподівань тільки тоді, коли випадкові величини статистично незалежні. У загальному випадку сигнали y^*(n) і x(n) не є незалежними.

Оптимальний вектор параметрів. Рівняння Вінера-Хопфа.

У багатьох корисних для практики способах адаптації пошук вектора вагових коефіцієнтів, що відповідає мінімуму робочої функції, здійснюється градієнтними методами. Градієнт функції середньоквадратичної помилки, позначуваний , можна одержати диференціюванням функції (6.13)

, (6.14)

, (6.15)

R і Р визначаються з (6.11) і (6.12). Цей вираз отримано диференціюванням функції (6.13) по кожному з компонентів вектора вагових коефіцієнтів. Диференціювання члена W^TRW можна здійснити диференціюванням добутку (W^T)(RW).

Для знаходження мінімального значення критерію J припускаємо, що вектор вагових коефіцієнтів W дорівнює оптимальному W^*, градієнт якого дорівнює нулю:

. (6.16)

Припускаючи, що R є неособливою матрицею, з (6.16) знаходимо вектор W^*, який іноді називають вінерівським вектором вагових коефіцієнтів:

. (6.17)

Це рівняння називається рівнянням Вінера-Хопфа, записаним у матричній формі.