- •1. Предмет теории вероятностей
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Теорема сложения вероятностей и ее следствия
- •Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей.
- •3. Формулы полной вероятности и формула Байеса
- •Определение
- •Свойства
- •Тождества
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Зависимые и независимые случайные величины
- •Свойства
- •Свойства коэффициента корреляции
- •11. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Свойства
- •Определение
- •Свойства распределения Пуассона
- •Равномерное распределение.
- •Центральная предельная теорема Ляпунова.
- •Исправленная выборочная дисперсия
- •Определение
1. Предмет теории вероятностей
Всякое действие, явление, реализуемое при определенном комплексе условий называют испытанием.
Результат испытания называют событием.
Пример. Брошена монета - испытание;
Появление герба - событие;
Пространство элементарных событий, множество элементарных событий — множество исходов случайного эксперимента; обычно обозначается Ω, а его элементы — исходы случайного эксперимента — называются элементарными событиями; одно из основных понятий теории вероятностей.
Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий Ω, элементами которого служат элементарные события.
Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.
В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:
алгебра конечных подмножеств Ω; сигма-алгебра счётных подмножеств Ω; алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов; сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства Ω, то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества Ω; алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.
Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности . Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событ
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Виды случайных событий
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример. Монета брошена 1 раз. События: А - выпал герб и В - выпала решка несовместные.
Брошена игральная кость. События: А - выпала 1, В - выпала 2, С - выпала 3 несовместные.
События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример. Брошена игральная кость. События: А - выпала 4, событие В - выпало четное число совместные.
События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.
Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. События: А - попадание в цель, В - промах единственно возможные в данном испытании.
События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.
Пример. Брошена игральная кость. Равновозможные события: А - выпала 3 и В - выпала 5; или С - выпало четное число и Д - выпало нечетное число очков.
Совокупность всех единственно возможных событий испытания называют полная группа событий.
Пример. Стрелок произвел 2 выстрела.
Полная группа событий: ; где
Событие - промах;
Событие - одно попадание;
Событие - два попадания;
Противоположными называют два единственно возможных события образующих полную группу событий.
Обозначение: и ;
Пример. Монета брошена 1 раз. События: - выпал герб и - выпала решка противоположные.
Брошена игральная кость. События: - выпало четное число очков и - выпало нечетное число очков противоположные.
События: - выпала 1 и - не выпала 1 противоположные.