мат.-анализ

¥

Функциональные ряды åU n (x )

n =1

Степенные ряды U

(x )= a

(x - x

)n

Тригонометрические ряды

n

n

0

U n

(x)= an cos nx + bn sin nx

¥

x0 , a0 , a1, ... , an , ... Î R - СР

1.

åan (x - x0 )n

(1),

n=0

Т (Абеля): (1) сход. в x1 ¹ x0 Þ (1)

сход. абсолютно "x : | x - x0 | < | x1 - x0 |

(1) расх. в x1 ¹ x0 Þ (1)

расх. "x : | x - x0 | > | x1 - x0 |

ì 0 Þ x = x0 - т.сходимости

Радиус сходимости

ï

R = í¥ Þ x Î R Интервал сходимости : x Î(x0 - R, x0 + R)

ï

A Þ x Î(x0 - A, x0 + A)

î

an

1

.

R = lim

=

an +1

n®¥

lim n an

n®¥

Свойства СР:

1° . S = S (x)- сумма СР, непр. "x Î(x0 - R, x0 + R).

¥

n -1

¢

(x - x0 ) .

2°. S (x)- сумма (1) Þ $ S (x )= ån an

n =1

b

3° . S (x)- сумма (1) Þ $òS (x )dx "[a,b Ì] (x0 - R, x0 + R).

b

a

4°. S (x ),

òS (x )dx - сход. "x Î(x0 - R, x0 + R).

¥

f (n)(x0 )(x - x0 )

¥

f

(n)(0)xn

f (x )= å

(2)

f (x) = å

(3)

n!

n =0

n =0

n!

¥

f (n)(0)xn

1. f (x )= å

. 2. $R : "x Î(- R , R)(3)- сход. 3. lim Rn (x) = 0

n!

n=

0

n®¥

¥

xn

¥

¥

(-1)n x 2n

ex = å

sin x = å(-1 )n-1x2n-1

cos x = å

(2n !)

n!

n=0

n=1

n=0

x Î R

x Î R

x Î R

(1 + x)m =1 + mx + m(m -1)

x2

+ ... + m(m -1)×... × (m - n + 1)

xn

+ ... ,

2!

n!

ln(x + 1)= å¥ (-1)n xn +1

,

x Î(-1, 1)

arctg x = å¥

(-1)n x2n+1

,

n =0 n +1

n=0

2n +1

x Î(-1, 1)

¥

1× 3 ×... × (2n

-1)x2n-1

x Î(-1, 1)

arcsin x = å

,

n=1 2n-1(n -1)!(2n -1)

x1 Î (x0 - R, x0

+ R)

¥

1

å

f (x1 )» Sn (x1 ,)

+ 2

b

¥ b

n=1(2n -1)(2N +1)2n -1

ò f (x )dx = å òan (x - x0 )n dx

D =

f (x1 )- S n (x1 )

a

n =0 а

= Rn (x1 )

x1 Î (x0 - R, x0 + R )

¥

1

4.1.1. Исследовать сходимость ряда å

.

n =1 n(x + 2)n

исходя

из

других

признаков

сходимости .

рядовВданном

примере

U n (x) =

1

, l = lim

U n+1(x)

=

1

.

Ряд

сходится

при

1

<1,

n(x + 2)n

U n (x )

x + 2

x + 2

n®¥

тогда

x + 2

>1

или -1 > x + 2 > 1,

отсюда x Î(- ¥,-3)È (- 1, ¥). При x = -3

получим

знакочередующийся

ряд

U с= (-1)n ,

который

сходится

n

n

по

признаку

Лейбница. При x = -1

получим

гармонический

расходящийся

ряд.

Область

сходимости

данного

ряда

состоит

из

двух интервалов

x Î(- ¥,-3)È (- 1, ¥). ◄

¥

1

4.1.2.

Определить

область сходимости

ряда å

.

n =1 n x

►

Данный ряд

сходится(как

ряд

Дирихле)

для значений x > 1

и

расходится

для

значенийx £ 1.

Следовательно,

область сходимости

есть

интервал

(1, + ¥). ◄

n =1

►

Воспользуемся

радикальным

признаком

l = lim n

= 3

<1

что

выполняется"x ¹ xk =

p

+ kp.

U n (x)

sin x

n®¥

2

При x = xk

sin x = ±1

и

исследуемый

ряд

расходится. ◄

4.1.4.

Найти радиус и интервал сходимости СР с U n =

xn

.

(n +1)5n

►

Определить

радиус

сходимости RСР,

используя

формулу

an

(см. таблицу)

R = lim

,

полученную

из

признака’

АламбераД.

an +1

n®¥

Имеем:

an =

1

, an+1

=

1

,

R =

lim 5n +1

n + 2

= 5.

(n +1)5n

(n + 2)5n+1

(n +1) 5n

n®¥

Следовательно,

СР

сходится

"x Î(- 5, 5) - интервалу

сходимости. ◄

¥

n +1

x2n -1

å

4.1.5.

Найти

интервал

сходимости

и

сумму

СР(-1 )

,

n =1

2n -1

используя

его

свойства.

► Воспользуемся свойством 2 СР (см. таблицу), по которому СР можно

почленно

дифференцировать

внутри

интервала

его

сходимости. Найдём

¢

2

4

6

¥

2 n-1

- x

+ x

- x

+ ... = å1× (- x

) -

бесконечно

убывающ

S (x )=1

n =1

геометрическая

прогрессия

bс = 1,

q = -x2 <1,

для

которой

b

1

x

S =

=

= S ¢(x ).

Интегрируя,

имеем

S (x )= òS¢(x )dx = arctg x.

1 - q

1 + x2

0

СР

сходится

при | x|<1. ◄

Аудиторные задачи

I. Определить

область

сходимости

функциональных рядов:

¥

n x

¥

1

¥

n

x

4.1.6. ålg

.

4.1.7. å

.

4.1.8. åtg

.

n2

n =1

n

n=1x2 + n2

n=1

II.

Определить

радиус

и интервал сходимости СР:

¥

¥

x2n -1

4.1.9. å10n xn .

4.1.12. å(-1 n)+1

.

(2n -1)(2n -

n =1

n=1

1)!

¥

4.1.13. å¥ (nx )n n!.

4.1.10. ån !xn .

n =1

n=1

¥

¥

ln n

4.1.11. å(- 2

n) x2n .

4.1.14. å xn

.

n =0

n =2

n

III.

Используя свойства СР, найти интервал сходимости и сумму S (x) :

4.1.20. Найти сумму S (x) СР å¥ (-1 n)+1

xn +1

.

n(n + 1)

n =1

Ответы:

1

1

4.1.6. [0.1,10).

4.1.7. (- ¥, ¥).

éæ

ö

æ

ö

ù

4.1.8. x Î êçk -

÷p , çk

+

÷p

ú, k

Î z .

4

4

ëè

ø

è

ø

û

4.1.9. (- 0.1, 0.1).

x = 0.

æ

1

1

ö

4.1.10.

4.1.11.

x Îç

-

,

÷.

è

2

2

ø

4.1.12. x Î R.

4.1.13. x Î

é

1

1

ö

4.1.14. x Î(-1,1).

ê-

,

÷.

e

e

ë

ø

4.1.15. x Î[-1,1),

S(x)= - ln (1 - x).

4.1.16.

| x|<1, S (x )=

1

- 2x

.

(1

0,25 ln (1

+ x)

+ x)2

4.1.17. | x|<1,

S (x )= 0,5arctg x +

.

4.1.18. (- ¥, ¥).

1 - x

4.1.19. R =1,

(3,5).

4.1.20. S (x)= (x + 1)ln (x + 1)- x.

4.2.1. Разложить в ряд по степеням

х функцию

f (x)= ex sin x.

► Находим производные функции

f (x)

и их значения в т.

x = 0 :

¢

x

(cos x + sin x)=

x

æ

p ö

¢

p

2e

sin ç x +

÷;

f

;

f (0) = 0; f (x )= e

(0 )= 2 sin

4

è

4

ø

2

æ

2p ö

2

2p

f ¢¢(x )= (

2 )

ex sin ç x +

÷;

f ¢¢(0 )= (

2 )

sin

;

4

4

è

ø

n

æ

np ö

n

np

f (n) (x) = (

2 ) ex ×sin ç x +

÷

f (n)

(0 )= ( 2 )

sin

.

4

4

è

ø

Оценим абсолютную величину

остаточного члена Rn (x)

при n ® ¥ :

f (n +1)

(x)xn+1

n+1

x sin (x + (n +1)p

/ 4) xn+1

Rn (x )

=

=

(

2

)

e

< U n =

(n

+ 1)!

(n +1)!

¥

Для

ряда

åUn

имеем:

n=1

U

(

)n +2 e x | x|n+2

(

)n+1ex | x |n+1

| x |

n+1

2

2

2

® 0, R <1 "x.

=

:

=

U n

(n + 2)!

(n +1)!

n + 2

¥

Следовательно, ряд

åU n сходится (по

признаку Д’ Аламбера),

а его общий

n =1

член

U n ® 0

при n ® ¥ (в

силу

необходимого

признака

сходимости),

поэтому

и

остаточный

членR (x),

по

модулю

меньшийU ,

n

n

тем

более

стремится

к

нулю

при

n ® ¥.

Поэтому

имеем:

¥

n

æ np

ö xn