Добавил:

Maestro Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

мат.-анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2019

Размер:

722.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

			Аудиторные задачи
I. Найти линии уровня плоских СП:
7.1.7. U = x + y.			7.1.8. U = x2 + y2.	7.1.9.	U =	2 y
							.
						x2	.
II. Найти поверхности уровня СП:
7.1.10. U =		.	7.1.11. U = x2 + y2 - z.	7.1.12. U = x2 + y2 - z 2.
7.1.10. U =	x2 + y2 + z 2	.	7.1.11. U = x2 + y2 - z.	7.1.12. U = x2 + y2 - z 2.

III. Найти производную СП U (M ) в т. A по заданному направлению:

®®

7.1.13. U = xyz,

A(5,1, 2),

l :

AB, B(9, 4,14).

® ®

7.1.14. U = xy2 + z3 - xyz, A (1,1,2), l : ( l ,OX ) = ( l ,OZ ) =

, ( l ,OY ) =

7.1.15. U = x2 y2 - xy3 - 3y -1,

A(2,1),

l :

OA.

IV. Найти градиент

СП:

7.1.16. U = ln | r | .

® ® ®

® ® 2

7.1.17. U = a × r , a = const.

7.1.18. U =| a ´ r | ,

a = const.

7.1.19. Найти градиент СП U = 3x2 y - 3xy3 + y4 в т. A(1, 2, 0).

7.1.20.

Найти

наибольшую

скорость

возрастания

поляU = ln(x2 + 4 y2 )

в т. A(6, 4, 0).

7.1.21. Найти угол между градиентами СП U = x2 + y2 - z 2

и V = arcsin

x + y

в т. A(1,1,

Задание на дом

7.1.22.

Определить

вид

линий

или

поверхностей

уровня

u = y2 + x,

V = xy, W =

2 - y

7.1.23.

Показать,

что в .тA(4, -12)

производная СПU = x3 + 3x2 + 6xy + y2

по любому

направлению

равна 0

(т. е.

СП стационарно).

7.1.24. Вычислить с помощью градиента производную СПU = (x2 + y2 + z 2 )2


в	.тA (1, 1,1)		по	®	® ®	воспользовавшись свойствами
в	.тA (1, 1,1)		по	направлениюl	= 2 j- k,	воспользовавшись свойствами
градиента.
7.1.25. Найти стационарные точки СП U = 2x2 - 4xy + y2 - 2 yz + 6z.
7.1.26.		Убедиться		в	ортогональности		поверхностей
СП	U = x2 + y 2 - 2z 2			и V = xyz.
	Ответы:

7.1.7.y = с - x - семейство параллельных прямых.

7.1.8.x2 + y2 = с - семейство концентрических окружностей.

7.1.9.y = 2сx2 - семейство парабол.

7.1.10.x2 + y2 + z 2 = с2 - семейство концентрических сфер.

7.1.11. z = x2 + y2 - с - семейство										параболоидов		вращения.				6.1.12.
x2 + y2 - z 2 = с - семейство конусов II											порядка.
																®
7.1.13.		98		.		7.1.14.	5.				7.1.15.	-			7.1.16.			r	.
		98											5.					r
	13												5.			®
	13															®
																	\| r \|2
7.1.17.	®						®			®	® ® ®					®		®
7.1.17.	a .					7.1.18. 2 \| a \|2				r - 2( a × r ) a .				7.1.19. -12 i - j .
					.			p	.
7.1.20.			73			7.1.21.		p
7.1.20.						7.1.21.

25	2
7.1.22. x - с = y2	- семейство парабол с вершиной в т(с, 0), y =	с	- семейство

		x

гипербол, z = с(x2 - y 2 )- семейство гиперболических параболоидов.

7.1.24. 3 15 . 5

7.2. Векторное поле (ВП), его геометрические характеристики.

Поток и дивергенция ВП

7.2.1.

Найти

векторную

линию

проходящую

ВПa = x i - y j- 2z k,

через

т.

M 0 (1, -1, 2).

► Система дифференциальных уравнений(5) векторных линий в этом

случае имеет

вид

= -

Интегрируя

эту

систему

уравнений,

получим:

xy = c ,

y2 = c

Условие

прохождения

векторной

линии

через

т. M

(1, -1, 2)

даёт c

= -1,

Итак,

искомая

векторная линия-

это

кривая

пересечения

гиперболического

цилиндраxy = -1,

образующие

которого параллельны осиOZ ,

с параболическим

цилиндром2 y 2 = z,

образующие

которого параллельны

оси

OX. ◄

7.2.2.

Найти

векторные

линии

{x, y, z}

определить

ВПa = r =

вид векторных трубок.

►

Интегрируя

систему

дифференциальных

уравн

, получим y = c x,

z = c

y или

- прямые L Î R3.

По определению векторными трубками в данном случае будут конические

поверхности

вершинами

начале

координат, направляющими которых

служат

заданные

замкнутые

кривые, а

образующими -

полученные

векторные

линии. ◄

7.2.3. Найти

поток

векторного

верхнюю

поля a = y i + x

j - z k

через

сторону

треугольника ABC

вершинами

точкахA (1, 0, 0),

B (0, 0, 1),

C (0, -1, 0).

► Для вычисления потока ВП можно воспользоваться одним из двух методов: проектирования на одну из координатных плоско и проектирования на все три координатные плоскости. В первом случае

(при

проектировании

на

плоскостьXOY )

поверхность

можно

задать

уравнением

z = f (x, y),

так

как

элемент

площади

этой

поверхности

ds =

dxdy

то

вычисление

потокаП

через

выбранную

сторону

| cosg |

поверхности

сводится

вычислению

двойного

интеграла

по

формуле

® ®

a × n

=dxdy.

П G = òò a × n ds = òò

Здесь

ортn

нормали

| cosg |

z = f ( x, y)

к выбранной

стороне

поверхностити G

имеет

проекции,

вычисляемые по

® Ù ®

формуле (7). Если угол g = OZ , n <

то в формулах(7) берётся знак «+»,

® ®

если g >

, то - «−». Символ

a ×

означает, что в подинтегральной

| cosg |

z = f (x, y)

вместо z

функции

надо

подставить f (x, y).

Аналогично

подсчитывается

поток,

если

оказывается

удобным

проектировать

поверхностьG

на плоскости

YOZ

или

XOZ.

Во

втором

случае,

когда

поверхностьG

взаимно

однозначно

проектируется

на

все

три

координатных

плоскостиD

=ипр

XOY

Dxz = пр XOZ G,

Dyz = прYOZ G

уравнение

поверхностиG :

F (x, y, z) = 0

однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов x, y и z,

так что

x = x( y, z),

y = y(x, z)

z = z(x, y).

Тогда

поток

ВПa = {P, Q, R}

через

поверхность G,

единичный

вектор

нормали

кот

можно

записать

как

n = {cosa, cos b , cosg },

® ®

ПG = òò a × n ds = òò(P cosa + Q cos b + R cosg )ds = ± òòP(x( y, z), y, z)dydz ±

Dyz

± òòQ(x, y(x, z), z)dxdz ± òòR(x, y, z(x, y))dxdy (см. формулы (2) раздела 6).

Dxz

Dxy

Найдём искомый поток ВП, используя оба этих метода.

1. Уравнение плоскости, в которой лежит DABC имеет вид x + y + z = 1

z = 1 - x + y.

®Ù ®

(рис.

7.1),

откуда

Так

как

по

условиюg = n , OZ <

1 ü

DABC

n = í

(по формуле 7).

3 þ

проектируется

однозначно

на

плоскость

XOY в область Dxy ,

которой является DABC.

Находим

скалярное

произведение

® ®

- x

- z

a × n =

Рис. 7.1.

Подставляя

z = 1 - x + y, вычисляем искомый поток:

П G = òò

× n

= òò(y - x - (1 - -x + y))dxdy =

|cosg |

Dxy

z = f ( x, y)

Dxy

æ x2

= - òò

dxdy = -òdx ò

dy = ò(x -1)dx = ç

- x ÷

= -

Dxy

x -1

Учитывая,

что

cosa > 0,

cos b < 0,

cosg > 0,

имеем:

ПG = + òò

P(x( y, z), y, z)dydz - òò Q(x, y(x, z), z)dxdz + òòR(x, y, z(x, y))dxdy =

D yz

Dxz

Dxy

= I1 + I2 + I3

1+ y

I1 =

òò ydydz = ò

ydy

dz = ò

y(1 + y)dy = -

BOC

-1

1- x

I 2 = - òò

xdxdz = -ò xdx ò

dz = -ò x(1 - x)dx = -

AOB

I3 =

(-z)dxdy

(x - y -1)dy = -

òò

- z =x - y -1

AOC

x -1

Окончательно

получаем:

П G

= -

. ◄

7.2.4. Найти поток

через часть

поверхностиG :

ВП a = y 2

j + z k

z = x2 + y2 ,

отсечённой

плоскостьюz = 2.

Нормаль

параболоиду

берётся

внешняя.

►

Данная

поверхность G

(параболоид

вращения)

проектируется

взаимно

однозначно

на

плоскость

XOY

круг

Dxy

центром в начале координат и радиусом

R =

(рис. 7.2). По условию задачи

нормаль

образует

тупой

угол

осью OZ , поэтому

n = {2x, 2 y, -1}.

Рис. 7.2.

Искомый

поток

будет

равен

® ®

dxdy = òò(y2-2 y - (x2 + y2 ))dxdy = {x = r cosj, y = r sinj}=

ПG = òò

a × n

| cosg

z = f ( x, y)

Dxy

= òò (2r 3 sin 3 j - r 2 )rdrdj = 2 ò sin3 j dj ò

r 4dr - ò dj ò r 3dr =

Dxy

= -

2p r 4

= -2p. ◄

через круг, полученный сечением

7.2.5. Найти поток ВП a = i - j+ xyz k

шара x2 + y 2 + z 2 £ R 2 плоскостью y = x.

Взять

сторону круга, обращённую

кположительной полуоси OX.

►Так как круг лежит в плоскостиy = x, перпендикулярной плоскости

XOY , проектировать на XOY нельзя (нарушается взаимная однозначность проектирования). На другие координатные плоскости круг проектируется

взаимно однозначно.

Будем

проектировать, например, на

плоскость XOZ.

Получим область D xz ,

ограниченную

эллипсом

(рис. 7.3).

Уравнение эллипса найдём, исключив y

+ y

+ z

= R

ïx

из системы уравнений í

îy = x

откуда 2x 2 + z 2 = R2 или

2x2

z 2

=1.

R 2

Рис. 7.3.

По условию нормаль n образует тупой

угол b с осью OY (рис. 7.3),

поэтому

® ®

берём

n = yx¢

i -

j + yz

и, так как

круг лежит

плоскости

® ® ®	искомый
y = x, n = i - j . Тогда
® ®	® ®

ПG = òò a × n dS = òò a × n
G	Dxz

2 òòdxdz = Sэллипса = pR2 2

Dxz

	поток				равен
			dxdz = òò(1 + 1)dxdz =
y = y(x, z)					Dxz
æ		R		ö
ça =					, c = R, S = pac÷. ◄

		2
è		2		ø

7.2.6. Используя формулу Гаусса-Остроградского, вычислить поток ВП

®	®	®	®	замкнутую		поверхность G : x2 + y 2 + z 2 = R 2 ,
a = x 2	i + y 2	j + z 2	k через	замкнутую		поверхность G : x2 + y 2 + z 2 = R 2 ,
z = 0	(z > 0)	в направлении		внешней		нормали.
► Поверхность G в данной задаче ограничивает собой половину шара
радиуса R		с	центром	в	начале		координат(рис. 7.4). Вычислим
®			Искомый	поток	по формуле Гаусса-Остроградского(9)
div a = 2x + 2 y + 2z.			Искомый	поток	по формуле Гаусса-Остроградского(9)
равен
			® ®		®
		ПG = òò a × n ds = òòòdiv a dV = òòò2(x + y + z)dV =
			G	W		W

{x = r sinq cosj,

y = r sinq sin j,

z = r cosq}=

= 2òòò(r sinq cosj + r sinq sin j + r cosq)r 2 ×

×sinq drdq dj = 2 ò dj òr 3dr ò(sinq cosj +

R 4 2p

+ sinq sin j + cosq )sinq dq =

dj òsinq cosq dq =

Рис. 7.4.

pR4

2 q

= pR

òsinq d sinq = pR

sin

. ◄

Аудиторные задачи

I. Найти векторные

линии ВП:

® ®

7.2.7. a = (x - y) i + (x + y) j .

7.2.8. a = x i - y j .

7.2.9. a = ( y + z) i - x j- x k .

II.

Найти

поток

векторного

через

внешнюю

сторону

поляa

поверхности

G :

x2 + y2 + z 2 =1,

x > 0, y > 0, z > 0.

7.2.10. a = xy i + yz j + xz k ,

G :

z =1-

x2 + y2 .

7.2.11. a = r = {x, y, z},

G : DABC,

7.2.12. a = (x - 2z) i + (x + 3y + z)

j + (5x + y) k ,

A(1, 0, 0),

B (0,1, 0),

C (0, 0,1).

III. Используя формулу Гаусса-Остроградского, найти поток ВПa

через указанные

замкнутые

поверхности

G :

z 2 = x2 + y 2 ,

z =1.

7.2.13. a = y i - x j + z k ,

G : z =1 - x, y = 3,

x = 0, y = 0,

z = 0.

7.2.14. a = x2 z i + (z - x)

j + (2 y + xz 2 )k ,

G :

9 - z = x2 + y 2 ,

z = 0.

7.2.15. a = 2x i - y j + z k ,

Задание на дом

7.2.16.	Найти	векторные	линии	®	®	®	®
				aВП= ( y - z) i + (z - x) j+ (x - y) k
и определить		вид векторных трубок.
7.2.17.	Найти	®	® ® ®	через	верхнюю	поверхность
		поток ВПa = x i + y j+ z k
параболоида		x2 + y2 + 2az = a2 ,	расположенную		во	втором	октанте
(x < 0, y > 0, z > 0).

®® ® ®

7.2.18. Вычислить поток ВП a = 2x i + 2 y j+ z k через замкнутую поверхность

G : y = x2 , y = 4x2 , y =1, z = y, z = 0						(x ³ 0).
Ответы:
	x2 + y 2 = ce	arctg	y	или r = cej
7.2.7.		arctg	x			(в		полярных			координатах).
7.2.7.			x			(в		полярных			координатах).
7.2.8. Гиперболы xy = c. 7.2.9. Линии						пересечения				сфер x2 + y 2 + z 2 = R 2
и параллельных		плоскостейy - z = c				(окружности).				7.2.10.		3p			.
и параллельных		плоскостейy - z = c				(окружности).				7.2.10.		16			.
												16
7.2.11.	p.	7.2.12.		5	.	7.2.13.		p	.		7.2.14.		1	.
7.2.11.	p.	7.2.12.		3	.	7.2.13.	3		.		7.2.14.	2		.
				3			3					2

7.2.15.162p. 7.2.16. Окружности, являющиеся линиями пересечения

сфер x2 + y2 + z 2 = c2				с	плоскостямиx + y + z = c		2	.		Тороидальные
			1				2
поверхности, образованные окружностями с центрами										на
прямой		x = y = z,		лежащими		в			плоскостяхx + y + z = c2 ,
сечениями			которых	служат	заданные	замкнутые				кривые.
7.2.17.	pa4	.	7.2.18.	1.
7.2.17.	48	.	7.2.18.	1.
	48

7.3. Циркуляция и ротор ВП. Простейшие ВП

7.3.1.

Вычислить

циркуляцию

вдоль

ВПa = ye xy i + xe xy j + xyz k

линии

получаемой

пересечением

(z -1)

конусаx + y

с координатными плоскостями.

► Сделаем чертёж. Линия L

состоит из отрезков BC и CA,

лежащих

в координатных плоскостях YOZ и XOZ ,

соответственно, и дуги

окружности

x2 + y2 =1,

z = 0 (рис. 7.5). Тогда

циркуляция

данного

ВП

равна

СL = ò a × d r = ò a × d r + ò a × d r + ò a × d r

Рис. 7.5.

На

отрезке

имеем

x = 0,

dx = 0, z =1 - y,

dz = -dy,

y Î[0,1].

Следовательно,

ò ye xy dx + xe xy dy + xyzdz = 0.

a × d r =

На

отрезке CA

имеем y = 0, dy = 0,

z =1 - x,

dz = -dx,

x Î[0,1].

Следовательно,

®®

òa × d r = ò yexy dx + xexy dy + xyzdz = 0.

CA	CA
È
3. Дуга AB окружности x2 + y2 =1, z = 0 задаётся параметрическими

	x = cos t,	y = sin t, z = 0, t Î	é	p ù		Тогда dx = -sin tdt,
уравнениями			ê0,		ú.
уравнениями			ê0,		ú.
			ë	2 û
dy = costdt,	dz = 0. Следовательно,
	® ®	p / 2
	ò a × dr =	ò(- sin 2 tecos t sin t + cos2 tecos t sin t )dt =
	È	0
	AB

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>