Metod_B1.V.DV.23.01_09.03.01_04.06.2016_pz

Если (xi, yi) попала внутрь, то принимается xi.

1)z1 , z2 (0,1)

2)f (z1 )

3)z2 f (z1 ) M

4)xi

Метод используется, если S1 = 70%

3) Приближенный (кусочная (ступенчатая) аппроксимация).

f(x)

Si 1n

a i i 1 b [b-a] разбивается на n интервалов

b

f (x)dx 1

a

Разобьем площадь на n равных площадей

1)z1 , z2 (0,1)

2)z1 i (как для дискретной случайной величины)

3)xi i (i 1 i ) z2

Тема 3. Цепи Маркова

В практических приложениях аппарата ЦМ часто необходимо знать вероятности перехода из некоторого состояния s, в состояние s, за конечное число шагов m

Обозначим матрицу этих переходных вероятностей через Рm(1 5)

где элемент рmij- вероятность попасть в состояние sj из si за m шагов Рассмотрим промежуточное число шагов 1 < к < m

В этом случае

Поскол ьку попасть из состояния sj в состояние si за m шагов можно, попав на к-m шаге в состояние s1 и перейдя из него в si за m-k шагов, попав на к-m шаге в состояние s2 и перейдя из него в si за m-k шагов и т.д.

Из (1 6) видно, что каждый элемент рmij,, матрицы Рmесть сумма произведений элементов i строки матрицы Рк на элементы j матрицы Рmк, то есть матрица Рm есть произведение матриц Рк

и Рm-k

Поскольку из (1.7) при к = 1 и т = 2 следует что

и легко убедиться при помощи метода математической индукции, что вообще

то есть матрица Рm представляет собой m-ю степень исходной матрицы Р=||рij||

Равенство (1 9) является частным случаем равенства (1 6).

Пример 1 4 Пусть ЦМ задана переходной матрицей Р(1)

Найдем матрицу Pm для m=3

Для практических приложений также находят применение следующие соотношения,

Пример 1 5

Пусть в условиях примера (1 1) состояния s, и s2 выбираются на основе вектора начальных вероятностей яπ0

Тогда вероятностное распределение на 3-м шаге будет получено по формуле

(1.11)

Нахождение предельных распределений Пусть закон функционирования ЦМ задан переходной матрицей (1 12)

Если ЦМ однородная, регулярная и неприводимая, то для нее существует предельное распределение (1 13)

При заданной матрице (1 12) вектор предельного вычислить при помощи системы из (n+1) уравнений вида

Последнее (n+1) - e уравнение добавлено потому, что n - е уравнение является линейной комбинацией предыдущих, ибо последний столбец матрицы Р -линейная комбинация остальных столбцов, и решение определяется неоднозначно Условие р1+р2+..,+рn = 1 выбирает из множества решений то, для которого р1 ,р2, ...,рn- искомые предельные вероятности.

Пример 1.6 Найдём предельные вероятности цепи Маркова, заданные матрицей Р(1):

Для P(1) имеем систему уравнений

Отсюда p1=p2=0,5

Таким образом в конечном счёте (при большом N) одинаково часто будут следовать состояния s1 и s2 .

Замечание 1. Для однородных регулярных и неприводимых ЦМ существует предельная матрица, задаваемая выражением:

Замечание 2. Для циклических(периодических) цепей предельной матрицы не существует, хотя может чуществовать предельное распределение.

Пример 1.7 ЦМ задана переходной матрицей:

Однако при последовательном возведении переходной матрицы в степень, получаем :

Видно, что предельной матрицы не существует.

2. Примеры практического применения теории цепей Маркова

Пример 1.8

Пусть вычислительная система состоит из трёх ЭВМ. Для определения степени потребности этих ЭВМ у пользователей (спроса ЭВМ) произведён в некоторый момент to подсчёт числа пользователей системы. Пусть это число равно 100 Из них на ЭВМ1 выполняли задачи 50 пользователей, на ЭВМ2 - 20 и на ЭВМЗ - 30 пользователей. Тогда статистическая вероятность потребности ЭВМ в системе определяется вектором P(t0) = [0,5; 0.2, 0.3]. И пусть статистическая вероятность потребности в каждый следующий момент определяется только поведением пользователей в предшествующий момент времени.

Предположим, что в момент t, оказалось, что из 50 пользователей, выполнявших задачи на ЭВМ1 в момент tg , стали выполнять 45 на ЭВМ1, на ЭВМ2 -4 пользователя и на ЭВМЗ - 1 пользователь, т.е. статистические вероятности р11 = 45/50 = 0,9; р12 = 4/50 = 0,08; р13=1/50=0,02.

Из 20 пользователей, выполнявших задачи на ЭВМ2, 6 пользователей стали выполнять задачи в

момент t, на ЭВМ1, 8 - на ЭВМ2 и 6 - на ЭВМЗ, те. р21=0,3; р22=0.4; р23=0.3.

Из 30 пользователей, выполнявших задачи на ЭВМЗ, 6 пользователей стали выполнять задачи в

момент t, на ЭВМЗ, 21 - на ЭВМ1, 3 - на ЭВМ2, т.е. р31=0,7, Рз2=0,1;р33=0,2. Определить, какая ЭВМ пользуется наибольшим спросом в момент t,.

Ответ можно получить, умножив вектор начального распределения Р(у на переходную матрицу Р, выведенную на основании условий примера 1.8:

Таким образом, в момент времени t, наибольшим спросом будет пользоваться ЭВМ1

Пример 1.9

Мультизадачная вычислительная система содержит процессор, находящийся в состоянии ожидания (Х0), а также выполняющий 3 группы команд - X,, Х2 и Х3 Команды, соответственно, подразделяются на: общисистемные процедуры, обслуживающие процедуры операционной системы, процедуры пользователя. Пусть данная вычислительная система описывается ЦМ, которая задана переходной матрицей Р:

Обозначим р0 - предельная вероятность события X0, р1 - Х1 и т. д, определим коэффициенты использования процессора для каждой группы задач.

Значения этих вероятностей вычисляются из системы уравнений вида:

Решением (1.15) является р0=2/9, р1=1/9, р2=8/99, р3=58/99. Учитывая, .что количество времени, которое система проводит в состоянии Xj j=[0,3], пропорционально р1 получим следующие коэффициенты использования

ЦП ВС разными группами задач:

На

основе

вектор

а

предельного распределения можно вычислить среднее время возврата в состояние Xj за определённый промежуток времени по формуле (1 16). Оно характеризует средний интервал времени между двумя переходами в одно и то же состояние Xj

Исходя из переходной матрицы (1.12) возможно вычислить также и среднее время нахождения цепи в состоянии j по формуле 1.17:

где

- единица времени нахождения цепи в любом состоянии, когда оно достигнуто.

Вычислим для рассматриваемой мультизадачной вычислительной системы, средний интервал возврата и среднее время нахождения ЦП в состоянии Xi, iє [0,3] при условии, что = 50 мкс.

Средний интервал возврата по формуле (1 16);

Среднее время нахождения ЦП в определённом состоянии по формуле (1.17):

Пример 1 10

Система передачи данных работает в режиме называемом нормальным до появления сбоев в п сообщениях подряд В этом случае система переходит в режим аварии в котором остается до тех пор пока очередное сообщение не будет принято правильно После этого система возвращается в нормальный режим Пусть вероятность появления сбоя в очередном сообщении равна р а вероятность безошибочного анализа на каждом шаге равна q = (1 - р)

Введем множество возможных состояний системы

Е0 - нет сбоев Е1- имеется сбой в одном сообщении

Е2 имеется сбой в двух сообщениях подряд,

Еn - имеется сбой в nсообщениях подряд

Понятно что процесс протекающий в такой системе является марковским Множество возможных состояний системы конечно и содержит n+1 элементов Матрица переходов системы имеет вид

Граф состояний и переходов имеет следующий вид

Очевидно что каждое состояние системы достижимо из любого другого состояния Поэтому учитывая что множество состоянии системы конечно можно утверждать что в этой системе существует предельный вектор

Отыщем компоненты этого вектора используя соотношение (1 18)

Решая систему (118) получаем следующее распределение сбоев в сообщениях

Пример 1 11

На выходе линии связи (ЛС) в результате воздействия на ее вход появляется некоторый сигнал Из за наложения на принимаемый сигнал внешних шумов он флуктуирует Пусть вероятность превышения сигналом некоторого заранее выбранного порога равна р (вероятность непревышения естественно равна q=1 - Р)

Примем следующую логику работы приемного устройства асинхронного контроллера

последовательных тактах работы приемного устройства

•Сигнал в ЛС интерпретируется как «0» если он не превышает порог дважды подряд Проанализируем работу устройства Введем множество возможных состоянии системы Е0 - исходное состояние После очередного такта устройство остается в данном состоянии с

вероятностью q и переходит в состояние Е, с вероятностью р

Рис 7 Граф переходов состояний приемного устройства

Е1 - состояние соответствующее однократному превышению порога. Если на очередном такте сигнал превышает порог (вероятность этого события равна р) то устройство переходит в состояние Е2 в противном случае - возвращается в исходное состояние (вероятность этого события равна q),

Е2 - состояние соответствующее двукратному превышению порога подряд (передача «1») Устройство остается в этом состоянии с вероятностью р и переходит в состояние Е3 с вероятностью q,

Е3 - состояние, соответствующее однократному не превышению порога после обнаружения логической «1» в ЛС Если после очередного такта сигнал превышает порог устройство возвращается в состояние Е2, в противном случае - переходит в исходное состояние Е0 Граф переходов приемного устройства асинхронного контроллера удаленного доступа приведен на рис 7

Выпишем матрицу переходов устройства

Поскольку множество состояний конечно и все они достижимы из любого другого, устройство обладает эргодическим свойством и предельный вектор существует

Для отыскания компонент этого вектора решаем систему уравнений вида (1 19)

где п=4

Пример 1 12

Пример 1 13. Модель очереди, использующая марковскую цепь

Большинство систем обслуживания принадлежит к типу, в котором обычно одна или более переменных, участвующих в описании системы, подчиняются вероятностному закону. Модели, построенные для таких систем обслуживания, должны включать случайные величины. Эти модели называют стохастическими.

В качестве примера недетерминированной системы обслуживания рассмотрим очень простую систему, представимую в виде ЦМ.

Основные компоненты. Предположим, что очередь может содержать 0, 1 или 2 требования (но не больше). Требования поступают и покидают систему, подчиняясь следующим правилам:

1)требования поступают и покидают систему в дискретные моменты времени t,, t2, t3,...;

2)при наличии требования, ожидающего в очереди (в том числе только что поступившего), обслуживание завершается в каждый момент с вероятностью р2 Иначе продолжается до поступления очередного требования;

3)в каждый момент времени требование поступает с вероятностью р,. Если в момент его поступления в систему в очереди находится менее чем два требования (при этом по правилу 2) обслуживаемое требование покидает систему и очередь продвигается), то оно присоединяется к ним. В противном случае оно покидает систему, не обслуживаясь;

4)в любой данный момент времени может поступить не более одного требования и не более чем одно требование может покинуть систему;

5)моменты поступления требований в систему и моменты ухода из нее статистически независимы.

Предполагаем, что процесс обслуживания начинается в момент времени t=t, и сначала в очереди нет требований.

Математическая модель. Очевидно, что ЦМ с тремя состояниями полностью описывает эту систему обслуживания Компоненты модели следующие.

1)множество состояний s„, s„ s2, где состояние s, соответствует присутствию i требований в очереди в любой момент времени;

2)в начальный момент времени в очереди нет требований, так что начальный вероятностный вектор таков: а = (1, 0, 0);

3)одношаговая матрица переходов будет следующей:

Мы объясним, как получается только один элемент матрицы - р„. Элемент р,, есть вероятность того, что процесс переходит в некоторый момент времени из состояния «одно требование стоит в очереди» в состояние «одно требование стоит в очереди»; т.е. остаётся в состоянии s, на следующем шаге.

Это может случиться, если либо а) одно требование поступило и одно требование покинуло систему (вероятность р,.р2). либо б) ни одно требование не поступало и не покидало систему (вероятность q,q2). Эти возможности взаимно исключают друг друга, так что переходная вероятность равна

Анализ модели. В модели нет поглощающих состояний, и каждое состояние может быть достигнуто из любого другого. ЦМ такого типа являются регулярными. Следовательно, при анализе этой системы обслуживания можно пользоваться аппаратом теории регулярных ЦМ. Покажем на примере возможности такого подхода.

Пусть система обслуживания определена так же, как в п. «Основные компоненты», причём р, = 1/2, р2= ¼

1) Вероятности того, что через п шагов в очереди стоит 0, 1 или 2 требования, даются компонентами вектора а*Р".