- •3 Задание
- •Числовое поле, аксиомы поля, поле комплексных чисел
- •Обратная матрица, определение существование, формула
- •Билет 3 Комплексные числа в алгебраическом виде, операции над ними.
- •Рангом матрицы а называется максиальное число линейно-независиых строк
- •Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны 0
- •Вопрос 3?
- •Матрицы и операции над ними
- •Универсальное определение кривых 2ого порядка
Множеством называется любая совокупность объектов, эти объекты элементы множеств.
А, В – множества а А элемент множества
Интуитивный принцип объемности:
2 множества равны в то случаи когда они состоят из одних и тех же элементов. А=В x A x В
Множества В называется подмножеством множества А , если все элементы В являются элементами А. В А – В лежит в А В А х В=>x А
Множество не содержащее ни одного элемента – пустое
А А А В А есть и А всегда лежит в самом себе.
Объединением множеств А и В называется множество элементов принадлежащих либо А либо В
А В=
Пересечение множеств А и В называется множество элементов принадлежащих и А и В. А В = (х/х А и х )
Универсальным множеством называется множество содержащее все элементы рассматриваемых множеств
Дополнением множества А называется множество элементов универсального множества не лежащих во множестве А Дополнение Ā, U универсальное множество Ā= (х U | х A) A Ā= U
Д
U
U
U
В
А
В
А
иаграммы Венна UA
А
B A ĀТеорема Кронекера – Капелли
Система 1:
Теорема Кронекера капелли
Система 1 совместна тогда и только тогда когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. (1) совместна r(A)=r(Ā)
=> (1) совместна т д ч r(A)=r(Ā) Существуют α₁αn – решения (1)
Система 2:
А1 = Аn = B= тогда 2 означает α₁А1 + …+ αn An =B (2’ )=> Столбцы А1, Аn, В – линейно зависимы
Ранг столбцов r(А1, …,An) = r(А1, …,An ,B)
Потому что В через них линейно выражается
r(A)=r(Ā)
<= r(A)=r(Ā) т д что (1) совместна , В линейно зависимый со столбцами А1, …,An
r(A)=r(Ā) => B линейно выражается через А1, …,An => α₁А1 + …+ αn An =B выполняется равенство (2’), а (2’) означает, чо выполняется равенство (2), => а из равенства (2) следует что система (1) совместна
3 Задание
Нет не может так как комплексные корни существуют попарно, либо их 2 либо 4, а та как уравнение 3ей степени, то комплексных корня может быть только 2
Числовое поле, аксиомы поля, поле комплексных чисел
Элемент нейтральный относительно данной двуместной операции это такой элемент, операция с которым другого леента не меняет а*в в=1 а+в в=0
Элементом обратным к данному, по отношению к данной операции, является такой элемент,который при операции с данным элементом, даёт нейтральный элемент. а*а-1 = нейтральный 1 а+(-а) = нейтральный N
Множества F элементов с 2мя операциями + ,* называется числовым полем если для всех элементов этого множества и операций +, * выполняется следующие аксиомы:
х,у,z F 1) х+у =у + х коммунтативность
2) (x+y)+z = x+(y+z) ассоциативность
3) о F [x+0=x]
4) x (-x) [x+(-x)=0]
5) xy=yx
6) (xy)z=x(yz)
7) 1 F [x*1=x]
8) x 0 (x-1) [x*x-1 =1]
9) x(y+z) = xy+xz дистрибутивность
Поле комплексных чисел
I2 =-1 мнимая единица ai, ai+b C={z=x+iy| x,y R}- множество комплексных чисел N
Коплексным числом в алгебраической форме называется число вида z= x+iy, где х,у произвольные действительные, при этом
X= Re z действительная часть комплексного числа
У= Im z мниая часть комплексного числа. Вещественное число можно рассматривать,как комплексное число с нулевой мнимой частью
Z1+z2= (x1+x2) +i(у1+у2) z1= x1+iy1 z2= x2+iy2 алгебраическая форма
Z1*z2= (x1+iy1)*( x2+iy2)= x1*x2+ iy1x2+ ix1y2+i2y1y2= (x1*x2- y1y2)+ i(y1x2+ x1y2)
= x - iy сопряженный к z
Z* = (x+iy)(x – iy)= x2- iy2= x2+y2 R
z≠0 = = = - _ Алгебраическая формаМножество комплексных чисел С является полем
Обратная матрица, определение существование, формула
Теорема об обратной матрице:
Для квадратной матрицы А степени n существует обратная матрица А-1 , такая что А-1 *А=А*А-1 = Е тогда и только тогда когда определитель матрицы |A| при этом:А-1 = =>докажем,что эта матрица обратная А-1,тогда |A|
Если |A|≠0 , то существует обратная матрица
Пусть А-1 требуется доказать, что |A| А-1 *А=E => значит |A-1*A| =1 тогда определитель |A-1|*|A| =1 => |A| , |A-1| = |A|-1
Пусть |A| , тогда требуется доазать, что -1. Докажем что А*А-1 = Е А*А-1 = * транспанируем
* = = = E
А-1 *А= E A*А-1 *А=А
А*А-1 = Е Если существует А-1 то А называется невыраженной,обратимой, неособенной
А*= Присоединенная всегда существует А*А*= А**А= |A| = E
Нахождение обратной матрицы: Метод элементарных преобразований Построим матрицу (A|E) размерности n x 2n и с помощью элементарных преобразований строк приведём ей к виду (Е|B). (A|E) (Е|B). При этом В = А-1 . Если матрица (А|Е) никакими преобразованиями не приводится к нужному виду, это означает, что |A|=0 и А-1 не существует
Билет 3 Комплексные числа в алгебраическом виде, операции над ними.
Поле комплексных чисел
I2 =-1 мнимая единица ai, ai+b C={z=x+iy| x,y R}- множество комплексных чисел N
Коплексным числом в алгебраической форме называется число вида z= x+iy, где х,у произвольные действительные, при этом
X= Re z действительная часть комплексного числа
У= Im z мниая часть комплексного числа. Вещественное число можно рассматривать,как комплексное число с нулевой мнимой частью
Сложение:
Z1+z2= (x1+x2) +i(у1+у2) z1= x1+iy1 z2= x2+iy2 алгебраическая форма
Умножение:
Z1*z2= (x1+iy1)*( x2+iy2)= x1*x2+ iy1x2+ ix1y2+i2y1y2= (x1*x2- y1y2)+ i(y1x2+ x1y2)
in= i4k*ir=ir где n=4k+r и r {0,1,2,3}
= x - iy сопряженный к z
Z* = (x+iy)(x – iy)= x2- iy2= x2+y2 R
z≠0 = = = - _ Алгебраическая форма
Множество комплексных чисел С является полем
Деление:
= =
Ранг матрицы, нахождение его с помощью элементарных преобразований
A= A’= …An= A1= (a11,a12 , …, a1n) A2=( a21,a22 , …, a2n) Ak= (ak1,ak1 , …, akn)
Строки А1;Ак называются линейно-зависимыми если существуют числа α1…αк не все равные 0 α1А1+…+αкАк=0
1’) k 2 строки А1…Ак называются линейно-зависимыми, если хотя бы одна из них линейно-выражается через остальные